第11講平面向量(原卷版+解析)

第11講平面向量【題型精講】題型一：平面向量的線性運(yùn)算1．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測(cè)（理））四邊形中，，，，則（）A．－4 B．－2 C．2 D．42．（2021·山西呂梁·高三月考（理））如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．3．（2021·貴州遵義·高三月考（文））如圖，在中，為上一點(diǎn)，且，設(shè)，則用和表示為（）A． B． C． D．4．（2021·安徽·蕪湖一中高三月考（理））如圖所示，等腰梯形中，，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．題型二：平面向量的數(shù)量積1．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））設(shè)向量，，若，則（）A． B．1 C． D．2．（2021·江西贛州·高三期中（文））已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．8 B．10 C．12 D．133．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)二模（理））已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（理））中，，，，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．題型三：平面向量的綜合應(yīng)用1．（2021·浙江寧波·高三月考）已知平面向量，，滿足，，．若，則的取值范圍是______2．（2021·江西贛州·高三期中（理））已知，若恒成立，則k的取值為_____________.3．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三期中）已知向量，滿足，，則的最大值為______.4．（2021·浙江·學(xué)軍中學(xué)高三期中）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的一段圓弧上一點(diǎn)，，則的最小值為___________.5．（2021·陜西·西安中學(xué)高三月考（文））如圖，中，，，，為重心，為線段上一點(diǎn)，則的最大值為___________.【課后精練】一、單選題1．（2021·陜西·涇陽縣教育局教學(xué)研究室高三期中（文））已知向量是單位向量，向量，的夾角為60°，且，則（）A．2 B． C． D．2．（2021·全國·高三月考（理））已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測(cè)（文））已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．（2021·安徽·高三月考（文））下列命題中正確的是（）.A．因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量、方向相反，則它們是相反向量B．已知，且，則C．已知向量，，若，則D．兩個(gè)非零向量、，若，則與反向5．（2021·江西贛州·高三期中（理））在中，，，在上且，則（）A．2 B．4 C．8 D．126．（2021·廣西南寧·高三月考（文））已知函數(shù)在上的最小值為，點(diǎn)為函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)，點(diǎn)為函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第二個(gè)對(duì)稱中心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．7．（2021·廣西南寧·高三月考（文））已知向量共面，且均為單位向量，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)二模（理））在中，，，，為中點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則（）A． B． C． D．二、多選題9．（2021·湖南郴州·高三月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在軸上且，則下列說法正確的有（）A．B．C．與共線的單位向量的坐標(biāo)可以是?D．與的夾角的余弦值為10．（2021·廣東深圳·高三月考）已知平面向量，若是直角三角形，則的可能取值是（）A．-2 B．2 C．5 D．711．（2021·湖南·高三月考）定義：，兩個(gè)向量的叉乘的模.（）A．若平行四邊形的面積為4，則B．在正中，若，則C．若，，則的最小值為D．若，，且為單位向量，則的值可能為12．（2021·廣東·金山中學(xué)高三期中）已知向量，，則下列說法正確的是（）A．若，則的值為B．的最小值為1C．若，則的值為2D．若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是三、填空題13．（2021·陜西·涇陽縣教育局教學(xué)研究室高三期中（文））已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___________.14．（2021·天津市咸水沽第一中學(xué)高三月考）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為______．15．（2021·江蘇省天一中學(xué)高三月考）等腰直角中，點(diǎn)是斜邊邊上一點(diǎn)，若=+，則的面積為______四、雙空題16．（2021·天津南開·高三期中）邊長(zhǎng)為的菱形滿足，則___________；一直線與菱形的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線于點(diǎn)，若，，，則___________.第11講平面向量【題型精講】題型一：平面向量的線性運(yùn)算1．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測(cè)（理））四邊形中，，，，則（）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】D【詳解】由，，，可知，四邊形為直角梯形，∴，所以．故選：D．2．（2021·山西呂梁·高三月考（理））如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，，又，，∴，而共線，∴，可得.故選：C3．（2021·貴州遵義·高三月考（文））如圖，在中，為上一點(diǎn)，且，設(shè)，則用和表示為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題得.故選：A4．（2021·安徽·蕪湖一中高三月考（理））如圖所示，等腰梯形中，，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，，，，故選：A.題型二：平面向量的數(shù)量積1．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））設(shè)向量，，若，則（）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】，則，所以.故選：C2．（2021·江西贛州·高三期中（文））已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【詳解】∵，∴可以A為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系；不妨設(shè)，則，故點(diǎn)P坐標(biāo)為則，∴令，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在遞增，在上遞減，則，即的最大值為12．故選：C．3．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)二模（理））已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，可得，又由，可得，可得，設(shè)向量與的夾角為，其中可得，所以.故選：D.4．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（理））中，，，，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?所以，因?yàn)?，，，所以，解得，故選：D題型三：平面向量的綜合應(yīng)用1．（2021·浙江寧波·高三月考）已知平面向量，，滿足，，．若，則的取值范圍是______【答案】【詳解】解：記，，，則，，．由題意，，可得（顯然）又由，得，消去n得，化簡(jiǎn)得，即．結(jié)合，可解得或．因此，．故答案為：2．（2021·江西贛州·高三期中（理））已知，若恒成立，則k的取值為_____________.【答案】0【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，解得故答案為?．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三期中）已知向量，滿足，，則的最大值為______.【答案】【詳解】設(shè)向量的夾角為，，，則，令，則，據(jù)此可得：，即的最大值是故答案為：.4．（2021·浙江·學(xué)軍中學(xué)高三期中）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的一段圓弧上一點(diǎn)，，則的最小值為___________.【答案】【詳解】解：已知是半徑為2，圓心角為的一段圓弧上一點(diǎn)，，以圓心為原點(diǎn)，垂直平分線所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：，，，由題設(shè)：，；則其中；所以，當(dāng)時(shí)，則的最小值為；故答案為：．5．（2021·陜西·西安中學(xué)高三月考（文））如圖，中，，，，為重心，為線段上一點(diǎn)，則的最大值為___________.【答案】20【詳解】延長(zhǎng)交于，因?yàn)闉椤鰽BC重心，所以為的中點(diǎn)，所以,設(shè)，因?yàn)镻為線段BG上一點(diǎn)，所以，因?yàn)闉椤鰽BC重心，所以，因?yàn)?，所以其對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值20，故答案為：20【課后精練】一、單選題1．（2021·陜西·涇陽縣教育局教學(xué)研究室高三期中（文））已知向量是單位向量，向量，的夾角為60°，且，則（）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)橄蛄渴菃挝幌蛄浚蛄?，的夾角為60°，且，所以，解得故選：A2．（2021·全國·高三月考（理））已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，可得，即，由，設(shè)與的夾角為，則，可得，故.故選：B.3．（2021·新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預(yù)測(cè)（文））已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，即，，解得：.故選：D.4．（2021·安徽·高三月考（文））下列命題中正確的是（）.A．因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量、方向相反，則它們是相反向量B．已知，且，則C．已知向量，，若，則D．兩個(gè)非零向量、，若，則與反向【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，相反向量要求向量方向相反，模長(zhǎng)相等，向量、方向相反，模長(zhǎng)未知，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，無法得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，即，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，若，即，即，故與反向，D選項(xiàng)正確；故選：D.5．（2021·江西贛州·高三期中（理））在中，，，在上且，則（）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．6．（2021·廣西南寧·高三月考（文））已知函數(shù)在上的最小值為，點(diǎn)為函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)，點(diǎn)為函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第二個(gè)對(duì)稱中心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由得，，則，，即，令，得，故點(diǎn)A坐標(biāo)為，令，得，故點(diǎn)B坐標(biāo)為，則，，，故選：A.7．（2021·廣西南寧·高三月考（文））已知向量共面，且均為單位向量，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖，，當(dāng)與同向時(shí)，此時(shí)最大，為；當(dāng)與反向時(shí)，此時(shí)最小，為.故選：A8．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)二模（理））在中，，，，為中點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，因?yàn)?所以.所以內(nèi)切圓的半徑為，所以點(diǎn)，所以，所以，所以.所以.故選：A二、多選題9．（2021·湖南郴州·高三月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在軸上且，則下列說法正確的有（）A．B．C．與共線的單位向量的坐標(biāo)可以是?D．與的夾角的余弦值為【答案】BD【詳解】對(duì)A，，A錯(cuò)誤；對(duì)B，，B正確；對(duì)C，依題可知，，所以與共線的單位向量的坐標(biāo)是和，C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)與的夾角為，，，，所以，所以，D正確．故選：BD．10．（2021·廣東深圳·高三月考）已知平面向量，若是直角三角形，則的可能取值是（）A．-2 B．2 C．5 D．7【答案】BD【詳解】，，，若，則，∴，解得；若，則，∴，此時(shí)方程無解；若，則∴，解得．結(jié)合選項(xiàng)可知BD正確，故選：BD11．（2021·湖南·高三月考）定義：，兩個(gè)向量的叉乘的模.（）A．若平行四邊形的面積為4，則B．在正中，若，則C．若，，則的最小值為D．若，，且為單位向量，則的值可能為【答案】ACD【詳解】若平行四邊形的面積為4，則，所以A正確；設(shè)正的邊的中點(diǎn)為，則，則，故，所以B不正確；由，，得，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，所以C正確；若，，且為單位向量，則當(dāng)，，，時(shí)，可以等于，此時(shí).所以D正確.故選：ACD12．（2021·廣東·金山中學(xué)高三期中）已知向量，，則下列說法正確的是（）A．若，則的值為B．的最小值為1C．若，則的值為2D．若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)：若，則，解得：，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為1，故B正確；C選項(xiàng)：，若，即，解得：，故C正確；D選項(xiàng)：若與的夾角為鈍角，則且，，所以，且，解得：且，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13．（2021·陜西·涇陽縣教育局教學(xué)研究室高三期中（文））已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以因?yàn)?，所以，解得故答案為?4．（2021·天津市咸水沽第一中學(xué)高三月考）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為______．【答案】【詳解】由題設(shè)，，又，∴，且，為非零向量，∴，又，∴.故答案為：15．（2021·江蘇省天一中學(xué)高三月考）等腰