2025屆云南省羅平二中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆云南省羅平二中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺2．已知分別是雙曲線的左、右焦點，動點P在雙曲線的左支上，點Q為圓上一動點，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.53．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.4．已知，若是函數(shù)一個零點，則的值為()A.0 B.C.1 D.5．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b26．某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間.該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時間是3.5小時.這里的總體是（）A.楊高的全校學(xué)生；B.楊高的全校學(xué)生的平均每天自習(xí)時間；C.所調(diào)查的60名學(xué)生；D.所調(diào)查的60名學(xué)生的平均每天自習(xí)時間.7．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°8．函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.9．“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10．已知等差數(shù)列滿足，則其前10項之和為（）A.140 B.280C.68 D.5611．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.812．已知拋物線，為坐標(biāo)原點，以為圓心的圓交拋物線于、兩點，交準(zhǔn)線于、兩點，若，，則拋物線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點且與直線垂直的直線方程為______14．在數(shù)列中，滿足，則________15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個結(jié)論：其中，所有正確結(jié)論的序號是____________①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍城的“心形”區(qū)域的面積小于316．已知長方體中，，，則點到平面的距離為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值18．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值19．（12分）已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且它的一條漸近線方程為.（1）求橢圓的焦點坐標(biāo)；（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程20．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為（1）求C的方程；（2）直線與C交于A，B兩點，在C上是否存在點Q，使得直線QA，QB分別與y軸交于M，N兩點，且？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由21．（12分）橢圓的一個頂點為，離心率（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點．若滿足，求直線的方程22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標(biāo)原點）的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A2、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點共線時，最小，最小值為，而，所以故選：A3、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因為函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C4、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設(shè)函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對數(shù)運算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設(shè)，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.5、A【解析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過其導(dǎo)數(shù)進行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問題【詳解】∵∴∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)∴在上恒成立∴，即.∴故選A.【點睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來進行求解.6、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間，該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時間是3.5小時，這里的總體是全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間.故選：B.7、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D8、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B9、B【解析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【點睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于?？碱}型.10、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以數(shù)列的前10項和為.故選：A.11、D【解析】使用遞推公式逐個求解，直到求出即可.【詳解】因為所以，，，.故選：D12、C【解析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，求出正數(shù)的值，即可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)圓的半徑為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由勾股定理可得，因為，將代入拋物線方程得，可得，不妨設(shè)點，則，所以，，解得，因此，拋物線的方程為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先設(shè)出與直線垂直的直線方程，再把代入進行求解.【詳解】設(shè)與直線垂直的直線為，將代入得：，解得：，故所求直線方程為.故答案為：14、15【解析】根據(jù)遞推公式，依次代入即可求解.【詳解】數(shù)列滿足，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，故答案為：15.15、①②【解析】根據(jù)題意，先判斷曲線關(guān)于軸對稱，由基本不等式的性質(zhì)對方程變形，得到，可判定①正確；當(dāng)時，，得到曲線右側(cè)部分的點到原點的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對稱性，可判定②正確；由軸的上方，圖形的面積大于四點圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點圍成的三角形的面積，可判斷③不正確.【詳解】根據(jù)題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱，對于①中，當(dāng)時，，即為，可得，所以曲線經(jīng)過點，再根據(jù)對稱性可知，曲線還經(jīng)過點，故曲線恰好經(jīng)過6個整點，所以①正確；對于②中，由①可知，當(dāng)時，，即曲線右側(cè)部分的點到原點的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對稱性可知，曲線上任意一點到原點的距離都不超過，所以②正確；對于③中，因為在軸的上方，圖形的面積大于四點圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點圍成的三角形的面積，所以曲線所圍城的“心形”區(qū)域的面積大于3，所以③不正確.故選：①②16、##2.4【解析】過作于，可證即為點到平面的距離.【詳解】過作于，∵是長方體，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，設(shè)點到平面的距離為，∵∥平面，∴根據(jù)等面積法得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出，，的坐標(biāo)，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系因為，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為18、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個法向量為令設(shè)平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓方程及其參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)c，即可得焦點坐標(biāo).（2）由漸近線及焦點坐標(biāo)，可設(shè)雙曲線方程為，再由雙曲線參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)，即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】由題設(shè)，，又，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為.【小問2詳解】由題設(shè)，令雙曲線為，由（1）知：，可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20、（1）（2）見解析【解析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程得出拋物線方程；（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達定理結(jié)合求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立，得由，得，假設(shè)C上存在點Q，使得直，則又即存在點滿足條件.21、（1）；（2）【解析】（1）首先由橢圓的一個頂點可以求出的值，再根據(jù)離心率可得到、的關(guān)系，聯(lián)立即可求得的值，進而得到橢圓的方程；（2）先聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達定理得到線段的中點的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求得的值，進而求得直線的方程【詳解】（1）由一個頂點為，離心率，可得，，，解得，，即有橢圓方程為（2）由知點在線段的垂直平分線上，由，消去得，由，得方程的，即方程有兩個不相等的實數(shù)根設(shè)、，線段的中點，則，所以，所以，即，因為，所以直線的斜率為，由，得，所以，解得：，即有直線的方程為22、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達定理結(jié)合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截