概率-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)101概率一．概率的概念與性質(zhì)(一)概率和頻率1.(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝nAn(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)．2.概率的基本性質(zhì)(1)對(duì)于任意事件都有：．(2)必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．(3)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．(4)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)，且．(5)概率的單調(diào)性：若，則．(6)若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．(二)事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，則稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等若B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并(和)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1二．古典概型(1)定義:一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(2)古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則事件的概率P(A)=kn三．條件概率(一)定義:兩個(gè)事件，，且，稱P(BA)=P(AB)P(A)為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：(1)條件概率中“”后面就是條件；(2)若，即條件不可能發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算就沒有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在的情況下進(jìn)行．(二)性質(zhì)(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．(2)必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．(3)如果與互斥，則．注意：(1)如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；(2)已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即P(BA)=n(AB)n(A)=n(AB)n(四．相互獨(dú)立與條件概率(一)相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)1.相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．2.概率的乘法公式對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．稱上式為概率的乘法公式．3.相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．4.兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．(二)事件的獨(dú)立性1.事件與相互獨(dú)立的充要條件是．2.當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．3.如果，與獨(dú)立，則P(BA)=P(AB)P(A)五．全概率公式(一)全概率公式1.；2.定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．注意：(1)全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題．3.什么樣的問題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(二)貝葉斯公式1.一般地，當(dāng)且時(shí)，有P(AB)=2.定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且P(A注意：(1)在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗(yàn)概率．3.貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即P(，之間的內(nèi)在聯(lián)系．六．離散型隨機(jī)變量的分布列(一)．離散型隨機(jī)變量及其分布列1.隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫隨機(jī)變量．所有值均可一一列出的隨機(jī)變量叫離散型隨機(jī)變量．2.離散型隨機(jī)變量：對(duì)于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注意：高考研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值．3.離散型隨機(jī)變量的分布列的表示：一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②＝1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．4.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：(1)，；(2)．注意：①性質(zhì)(2)可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．(二)．離散型隨機(jī)變量的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．注意：(1)均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；(2)根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．2.均值的性質(zhì)(1)（為常數(shù)）．(2)若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．(3)．(4)如果相互獨(dú)立，則．(三)離散型隨機(jī)變量的方差：1.稱D(X)＝為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．注意：(1)(xi?E(X))2描述了xi(i=1,2,?n)相對(duì)于均值隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小；(2)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．2.方差的性質(zhì)(1)．(2)方差公式的變形：．七．兩點(diǎn)分布1.如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布．其中p＝P(X＝1)，稱為成功概率．注意：(1)兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；(2)兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．2.兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．八．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(一).獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1.定義：一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2.特點(diǎn)(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；(2)每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．(二)．二項(xiàng)分布1.定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)(1)適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．(2)本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3.二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．九．超幾何分布1.定義：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01…??…?2.超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)(1)適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．(2)本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．十．正態(tài)分布與正態(tài)曲線(一)正態(tài)曲線1.定義：我們把函數(shù)φμ,σ(x)=12.正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線位于軸上方，與軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；曲線在處達(dá)到峰值（最大值）12πσ(3)曲線與軸之間的面積為1；(4)當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：(5)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙(二)正態(tài)分布1.定義：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝?eq\o\al(b,a)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．(1)其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；(2)是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．(3)下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．2.正態(tài)分布的原則：若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為圖中陰影部分的面積，