云南省三新教研聯(lián)合體高二第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷和參考答案

絕密★啟用前【考試時(shí)間：2024年4月8日14：30—16：30】三新教研聯(lián)合體第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)，在規(guī)定的位置貼好條形碼及填涂準(zhǔn)考證號(hào)．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的的坐標(biāo)表示，列式求解，即得答案.【詳解】由，得，即，所以，故選：D．2.已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A. B.5 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求，再利用復(fù)數(shù)的模的公式求.【詳解】因?yàn)樗?，則，故選：A．3.近日，云南人“打跳”視頻頻頻沖上各大平臺(tái)熱搜．唱最樸素的歌，跳最熱情的舞，云南人的快樂(lè)就是這么簡(jiǎn)單．某平臺(tái)為了解“打跳”視頻的受歡迎程度，對(duì)2060歲的人群進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，其中喜歡“打跳”視頻的有100人，把這100人按照年齡分成4組，然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)從第二組和第四組的人中分層隨機(jī)抽取10人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)從第2組抽取的人數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，結(jié)合分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由圖可知，第二組的頻率為0.2，頻數(shù)為20，第四組頻率為0.3，頻數(shù)為30，按分層隨機(jī)抽樣抽取10人，則應(yīng)從第二組抽取的人數(shù)為人.故選：B．4.已知集合，則中的元素個(gè)數(shù)有（）個(gè)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得雙曲線的漸近線方程，結(jié)合直線與平行，即可求解.【詳解】由雙曲線的漸近線為，因?yàn)橹本€與平行，所以有1個(gè)交點(diǎn)，所以中的元素個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：B．5.在等差數(shù)列中，公差，若，則（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：C．6.函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，求得的范圍，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】令，則，其中，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則滿足，即，解得，所以，的一個(gè)充分不必要條件是.故選：A．7.幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得出滿足條件的過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，由已知當(dāng)取最大值時(shí)，圓必與軸相切于點(diǎn)，得出對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，圓的方程為因?yàn)閮牲c(diǎn)在圓上，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，為劣弧所對(duì)角，故舍去．所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以，故選：B．8.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，先考慮時(shí)，函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，再考慮，分與兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象，得到不等式，求出答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由得，即，解得或，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，若，對(duì)稱軸為，函數(shù)的大致圖象如下：此時(shí)，即，則，所以無(wú)解，則無(wú)零點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)，綜上，此時(shí)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，若，此時(shí)的大致圖象如下：令，解得，顯然令在上存在唯一負(fù)解，要使恰有3個(gè)零點(diǎn)，只需在上除或外不能再有其他解，即不能再有除或外的其他解，故，即，解得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則B.若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為C.若弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角為，則扇形面積為D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)的定義，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及弧長(zhǎng)與面積公式，三角恒等變換的公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由向量，可得在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角為，可得，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則（）A.B.函數(shù)的一條對(duì)稱軸為直線C.在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則【答案】ABD【解析】【分析】A，根據(jù)圖象顯示可得函數(shù)周期，最值，代入最低點(diǎn)即可得，再平移即可得；B，將代入計(jì)算看是否取最值即可；C，求出的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷；D，畫圖，通過(guò)圖象觀察結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算.【詳解】A．由圖知，，，因?yàn)?，所以，則，所以，故A正確；B．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取到最大值，所以是的一條對(duì)稱軸，故B正確；C．因?yàn)?，所以，而在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)；D．由，得，因?yàn)?，所以，所以的圖象如下：所以，即，所以，而，所以，則，故D正確．故選：ABD.11.在長(zhǎng)方體中，已知，點(diǎn)滿足，其中，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)使得D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，分別求得其的周長(zhǎng)，可判定A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在上，證得平面，結(jié)合直線上的點(diǎn)到平面的距離相等，可判定B正確；取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，得到過(guò)點(diǎn)作的垂線，只能作出一條，可判定C正確；由三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，結(jié)合球的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，可得，即，所以點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，的周長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)不是定值，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，可得，即，可得，所以點(diǎn)在上，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以直線上的點(diǎn)到平面的距離相等，則的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以B正確；對(duì)于C中，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋傻?，即，可得，所以點(diǎn)在上，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作的垂線，只能作出一條，所以過(guò)點(diǎn)作的垂線，也只能作出一條，所以有且僅有一點(diǎn)（中點(diǎn)）使，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)上，三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)闉橹苯侨切?，其外心為中點(diǎn)，外心為中點(diǎn)，此時(shí)平面，則球心為，半徑，當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，平面截球截得小圓，則球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，所以D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解立體幾何中動(dòng)態(tài)問(wèn)題與存在性問(wèn)題的策略：1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在，同時(shí)，用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，得到斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故切線方程為，即.故答案為：13.設(shè)，若直線過(guò)曲線（，且）的定點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榍€過(guò)定點(diǎn)，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取“”，所以的最小值為2．故答案為：214.定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓是“黃金橢圓”，則________．若“黃金粗圓”的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，求得的值，連接，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，結(jié)合，化簡(jiǎn)得到，即可求解.【詳解】由橢圓的離心率為，可得，所以，如圖所示，連接，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，且的面積為，求．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩角和的正弦公式、輔助角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，，，，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以有，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋业拿娣e為，所以有，或.16.如圖，在四面體中，平面是中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），點(diǎn)在線段上，且．（1）若是中點(diǎn)，求證：∥平面；（2）若是正三角形，，且，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，利用空間角的向量求法，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，故平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?故，平面，平面，故平面，因?yàn)?，且平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?wèn)2詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接,則,因?yàn)槠矫?，故平面，連接，由于是正三角形，故，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由于，故，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，而平面的法向量可取為，設(shè)平面與平面的夾角為，，所以.17.某射擊小組有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員，其中甲、乙二人射擊成績(jī)優(yōu)秀的概率分別為，且兩人射擊成績(jī)是否優(yōu)秀相互獨(dú)立．（1）若甲、乙兩人各射擊一次，求至多1人射擊成績(jī)優(yōu)秀概率；（2）在一次訓(xùn)練中，甲、乙各連續(xù)射擊10次，甲擊中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為7.8，方差為1.6，乙擊中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為8.2，方差為2.8，求兩人在這20次射擊中擊中環(huán)數(shù)的方差．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為，則，再由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.（2）由方差公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為，則【小問(wèn)2詳解】解：（方法一）設(shè)甲連續(xù)射擊10次擊中環(huán)數(shù)為，平均數(shù)為，乙連續(xù)射擊10次擊中環(huán)數(shù)為，平均數(shù)為，兩人這20次射擊的平均數(shù)由，得，同理，方差：（方法二）由分層方差公式得18.已知數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，推得，且，得到是等比數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）方法一：由（1）求得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和，即可求解；方法二：由（1）求得，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，結(jié)合相消法求和，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，可得，當(dāng)時(shí)，，則，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】解：方法一：由（1）知，可得，所以.方法二：由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，連接分別交于兩點(diǎn)．①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；②求面積的最小值．【答案】（1）（2）①是，定值；②【解析】【分析】（1）由拋物線的定義得到軌跡方程；（2）①設(shè)出直線，直曲聯(lián)立，得到和，再由斜率的定義，代入即可求出定值；②由點(diǎn)斜式寫出直線方程，得到過(guò)定點(diǎn)，再由三角形面積公式表達(dá)出面積，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和二次函數(shù)的值域確定最小值.【小問(wèn)1詳解】由題可知，點(diǎn)到