13探索三角形全等的條件（四~六）（原卷版）

1.3探索三角形全等的條件（四~六）【推本溯源】1.如圖，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：（簡(jiǎn)寫成“”或“”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．2.用∵、∴表述的有關(guān)推理過程也可以用符號(hào)?來表述。如上面的推理過程也可這樣表示3.按下列作法,用直尺和圓規(guī)作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a作法：（1）作線段BC=a、（2）分別以B、C為圓心，c、b的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A。（3）連接AB、AC。▲ABC是所求的三角形。通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：（簡(jiǎn)寫成“”或“”）幾何語言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．【解惑】例1：如圖，已知，，垂足分別為，，，且，那么的理由是（

）

A． B． C． D．例2：如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．例3：用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明的依據(jù)是____（填，，，中的一種）．例4：如圖，已知，，為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線分別交，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．求證：．例5：如圖，平分，，則圖中的全等三角形有________對(duì)．【摩拳擦掌】1．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，，且平分，則利用（

）可說明與全等．

B． C． D．2．（2022春·河南鄭州·七年級(jí)鄭州外國(guó)語中學(xué)校考期末）小明在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后，發(fā)現(xiàn)了一種測(cè)量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對(duì)岸的A處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和刷才完全一樣的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在水平地面的B處（A，O，B三點(diǎn)在同一水平直線上），小明通過測(cè)量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在和中，，，要利用“”證明，需增加的一個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可用尺規(guī)作等于已知，判定三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知，，分別是和的高，則圖中全等三角形共有_______對(duì)．

6．（2023春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，于，，，則__．7．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是任意一個(gè)角，在，邊上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點(diǎn)的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是_____用字母表示即可8．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖，，求證：9．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，與交于點(diǎn)E，，，．求證：．10．（2023·廣東廣州·廣州市第八十九中學(xué)?？既＃┤鐖D，在四邊形中，，，連接．求證．

11．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，已知．求證：．

12．（2023·廣東廣州·廣州四十七中校考三模）如圖，平分，垂足分別為．求證：．

【知不足】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，，添加一個(gè)條件后能使用“邊角邊”基本事實(shí)判定的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在和中，，，，，三點(diǎn)在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，則要說明，需要證明和，則這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）2022年10月12日某中學(xué)八年級(jí)（4）班的同學(xué)在聽了“天宮課堂”第三課，即我國(guó)航天員在中國(guó)空間站進(jìn)行的太空授課后，組成數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．康康所在的小組依據(jù)全等三角形的判定設(shè)計(jì)了截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)，當(dāng)傘完全打開后，測(cè)得，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，那么的依據(jù)是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)是________．6．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，，若添加一個(gè)條件（不再添加新的字母）后，能判定與全等，則添加的條件可以是______（寫出一個(gè)條件即可）．7．（2022秋·江西宜春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，請(qǐng)你僅用無刻度直尺作圖．(1)在圖①中，畫出三角形邊上的中線；(2)在圖②中，找一格點(diǎn)D，使得．8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．9．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，于點(diǎn)E，且．求證：．

10．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，，垂足分別為D，E．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．11．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在和中，，點(diǎn)在邊上，，求證：．12．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)M是的中點(diǎn)，是過點(diǎn)M的一條直線，且，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)試說明：；(2)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，．求證：．14．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．求證：．【一覽眾山小】1．（2022秋·海南?？凇ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D所示，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．2.（2022秋·湖北宜昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)F，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．則四邊形的面積是（）

A．4 B．6 C．10 D．163．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，若，，則__________．4.（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知：如圖，點(diǎn)，在線段上，，，．求證：．

5．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，不必證明．6．（2023秋·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探究活動(dòng)（1）[知識(shí)回顧]如圖，王芳不小心把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片，現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號(hào)是（）A．①

B．②

C．③（2）[直觀感知]如圖，李明不小心把一塊四邊形的玻璃打成四塊碎片，現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃，則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號(hào)是（）A．①②

B．①③

C．①④D．②③

E．②④

F．③④（3）[問題探究]在平面幾何里，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形．類似的，我們把能夠完全重合的兩個(gè)四邊形叫全等四邊形．也就是說四條邊和四個(gè)角都分別相等的兩個(gè)四邊形全等．①已知：如圖，在四邊形與四邊形中，，，，，．求證：四邊形與四邊形是全等四邊形．②請(qǐng)類比全等三角形的判定定理，用文字語言表述第①題的題設(shè)與結(jié)論：③請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)判定四邊形全等的真命題．（用符號(hào)語言表達(dá)，不必證明）7．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，，是邊上的中線，過作的垂線，垂足為，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：：(2)，求的長(zhǎng)．8．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）【提出問題】我們已經(jīng)知道了三角形全等的判定方法（，，，）和直角三角形全等的判定方法（HL），請(qǐng)你繼續(xù)對(duì)“兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形（）”的情形進(jìn)行探究．【探索研究】已知：在和中，，，．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可知RtRt；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出，通過作圖，可知與全等．（填“一定”或“不一定”）(3)如圖③，當(dāng)時(shí)，與是否全等？若全等，請(qǐng)加以證明：若不全等，請(qǐng)舉出反例．【歸納總結(jié)】(4)如果兩個(gè)三角形的兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等，那么當(dāng)這組對(duì)角是__________時(shí)，這兩個(gè)三角形一定全等．（填序號(hào)）①銳角；②直角；③鈍角．