數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用-國際應(yīng)用數(shù)學(xué)進展

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；圖形【Abstract】Theideaofcombiningnumberandformisanimportantcontentinmanymathematicalknowledgeneedstocombinegraphicstodeepentheunderstandingofthetopicandknowledge.Throughtheanalysisofthecollegeentranceexaminationandthesimulationexaminationquethispapersumsuptheapplicationofthecombinationofnumberandforminmathematicalproblems.【Keywords】Combinationofnumberandshape;Highschoolmathematics;Graph例12023寧波3月十校聯(lián)考（三函數(shù)f(x)=lnxcos(+2x)的圖像是ABABf(?x)=?ln?xsin(?2x)=lnxsin2x=f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于原點對稱，故排除選f(x)=?lnxsin2x>0，故排除選項C，故選A。評注：本題中的f(x)為復(fù)合函數(shù)，直接通過函數(shù)畫出圖像難度較大。因此可以利用函數(shù)的奇偶性進行判斷研究。在本題中，通過奇函數(shù)的性質(zhì)判斷出f(x)為奇函數(shù)，接下來我們發(fā)現(xiàn)f(x)在(0,1)內(nèi)大于0進例22023四川省成都三診）已知函數(shù)f(x)的部分圖像如圖，則函數(shù)f(x)的解析式可能為A.f(x)=(ex?e?x)sinxB.f(x)=(ex+e?C.f(x)=(ex?e?x)cosxD.f(x)=(ex+e?x)cosx解：由于圖像關(guān)于原點對稱，所以f(x)為奇函數(shù)，對于A：由f(x)=(ex?e?x)sinxx)sinx=f(x)，f(x)為偶函數(shù)，故可排除A；=f(x)，f(x)為偶函數(shù)，故可排除D；由圖知f(x)圖像不經(jīng)過點(,0)，而對于C故可排除C；故選B。例32023云南曲靖二模）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，且對任意的實數(shù)x都有f'(x)+f(x)=（e是自然對數(shù)的底數(shù)且f(0)=1，若關(guān)于x的方程f(x)?m=0恰有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范解：由題意可得ex(f'(x)+f(x))=2x+3，令g(x)=exf(x)，則g'(x)=ex(f(x)+f'(x))=2x+3,故g(x)=x2+3x+c，c為常數(shù)。又g(0)=f(0)=1=c，所以g(x)=x2+3x+1，故所以，當x>1或x<?2時，f'<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當?2<x<1時，f'函數(shù)單調(diào)遞增，故當x=1時，函數(shù)取得極大值，當x=?2時，函數(shù)取得極小值f(?2)=?e2。ex>0時，f(x)>0，且x趨于+∞時，f(x)趨于0，其圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像，要使關(guān)于x的方程f(x)?m=0恰有兩個實數(shù)根，實數(shù)m的取值范圍是。故選B。評注：本題利用構(gòu)造函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值解決問題。根據(jù)題中所給的等式構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x),通過特殊值g(0)=f(0)=1，求得f(x)得表達式，并根據(jù)f(x)的導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性、極值點與極值進而畫出f(x)的圖像，然后把f(x)?m=0有兩個實數(shù)根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與直線m有兩個交點。此題難度中等，關(guān)鍵要構(gòu)造出函數(shù)g(x)，然題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題。如何構(gòu)造g(x)對同學(xué)們來說可能有難度，這需要仔細觀察等式的構(gòu)造，并例42023重慶市七校三診）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(x)>0，對A.f(2)<f(e)<f(π)B.f'(π)<f'(e)<f'(2)C.f'(2)<f(3)?f(2)<f'(3)D.f'(3)<f(3)?f(2)<f'(2)解：A選項，根據(jù)f(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，因為π>e>2，所以所以函數(shù)圖像上凸，畫出函數(shù)圖像，由幾何意義可知，f'(x)表示函數(shù)圖像上函數(shù)為凸函數(shù)，進而判斷出函數(shù)的切線斜率隨著x的增大而變小。本題的關(guān)鍵在于要了解f'(x)表示函 OC+以ΔOCD為等邊三角形，所以。易得。22 2 22 向相反時取得最小值進而求得目標向量的最大值。本題的關(guān)鍵在于取特殊點E,F然后進行向量之間的轉(zhuǎn)化,這需要學(xué)生平時大量練習(xí)。例62023陜西咸陽?？迹┮阎獂,y滿足線性約束條件{1≤x≤5,則x2+y2的幾何意義是(x,y)到原點距離的平方，數(shù)形結(jié)合得C(1,0)到原點的距離最小，故x2+y222,所以x2+y2的取值范圍為，故選B。評注：本題利用線性約束條件畫出可行域