概率-知識點總結講義-高三數(shù)學一輪復習

高考知識點總結101概率一．概率的概念與性質(一)概率和頻率1.(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝nAn(2)對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．2.概率的基本性質(1)對于任意事件都有：．(2)必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．(3)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．(4)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)，且．(5)概率的單調性：若，則．(6)若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．(二)事件的關系與運算定義符號表示包含若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，則稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等若B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并(和)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1二．古典概型(1)定義:一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(2)古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則事件的概率P(A)=kn三．條件概率(一)定義:兩個事件，，且，稱P(BA)=P(AB)P(A)為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：(1)條件概率中“”后面就是條件；(2)若，即條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．(二)性質(1)條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．(2)必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．(3)如果與互斥，則．注意：(1)如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；(2)已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即P(BA)=n(AB)n(A)=n(AB)n(四．相互獨立與條件概率(一)相互獨立事件的概念及性質1.相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．2.概率的乘法公式對于任意兩個事件與，若，則．稱上式為概率的乘法公式．3.相互獨立事件的性質如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．4.兩個事件的相互獨立性的推廣兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．(二)事件的獨立性1.事件與相互獨立的充要條件是．2.當時，與獨立的充要條件是．3.如果，與獨立，則P(BA)=P(AB)P(A)五．全概率公式(一)全概率公式1.；2.定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：(1)全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．3.什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(二)貝葉斯公式1.一般地，當且時，有P(AB)=2.定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且P(A注意：(1)在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．3.貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉關系，即P(，之間的內在聯(lián)系．六．離散型隨機變量的分布列(一)．離散型隨機變量及其分布列1.隨著試驗結果變化而變化的變量叫隨機變量．所有值均可一一列出的隨機變量叫離散型隨機變量．2.離散型隨機變量：對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．注意：高考研究的離散型隨機變量只取有限個值．3.離散型隨機變量的分布列的表示：一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②＝1.離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和．4.離散型隨機變量的分布列的性質根據(jù)概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：(1)，；(2)．注意：①性質(2)可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．(二)．離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．注意：(1)均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；(2)根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．2.均值的性質(1)（為常數(shù)）．(2)若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．(3)．(4)如果相互獨立，則．(三)離散型隨機變量的方差：1.稱D(X)＝為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差．注意：(1)(xi?E(X))2描述了xi(i=1,2,?n)相對于均值隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越??；(2)標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．2.方差的性質(1)．(2)方差公式的變形：．七．兩點分布1.如果隨機變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從兩點分布．其中p＝P(X＝1)，稱為成功概率．注意：(1)兩點分布的試驗結果只有兩個可能性，且其概率之和為；(2)兩點分布又稱分布、伯努利分布，其應用十分廣泛．2.兩點分布的均值與方差：若隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則，．八．獨立重復試驗與二項分布(一).獨立重復試驗1.定義：一般地，在相同條件下重復做的次試驗稱為次獨立重復試驗．注意：獨立重復試驗的條件：①每次試驗在同樣條件下進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2.特點(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的；(2)每次試驗中的事件是相互獨立的，其實質是相互獨立事件的特例．(二)．二項分布1.定義一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．2.二項分布的適用范圍及本質(1)適用范圍：①各次試驗中的事件是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機變量是這次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．(2)本質：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3.二項分布的期望、方差若，則，．九．超幾何分布1.定義：在含有件次品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．01…??…?2.超幾何分布的適用范圍件及本質(1)適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)的概率分布．(2)本質：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．十．正態(tài)分布與正態(tài)曲線(一)正態(tài)曲線1.定義：我們把函數(shù)φμ,σ(x)=12.正態(tài)曲線的性質(1)曲線位于軸上方，與軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關于直線對稱；曲線在處達到峰值（最大值）12πσ(3)曲線與軸之間的面積為1；(4)當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：(5)當一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙(二)正態(tài)分布1.定義：一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)＝?eq\o\al(b,a)φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．(1)其中，參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；(2)是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計．(3)下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．2.正態(tài)分布的原則：若，則對于任意的實數(shù)，為圖中陰影部分的面積，