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二、兩個(gè)重要極限一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及極限存在準(zhǔn)則第6節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

第1章一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理1.(P18.定理5）有定義,為確定起見,僅討論的情形.有定理1.有定義,且設(shè)即當(dāng)有有定義,且對(duì)上述

,時(shí),有于是當(dāng)時(shí)故可用反證法證明.(略)有證：當(dāng)“”“”定理1.有定義且有說(shuō)明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2

找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使例1.

證明不存在.證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.2.夾逼準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故例2.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由3.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理2.且(利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則1可證)4.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準(zhǔn)則2

)(證明略)例3.設(shè)證明數(shù)列極限存在.證:利用二項(xiàng)式公式,有大大正比較可知根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e

為無(wú)理數(shù),其值為即有極限.又內(nèi)容小結(jié)圓扇形AOB的面積二、兩個(gè)重要極限證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注注注當(dāng)時(shí)例4.

求解:例5.

求解:

令則因此原式例6.

求解:

原式=例7.

已知圓內(nèi)接正n

邊形面積為證明:證:說(shuō)明:計(jì)算中注意利用2.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則當(dāng)則從而有故說(shuō)明:

此極限也可寫為時(shí),令例8.

求解:

令則說(shuō)明

：若利用則原式例9.求解:

原式=的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在(2)數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法1

找一個(gè)數(shù)列且使法2

找兩

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