2.2.3-直線的一般式方程

2.2.3直線的一般式方程課標要求素養(yǎng)要求1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.2.會進行直線方程的五種形式間的轉(zhuǎn)化.通過學(xué)習(xí)直線的一般式方程，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了直線的點斜式、斜截式、兩點式方程，可以發(fā)現(xiàn)它們都是二元一次方程.現(xiàn)在請同學(xué)們思考一下，在平面直角坐標系中的每一條直線是否都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示呢？問題任何直線方程都能表示為一般式嗎？提示能.因為平面上任意一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示.1.直線的一般式方程我們把關(guān)于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.2.二元一次方程與直線的關(guān)系

在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程是直角坐標平面上一條確定的直線；反之，直角坐標平面上的任意一條直線可以用一個確定的二元一次方程表示.Ax＋By＋C＝0拓展深化[微判斷] (1)直線x－y－3＝0的斜率為k＝1.(

) (2)當A，B同時為零時，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(

)

提示當A，B都同時為零時，若C＝0，則方程對任意的x，y都成立，故方程表示整個坐標平面；若C≠0，則方程無解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何圖形. (3)直線的一般式方程可以表示坐標平面內(nèi)的任意一條直線.(

)√×√[微訓(xùn)練]1.與x軸平行且過點(0，6)的直線的一般式方程為(

) A.x－6＝0 B.y－6＝0 C.x＋y＝6 D.x－y＝6答案B2.已知直線的方程為2x－y＋4＝0，則該直線的斜率為________.答案23.直線2x＋y＋3＝0在y軸上的截距是________.解析令x＝0，得y＝－3.答案－3[微思考]

直線方程的一般式化成另外四種形式需要哪些要求？

提示直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)化成點斜式和斜截式需滿足條件B≠0，化成兩點式需滿足條件AB≠0，化成截距式需滿足條件ABC≠0.題型一求直線的一般式方程【例1】根據(jù)下列條件求直線的一般式方程. (1)直線的斜率為2，且經(jīng)過點A(1，3)；解(1)因為k＝2，且經(jīng)過點A(1，3)，由直線的點斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直線的一般式方程為2x－y＋1＝0.A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0答案(1)B

(2)D所以只有B項滿足要求.題型二利用一般式解決直線的平行與垂直問題【例2】已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程： (1)過點(－1，3)，且與l平行； (2)過點(－1，3)，且與l垂直.又∵l′過點(－1，3)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′與l垂直，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由l′與l垂直，可設(shè)l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.規(guī)律方法1.利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0).(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2.過一點與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程.(2)可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.【訓(xùn)練2】判斷下列各對直線是平行還是垂直，并說明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解(1)法一將兩直線方程各化為斜截式：∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l(xiāng)1∥l2.法二

∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l(xiāng)1∥l2.(2)法一將兩直線方程各化為斜截式：∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.法二

∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)因為l1：x＝2，l2：x＝4，且兩直線在x軸上的截距不相等，則l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y軸，l2⊥x軸，則l1⊥l2.題型三直線一般式方程的應(yīng)用【例3】設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別確定m的值： (1)l在x軸上的截距是－3； (2)l的斜率是－1.規(guī)律方法已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟【訓(xùn)練3】直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值； (2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)①當a＝－1時，直線l的方程為y＋3＝0，顯然不符合題意；②當a≠－1時，令x＝0，則y＝a－2，∵l在兩坐標軸上的截距相等，解得a＝2或a＝0.綜上，a的值為2或0.∴a的取值范圍為(－∞，－1].一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).2.二元一次方程與直線的關(guān)系

二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標系中一個點的坐標，這個方程的全體解組成的集合，就是坐標滿足二元一次方程的全體點的集合，這些點就組成了一條直線，二元一次方程與平面直角坐標系中的直線是一一對應(yīng)的，因此直線的一般式方程可以表示坐標平面內(nèi)的任意一條直線.3.直線的一般式方程的結(jié)構(gòu)特征(1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程.(2)方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列.(3)x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù).(4)雖然一般式直線方程有三個系數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為(

) A.A≠0 B.B≠0 C.AB≠0 D.A2＋B2≠0解析方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時為0，即A2＋B2≠0.答案D2.已知直線l經(jīng)過點P(2，1)，且與直線2x－y＋2＝0平行，那么直線l的方程是(

) A.2x－y－3＝0 B.x＋2y－4＝0 C.2x－y－4＝0 D.x－2y－4＝0解析由題意可設(shè)所求的方程為2x－y＋c＝0(c≠2)，代入已知點(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，故所求直線的方程為2x－y－3＝0，故選A.答案A3.過點A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為(

) A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0答案A4.(多填題)設(shè)直線l1：(a＋