高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第15講立體幾何中探索性問題專題練習(xí)(原卷版+解析)

13/13第15講立體幾何中探索性問題一．方法綜述立體幾何在高考中突出對考生空間想象能力、邏輯推理論證能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等核心素養(yǎng)的考查?？疾榈臒狳c(diǎn)是以幾何體為載體的垂直、平行的證明、平面圖形的折疊、探索開放性問題等；同時(shí)考查轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合的思想方法。對于探索性問題（是否存在某點(diǎn)或某參數(shù)，使得某種線、面位置關(guān)系成立問題）是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，問題一般有三種類型：(1)條件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法類比探索型?，F(xiàn)進(jìn)行歸納整理，以便對此類問題有一個(gè)明確的思考方向和解決辦法。二．解題策略類型一空間平行關(guān)系的探索【例1】（2020·眉山外國語學(xué)校高三期中（理））在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是__________①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面平面；③的面積可能等于；④若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得【舉一反三】1．（2020·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（文））如圖所示，在長方體中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，給出下列命題：①四棱錐的體積恒為定值；②存在點(diǎn)，使得平面；③對于棱上任意一點(diǎn)，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面；④存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長取得最小值.其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）2.（2020北京西城區(qū)高三期末）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：平面ACF⊥平面BDEF；（Ⅱ）若過直線BD的一個(gè)平面與線段AE和AF分別相交于點(diǎn)G和H（點(diǎn)G與點(diǎn)A，E均不重合），求證：EF∥GH；（Ⅲ）判斷線段CE上是否存在一點(diǎn)M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．類型二空間垂直關(guān)系的探索【例2】（2020·上海市控江中學(xué)高三（理））已知矩形,,,將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過程中()A．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直B．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直C．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直D．無論翻折到什么位置,以上三組直線均不垂直【舉一反三】1．（2020·合肥市第六中學(xué)高三（理））已知矩形，，，將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，則（）．A．當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得B．當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得C．當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得D．時(shí)，都不存在某個(gè)位置，使得2．（2020·安徽合肥一中高三期末）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是__________．①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面平面；③若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得；④的面積可能等于.3．（2020·四川高三月考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面.（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍.類型三空間角與距離的探索【例3】（2020·重慶市松樹橋中學(xué)校高三月考）如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：異面直線與間的距離為定值；三棱錐的體積為定值；異面直線與直線所成的角為定值；二面角的大小為定值．其中真命題有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【舉一反三】1．（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三期末）正四面體中，在平面內(nèi)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與平面所成角不可能是()A． B． C． D．2．（2020·全國高三月考（理））如圖，已知等邊三角形中，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），記，現(xiàn)將沿折起至，記異面直線與所成的角為，則下列一定成立的是（）A． B． C． D．3.（2020·北京高三期末）在邊長為的等邊三角形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，滿足且，將沿直線折到的位置.在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（）A．在邊上存在點(diǎn)，使得在翻折過程中，滿足平面B．存在，使得在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面平面C．若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，D．在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·四川廣安中學(xué)高三月考）如圖，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．下列說法正確的是（）A．對任意動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)不存在與平面平行的直線B．對任意動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線C．當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中，二面角的大小不變D．當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中，點(diǎn)到平面的距離逐漸變大2．（2020·云南師大附中高三月考（理））如圖，已知是圓的直徑，，在圓上且分別在的兩側(cè)，其中，.現(xiàn)將其沿折起使得二面角為直二面角，則下列說法不正確的是（）A．，，，在同一個(gè)球面上B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為C．與是異面直線且不垂直D．存在一個(gè)位置，使得平面平面3．（2020·浙江高三月考）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C、D的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折過程中，下列三個(gè)說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①存在點(diǎn)E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC；②存在點(diǎn)E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC；③二面角S﹣AB﹣E的平面角總是小于2∠SAE．A．0 B．1 C．2 D．34．（2019·湖南高三期末（理））如圖，正方體的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若，，，（大于零），則四面體PEFQ的體積A．與都有關(guān) B．與m有關(guān)，與無關(guān)C．與p有關(guān)，與無關(guān) D．與π有關(guān)，與無關(guān)5．（2020·湖南省衡陽縣第四中學(xué)高三期中）如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是A．恒有⊥B．異面直線與不可能垂直C．恒有平面⊥平面D．動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上6．（2020·云南省玉溪第一中學(xué)高三月考（理））如圖，矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，點(diǎn)折至處（平面），若為線段的中點(diǎn)，則在折起過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．始終有平面B．不存在某個(gè)位置，使得平面C．三棱錐體積的最大值是D．一定存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角為7．（2020·深圳市高級中學(xué)高考模擬（理））設(shè)是正四面體底面的中心，過的動(dòng)平面與交于與的延長線分別交于則()A．有最大值而無最小值B．有最小值而無最大值C．既有最大值又有最小值，且兩者不相等D．是一個(gè)與平面無關(guān)的常數(shù)8．（2020·浙江高考模擬）已知正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心），直線平面，分別是棱上一點(diǎn)（除端點(diǎn)），將正三棱錐繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則能與平面所成的角取遍區(qū)間一切值的直線可能是（）A． B． C． D．中的任意一條9．（2020·河南高考模擬（理））設(shè)是正方體的對角面（含邊界）內(nèi)的點(diǎn)，若點(diǎn)到平面、平面、平面的距離相等，則符合條件的點(diǎn)（）A．僅有一個(gè)B．有有限多個(gè)C．有無限多個(gè)D．不存在10．（2020·廣東佛山一中高三（理））如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)為．若為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，有下列命題：①是定值；②點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)；③一定存在某個(gè)位置，使；④若平面，則平面．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．11．（2020·永安市第三中學(xué)高三月考（理））如圖，在正方體中,平面垂直于對角線AC,且平面截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形,記此截面六邊形的面積為,周長為,則（）A．為定值,不為定值 B．不為定值,為定值C．與均為定值 D．與均不為定值12．（2020·上海市奉賢中學(xué)高三）設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在使得是直角三角形；②存在使得是等邊三角形；③三條直線上存在四點(diǎn)使得四面體為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．313．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過程中，下面四個(gè)命題中正確是___________.(填序號即可)①|(zhì)BM|是定值；②總有CA1⊥平面A1DE成立；③存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C；④存在某個(gè)位置，使MB平面A1DE.14．（2020·黑龍江牡丹江一中高三月考（理））如圖正方體的棱長為，、、，分別為、、的中點(diǎn).則下列命題：①直線與平面平行；②直線與直線垂直；③平面截正方體所得的截面面積為；④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等；⑤平面截正方體所得兩個(gè)幾何體的體積比為.其中正確命題的序號為_______.15．（2020·莆田第七中學(xué)高三）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是____.①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③的面積不可能等于；④若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.16．如圖，已知在正方體中，，點(diǎn)為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，給出下列命題：①無論在如何移動(dòng)，四棱錐的體積恒為定值；②截面四邊形的周長的最小值是；③當(dāng)點(diǎn)不與，重合時(shí)，在棱上恒存在點(diǎn)，使得平面；④存在點(diǎn)，使得平面；其中正確的命題是______．【來源】河南省駐馬店市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理試題17．如圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有__________．①直線與直線始終是異面直線②存在點(diǎn)，使得③四面體的體積為定值④當(dāng)時(shí)，平面平面18．如圖，已知棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列結(jié)論：①異面直線與所成的角范圍為；②平面平面；③點(diǎn)到平面的距離為定值；④存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為.其中正確的結(jié)論是___________.第15講立體幾何中探索性問題第15講立體幾何中探索性問題一．方法綜述立體幾何在高考中突出對考生空間想象能力、邏輯推理論證能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等核心素養(yǎng)的考查。考查的熱點(diǎn)是以幾何體為載體的垂直、平行的證明、平面圖形的折疊、探索開放性問題等；同時(shí)考查轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合的思想方法。對于探索性問題（是否存在某點(diǎn)或某參數(shù)，使得某種線、面位置關(guān)系成立問題）是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，問題一般有三種類型：(1)條件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法類比探索型?，F(xiàn)進(jìn)行歸納整理，以便對此類問題有一個(gè)明確的思考方向和解決辦法。二．解題策略類型一空間平行關(guān)系的探索【例1】（2020·眉山外國語學(xué)校高三期中（理））在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是__________①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面平面；③的面積可能等于；④若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得【答案】①②③④【解析】①如圖所示，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，可知也是中點(diǎn)且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正確；②如圖所示，取靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)記為，記，，因?yàn)椋?，所以為靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正確；③如圖所示，作，在中根據(jù)等面積得：，根據(jù)對稱性可知：，又，所以是等腰三角形，則，故正確；④如圖所示，設(shè)，在平面內(nèi)的正投影為，在平面內(nèi)的正投影為，所以，，當(dāng)時(shí)，解得：，故正確.故答案為①②③④【點(diǎn)評】.探索開放性問題，采用了先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再加以證明，對于命題結(jié)論的探索，常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么，對于探索結(jié)論是否存在，求解時(shí)常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容或者矛盾的結(jié)論。平行關(guān)系問題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，通過找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關(guān)系的根本?！九e一反三】1．（2020·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（文））如圖所示，在長方體中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，給出下列命題：①四棱錐的體積恒為定值；②存在點(diǎn)，使得平面；③對于棱上任意一點(diǎn)，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面；④存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長取得最小值.其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）【答案】①②④【解析】對①,,又三棱錐底面不變,且因?yàn)椤蔚酌?故到底面的距離即上的高長度不變.故三棱錐體積一定,即四棱錐的體積恒為定值,①正確.對②,因?yàn)?且長方體,故四邊形為正方形,故.要平面則只需,又,故只需面.又平面,故只需即可.因?yàn)?故當(dāng)時(shí)存在點(diǎn),使得,即平面.故②正確.對③,當(dāng)在時(shí)總有與平面相交,故③錯(cuò)誤.對④,四邊形的周長,分析即可.將矩形沿著展開使得在延長線上時(shí),此時(shí)的位置設(shè)為,則線段與的交點(diǎn)即為使得截面四邊形的周長取得最小值時(shí)的唯一點(diǎn).故④正確.故答案為：①②④2.（2020北京西城區(qū)高三期末）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：平面ACF⊥平面BDEF；（Ⅱ）若過直線BD的一個(gè)平面與線段AE和AF分別相交于點(diǎn)G和H（點(diǎn)G與點(diǎn)A，E均不重合），求證：EF∥GH；（Ⅲ）判斷線段CE上是否存在一點(diǎn)M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC?平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF．又AC?平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDEF．（Ⅱ）證明：∵EF∥BD，EF?平面AEF，BD?平面AEF，∴BD∥平面AEF，又BD?平面BDGH，平面AEF∩平面BDGH=GH，∴BD∥GH，又BD∥EF，∴GH∥EF．（Ⅲ）解：線段CE上存在一點(diǎn)M，使得平面BDM∥平面AEF，此時(shí)．以下給出證明過程．證明：設(shè)CE的中點(diǎn)為M，連接DM，BM，因?yàn)锽D∥EF，BD?平面AEF，EF?平面AEF，所以BD∥平面AEF．設(shè)AC∩BD=O，連接OM，在△ACE中，因?yàn)镺A=OC，EM=MC，所以O(shè)M∥AE，又因?yàn)镺M?平面AEF，AE?平面AEF，所以O(shè)M∥平面AEF．又因?yàn)镺M∩BD=O，OM，BD?平面BDM，所以平面BDM∥平面AEF．類型二空間垂直關(guān)系的探索【例2】（2020·上海市控江中學(xué)高三（理））已知矩形,,,將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過程中()A．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直B．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直C．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直D．無論翻折到什么位置,以上三組直線均不垂直【答案】A【解析】如圖所示：作于，于翻折前，易知存在一個(gè)狀態(tài)使，滿足，，平面，平面，故正確錯(cuò)誤；若和垂直，平面，平面，不成立，故錯(cuò)誤；若和垂直，故平面，平面，，因?yàn)?，故不成立，故錯(cuò)誤；故選：【舉一反三】1．（2020·合肥市第六中學(xué)高三（理））已知矩形，，，將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，則（）．A．當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得B．當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得C．當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得D．時(shí)，都不存在某個(gè)位置，使得【答案】C【解析】

∵，∴若存在某個(gè)位置，使得直線，則平面，則，在中，，，則由直角邊小于斜邊可知，，即，結(jié)合選項(xiàng)可知只有選項(xiàng)中時(shí)，存在某個(gè)位置，使得，故選．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查翻折問題、線面垂直與線線垂直轉(zhuǎn)換的應(yīng)用以及空間想象能力，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理，本題中，先根據(jù)線線垂直得到線面垂直，在根據(jù)線面垂直得到線線垂直，從而得到，進(jìn)而得到結(jié)果.2．（2020·安徽合肥一中高三期末）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），則下列結(jié)論正確的是__________．①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面平面；③若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得；④的面積可能等于.【答案】①②③【解析】由正方體性質(zhì)可得平面，平面，所以，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，，同理可證，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，所以平面平面，當(dāng)為直線與平面的交點(diǎn)時(shí)，滿足平面平面，所以①正確；根據(jù)①證明方法同理可證：，可以證得平面，平面，所以平面平面，所以②正確；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，得：，即時(shí)，滿足，所以③正確；，均為直角三角形，，的最小值為，此時(shí)，面積取得最小值，，的面積不可能等于，所以④說法錯(cuò)誤.故答案為：①②③3．（2020·四川高三月考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面.（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍.【答案】（1），證明見詳解；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，則.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面所以平?故當(dāng)時(shí)，平面.（2）設(shè)是符合條件的邊上的點(diǎn).因?yàn)槠矫?，平面所以，又，，平面，平面所以平面，因?yàn)槠矫妫?因此，點(diǎn)應(yīng)是以為直徑的圓和邊的一個(gè)公共點(diǎn).則半徑，即.所以.類型三空間角與距離的探索【例3】（2020·重慶市松樹橋中學(xué)校高三月考）如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：異面直線與間的距離為定值；三棱錐的體積為定值；異面直線與直線所成的角為定值；二面角的大小為定值．其中真命題有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】對于①，異面直線與間的距離即為兩平行平面和平面間的距離，即為正方體的棱長，為定值．故①正確．對于②，由于，而為定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以點(diǎn)P到該平面的距離即為正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值．故②正確．對于③，由題意得在正方體中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故這兩條異面直線所成的角為．故③正確；對于④，因?yàn)槎娼荘?BC1?D的大小，即為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角的大小，而這兩個(gè)平面位置固定不變，故二面角的大小為定值．故④正確．綜上①②③④正確．選D．【舉一反三】1．（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三期末）正四面體中，在平面內(nèi)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與平面所成角不可能是()A． B． C． D．【答案】D【解析】考慮相對運(yùn)動(dòng)，讓四面體ABCD保持靜止，平面繞著CD旋轉(zhuǎn)，故其垂線也繞著CD旋轉(zhuǎn)，如下圖所示,取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則則也可等價(jià)于平面繞著EF旋轉(zhuǎn)，在中，易得如下圖示，將問題抽象為如下幾何模型，平面的垂線可視為圓錐的底面半徑EP，繞著圓錐的軸EF旋轉(zhuǎn)，顯然則設(shè)BE與平面所成的角為，則可得2．（2020·全國高三月考（理））如圖，已知等邊三角形中，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），記，現(xiàn)將沿折起至，記異面直線與所成的角為，則下列一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正三角形的邊長為，如圖，在等邊三角形中，過作的垂線，垂足為，過作，垂足為，因?yàn)椋瑒t，且，故，所以，，故，又.將沿折起至，則.因，，，故平面，因，故平面，平面，所以，又為異面直線、所成的角，而，因，故，故選A.【點(diǎn)睛】折疊過程中空間中角的大小比較，關(guān)鍵是如何把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，同時(shí)弄清楚在折疊過程各變量之間的關(guān)系（可利用解三角形的方法來溝通）.3.（2020·北京高三期末）在邊長為的等邊三角形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，滿足且，將沿直線折到的位置.在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（）A．在邊上存在點(diǎn)，使得在翻折過程中，滿足平面B．存在，使得在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面平面C．若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，D．在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為【答案】D【解析】對于A，假設(shè)存在，使得平面，如圖1所示，因?yàn)槠矫?，平面平面，故，但在平面?nèi)，是相交的，故假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在，使得平面，故A錯(cuò)誤.對于B，如圖2，取的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，故，因?yàn)?，故所以均為等邊三角形，故，，因?yàn)椋?，，故共線，所以，因?yàn)?，故平面，而平面，故平面平面，若某個(gè)位置，滿足平面平面，則在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影為，所以，此時(shí)，這與矛盾，故B錯(cuò)誤.對于C，如圖3（仍取的中點(diǎn)分別為，連接）因?yàn)?，所以為二面角的平面角，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵?，所以，而，故平面，因平面，?因?yàn)?，所?在中，，在中，，故C錯(cuò).對于D，如圖4（仍取的中點(diǎn)分別為，連接），作在底面上的射影，則在上.因?yàn)?，所以且，所以?又，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故.故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊問題、折疊過程的線面、面面關(guān)系的判斷以及體積最值的計(jì)算，解題注意折疊前面變化的量與不變量的量，而線面、面面關(guān)系的判斷要依據(jù)性質(zhì)定理或判定定理，體積最值的計(jì)算首先要有目標(biāo)函數(shù)，其次根據(jù)線段長度的大小關(guān)系放縮為一元函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最值.三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·四川廣安中學(xué)高三月考）如圖，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．下列說法正確的是（）A．對任意動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)不存在與平面平行的直線B．對任意動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)存在與平面垂直的直線C．當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中，二面角的大小不變D．當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中，點(diǎn)到平面的距離逐漸變大【答案】C【解析】因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，且平行平面，故A錯(cuò)誤；平面即平面，又平面與平面斜相交，所以在平面內(nèi)不存在與平面垂直的直線，故B錯(cuò)誤；平面即平面，平面與平面是確定平面，所以二面角不改變，故C正確；平面即平面，點(diǎn)到平面的距離為定值，故D錯(cuò)誤.故選C.2．（2020·云南師大附中高三月考（理））如圖，已知是圓的直徑，，在圓上且分別在的兩側(cè)，其中，.現(xiàn)將其沿折起使得二面角為直二面角，則下列說法不正確的是（）A．，，，在同一個(gè)球面上B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為C．與是異面直線且不垂直D．存在一個(gè)位置，使得平面平面【答案】D【解析】因?yàn)?，所以A正確；當(dāng)，A，C各在所在圓弧的中點(diǎn)，此時(shí)三棱錐的底面BCD的面積和高均處于最大位置，此時(shí)體積為，所以B正確；AB與CD顯然異面，用反證法證明他們不垂直．若，過A作BD的垂線，垂足為E，因?yàn)闉橹倍娼牵訟E⊥平面BCD，所以，所以，所以，這與矛盾，所以AB與CD不垂直，所以C正確；假設(shè)存在一個(gè)位置，使得平面平面，過作于，則平面由于平面，與選項(xiàng)矛盾.故選：D．3．（2020·浙江高三月考）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C、D的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折過程中，下列三個(gè)說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①存在點(diǎn)E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC；②存在點(diǎn)E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC；③二面角S﹣AB﹣E的平面角總是小于2∠SAE．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】對于①，四邊形ABCE為梯形，所以AE與BC必然相交，故①錯(cuò)誤；對于②，假設(shè)SA平面SBC，SC平面SBC，所以SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，所以SA⊥平面SCE，所以平面SCE∥平面SBC，這與平面SBC∩平面SCE＝SC矛盾，故假設(shè)不成立，即②錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)將△ADE沿AE翻折使得平面SAE⊥平面ABCE時(shí)，二面角S﹣AB﹣E最大，如圖，在平面SAE內(nèi)，作SO⊥AE，垂足為O，∴SO⊥平面ABCE；AB平面ABCE，所以SO⊥AB；作OF⊥AB，垂足為F，連接SF，SO∩OF＝O，則AB⊥平面SFO，所以AB⊥SF，則∠SFG即為二面角S﹣AB﹣E的平面角；在直線AE上取一點(diǎn)，使得O＝OF，連接S，則∠SO＝∠SFO；由圖形知，在△SA中，S＞A，所以∠AS＜∠SAE；而∠SO＝∠SAE+∠AS，故∠SO＜2∠SAE；即∠SFO＜2∠SAE．故③正確．故選：B．4．（2019·湖南高三期末（理））如圖，正方體的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若，，，（大于零），則四面體PEFQ的體積A．與都有關(guān) B．與m有關(guān)，與無關(guān)C．與p有關(guān)，與無關(guān) D．與π有關(guān)，與無關(guān)【答案】C【解析】如下圖所示，連接、交于點(diǎn)，作，在正方體中，平面，且平面，，又四邊形為正方形，則，且，平面，即平面，，平面，且，易知四邊形是矩形，且，點(diǎn)到直線的距離為，的面積為，所以，四面體的體積為，因此，四面體的體積與有關(guān)，與、無關(guān)，故選C.5．（2020·湖南省衡陽縣第四中學(xué)高三期中）如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是A．恒有⊥B．異面直線與不可能垂直C．恒有平面⊥平面D．動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上【答案】B【解析】對A來說，DE⊥平面，∴⊥；對B來說，∵E、F為線段AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是異面直線A′E與BD所成的角，當(dāng)（A'E）2+EF2=（A'F）2時(shí)，直線A'E與BD垂直，故B不正確；對C來說，因?yàn)镈E⊥平面，DE平面，∴平面⊥平面，故C正確；對D來說，∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，從而平面ABC⊥平面A′AF，且兩平面的交線為AF，∴A'在平面ABC上的射影在線段AF上，正確；故選：B6．（2020·云南省玉溪第一中學(xué)高三月考（理））如圖，矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，點(diǎn)折至處（平面），若為線段的中點(diǎn)，則在折起過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．始終有平面B．不存在某個(gè)位置，使得平面C．三棱錐體積的最大值是D．一定存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角為【答案】D【解析】對于，延長，交于，連接，由為的中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，可得，平面，平面，則平面，正確；對于，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，可得，若平面，即有，則平面，即有，由，，為的中點(diǎn)，則，即，可知，則與不垂直；則不存在某個(gè)位置，使得平面，正確；對于，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，最大體積為，正確；對于，，過作，平面，則是異面直線與所成的角或所成角的補(bǔ)角，且，在△中，，，，由正弦定理可得，則即則為定值，即為定值，故不存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角為，錯(cuò)誤；故選：．7．（2020·深圳市高級中學(xué)高考模擬（理））設(shè)是正四面體底面的中心，過的動(dòng)平面與交于與的延長線分別交于則()A．有最大值而無最小值B．有最小值而無最大值C．既有最大值又有最小值，且兩者不相等D．是一個(gè)與平面無關(guān)的常數(shù)【答案】D【解析】設(shè)正三棱錐中,各側(cè)棱兩兩夾角為,與面所成角為,

則.

另一方面,記到各面的距離為,則,

即

,

故有:,即常數(shù)，故選D.8．（2020·浙江高考模擬）已知正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心），直線平面，分別是棱上一點(diǎn)（除端點(diǎn)），將正三棱錐繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則能與平面所成的角取遍區(qū)間一切值的直線可能是（）A． B． C． D．中的任意一條【答案】B【解析】假設(shè)滿足題意，當(dāng)與平面所成的角為時(shí)，，由可得.在正三棱錐中，可得，當(dāng)時(shí)可得，顯然這是不可能成立的，所以不滿足題意.同理，與不可能垂直，則與平面所成的角不可能為.綜上所述，可以排除A,C,D，故選B.9．（2020·河南高考模擬（理））設(shè)是正方體的對角面（含邊界）內(nèi)的點(diǎn)，若點(diǎn)到平面、平面、平面的距離相等，則符合條件的點(diǎn)（）A．僅有一個(gè)B．有有限多個(gè)C．有無限多個(gè)D．不存在【答案】A【解析】解：與平面距離相等的點(diǎn)位于平面上；與平面距離相等的點(diǎn)位于平面上；與平面距離相等的點(diǎn)位于平面上；據(jù)此可知，滿足題意的點(diǎn)位于上述平面，平面,平面的公共點(diǎn)處，結(jié)合題意可知，滿足題意的點(diǎn)僅有一個(gè).本題選擇A選項(xiàng).10．（2020·廣東佛山一中高三（理））如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)為．若為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，有下列命題：①是定值；②點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)；③一定存在某個(gè)位置，使；④若平面，則平面．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中點(diǎn)，連接，，由，定值，定值，由余弦定理可得，所以是定值，故①正確；∵是定點(diǎn)，∴是在以為圓心，為半徑的圓上，故②正確，∵A1C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，∴不存在某個(gè)位置,使DE⊥A1C，故③不正確.由，，∴平面平面，∴平面，故④正確．故選C．11．（2020·永安市第三中學(xué)高三月考（理））如圖，在正方體中,平面垂直于對角線AC,且平面截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形,記此截面六邊形的面積為,周長為,則（）A．為定值,不為定值 B．不為定值,為定值C．與均為定值 D．與均不為定值【答案】B【解析】設(shè)平面截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形為，與正方體的棱的交點(diǎn)分別為（如下圖），將正方體切去兩個(gè)正三棱錐和，得到一個(gè)幾何體，是以平行平面和為上下底，每個(gè)側(cè)面都是直角等腰三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，設(shè)正方體棱長為，，則，，故，同理可證明，故六邊形的周長為，即周長為定值；當(dāng)都在對應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，是正六邊形，計(jì)算可得面積，三角形的面積為，當(dāng)無限趨近于時(shí)，的面積無限趨近于，故的面積一定會(huì)發(fā)生變化，不為定值．故答案為B.12．（2020·上海市奉賢中學(xué)高三）設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在使得是直角三角形；②存在使得是等邊三角形；③三條直線上存在四點(diǎn)使得四面體為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】我們不妨先將A、B、C按如圖所示放置．容易看出此時(shí)BC＜AB＝AC．現(xiàn)在，將A和B往上移，并且總保持AB＝AC（這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B移得很高很高時(shí)，不難想象△ABC將會(huì)變得很扁，也就是會(huì)變成頂角A“非常鈍”的一個(gè)等腰鈍角三角形．于是，在移動(dòng)過程中，總有一刻，使△ABC成為等邊三角形，亦總有另一刻，使△ABC成為直角三角形（而且還是等腰的）．這樣，就得到①和②都是正確的．至于③，如圖所示．為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所公共頂點(diǎn)為?．假設(shè)A是?，那么由AD⊥AB，AD⊥AC，知L3⊥△ABC，從而△ABC三邊的長就是三條直線的距離4、5、6，這就與AB⊥AC矛盾．同理可知D是?時(shí)也矛盾；假設(shè)C是?，那么由BC⊥CA，BC⊥CD，知BC⊥△CAD，而l1∥△CAD，故BC⊥l1，從而BC為l1與l2的距離，于是EF∥BC，EF＝BC，這樣就得到EF⊥FG，矛盾．同理可知B是?時(shí)也矛盾．綜上，不存在四點(diǎn)Ai（i＝1，2，3，4），使得四面體A1A2A3A4為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．故選C．13．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過程中，下面四個(gè)命題中正確是___________.(填序號即可)①|(zhì)BM|是定值；②總有CA1⊥平面A1DE成立；③存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C；④存在某個(gè)位置，使MB平面A1DE.【答案】①④【解析】對于①：由圖知，取CD的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)MF，BF，設(shè)，易知∠A1DE=∠MFB，MFA1D=，F(xiàn)B=DE=，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF?FB?cos∠MFB，所以MB是定值，故①正確.對于②：由反證法，若總有CA1⊥平面A1DE成立，則CA1⊥A1E成立，而CE=，，求得CA1=為定值，而在翻折過程中，CA1的長是一直變化的，故②錯(cuò)誤；對于③：∵A1C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，∴A1C與DE一定不垂直，可得③不正確.對于④：由①知，MFDA1，BFDE，∴平面MBF平面A1DE，∴MB平面A1DE，故④正確.故答案為：①④.14．（2020·黑龍江牡丹江一中高三月考（理））如圖正方體的棱長為，、、，分別為、、的中點(diǎn).則下列命題：①直線與平面平行；②直線與直線垂直；③平面截正方體所得的截面面積為；④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等；⑤平面截正方體所得兩個(gè)幾何體的體積比為.其中正確命題的序號為_______.【答案】①③⑤【解析】連結(jié),由、分別為、的中點(diǎn).則∥,又∥，所以∥且=.所以截面四邊形形為等腰梯形.對①,、，分別為、的中點(diǎn),所以∥,且=，則四邊形為平行四邊形,所以∥,所以∥平面，故①正確.對②,∥,在中，,顯然與不垂直，則直線與直線不垂直，故②不正確.對③,平面截正方體所得的截面為四邊形,又四邊形為等腰梯形,其中,,梯形的高為,則其面積為.故③正確.對④，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以到面的距離相等.、分別為、的中點(diǎn),延長交的延長線于點(diǎn),即直線交平面于點(diǎn),則為的中點(diǎn),如圖,分別過作平面的垂線，垂足分為，所以分別為點(diǎn)到面的距離,則三點(diǎn)共線，根據(jù)三角形的相似可得:,所以到面的距離不相等，則點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離不相等,故④不正確.對⑤,由