2025屆上海市師大二附中數學高二上期末檢測模擬試題含解析

2025屆上海市師大二附中數學高二上期末檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.2．函數的部分圖像為（）A. B.C. D.3．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°4．已知兩圓相交于兩點和，兩圓的圓心都在直線上，則的值為A. B.2C.3 D.05．已知點P在拋物線上，點Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.6．直線的斜率是（）A. B.C. D.7．我國古代數學名著《算法統宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言，務要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第5個孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤8．在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，過雙曲線上一點作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知公差為的等差數列滿足，則（）A B.C. D.10．已知點是點在坐標平面內的射影，則點的坐標為（）A. B.C. D.11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.12．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為4的菱形，且，E為AD的中點，，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點，，，，若，則_________14．已知數列an滿足，則__________15．已知圓錐的高為，體積為，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.16．已知平面和兩條不同的直線，則下列判斷中正確的序號是___________.①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：（1）若點，求過點的圓的切線方程；（2）若點為圓的弦的中點，求直線的方程18．（12分）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點，若y軸上存在點P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍19．（12分）已知數列的前n項積，數列為等差數列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數列的前n項和20．（12分）年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務小組受大會展示項目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個信號源相距米，是的中點，過點的直線與直線的夾角為，機器貓在直線上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到點的信號比接收到點的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）.在時刻時，測得機器鼠距離點為米.（1）以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系（如圖），求時刻時機器鼠所在位置的坐標；（2）游戲設定：機器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風險.如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？21．（12分）已知函數在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）求函數圖象上的點到直線的距離的最小值.22．（10分）有1000人參加了某次垃圾分類知識競賽，從中隨機抽取100人，將這100人的此次競賽的分數分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計總體1000人中競賽分數不少于70分的人數；（3）假設同組中的每個數據都用該組區(qū)間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數的平均數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數列的性質將轉化為，而，可知數列是遞增數，從而可求得結果【詳解】∵等差數列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B2、D【解析】先判斷奇偶性排除C，再利用排除B，求導判斷單調性可排除A.【詳解】因為，所以為偶函數，排除C；因為，排除B；當時，，，當時，，所以函數在區(qū)間上單調遞減，排除A.故選：D3、C【解析】根據正弦定理將化為邊之間的關系，再結合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據正弦定理得：，即,而，故，故選：C.4、C【解析】根據條件知：兩圓的圓心的所在的直線與兩圓的交點所在的直線垂直，以及兩圓的交點的中點在兩圓的圓心的所在的直線上，由此得到方程，得解.【詳解】由已知兩圓的交點與兩圓的圓心的所在的直線垂直，，所以，又因為兩圓的交點的中點在兩圓的圓心所在的直線上，所以，解得：，所以，故選.【點睛】此題主要考查圓與圓的位置關系，解答此題的關鍵是需知兩圓的圓心所在的直線與兩圓的交點所在的直線垂直，并且兩圓的交點的中點在兩圓的圓心所在的直線上，此題屬于基礎題.5、C【解析】先計算拋物線上的點P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設，由圓心，得，∴時，，∴故選：C.6、D【解析】把直線方程化為斜截式即得【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D7、A【解析】根據等差數列的前n項和公式、等差數列的通項公式進行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數依次構成等差數列，設該等差數列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數為，則由題意得，，解得，故選：A8、A【解析】根據條件可知四邊形為正方形，從而根據邊長相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設在第一象限，則，根據題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：A.9、C【解析】根據等差數列前n項和，即可得到答案.【詳解】∵數列是公差為的等差數列，∴，∴.故選：C10、D【解析】根據空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因為點是點在坐標平面內的射影，所以的豎坐標為0，橫、縱坐標與A點的橫、縱坐標相同，所以點的坐標為.故選：D11、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應用和密度曲線的對稱性的應用求出結果【詳解】根據隨機變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點睛】本題考查的知識要點：正態(tài)分布的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題12、B【解析】根據異面直線的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點F，G，連接DF，FG，DG，如圖，因為E為AD的中點，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補角）是異面直線PC與BE所成的角因為底面ABCD是邊長為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量可以解決問題.【詳解】設,如下圖所示，建立空間直角坐標系，，，，，，則所以又因為所以故答案為：14、2019【解析】將已知化為代入可以左右相消化簡，將已知化為，代入可以上下相消化簡，再全部代入求解即可.【詳解】由知故所以故答案為：201915、【解析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑，利用勾股定理可得母線長；根據球的表面積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐體積，，，以為半徑的球的表面積.故答案為：.16、②④【解析】根據直線與直線，直線與平面的位置關系依次判斷每個選項得到答案.詳解】若，則或，異面，或，相交，①錯誤；若，則，②正確；若，則或或與相交，③錯誤；若，則，④正確；故答案為：②④.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心與半徑，分過點的直線的斜率不存和存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求出切線方程；（2）根據圓心與弦中點的連線垂直線，可求出直線的斜率，進而求出結果.【小問1詳解】解：由題意知圓心的坐標為，半徑，當過點的直線的斜率不存在時，方程為由圓心到直線的距離知，此時，直線與圓相切當過點的直線的斜率存在時，設方程為，即．由題意知，解得，∴方程為故過點的圓的切線方程為或【小問2詳解】解：∵圓心，，即，又，∴，則.18、（1）（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設，，取AB的中點，聯立直線與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.小問1詳解】令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：【小問2詳解】設，，取AB的中點，因為為以AB為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯立得，則∴又∵，∴，且，，∴，由得，∴∴19、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數列的公差為，由等差數列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數列為等差數列，且，，所以，即，所以數列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.20、（1）；（2）沒有.【解析】（1）設機器鼠位置為點，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點坐標.（2）轉化機器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時，平行線間的距離，設的方程為，與雙曲線聯立，求出的值，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】（1）設機器鼠位置為點，、，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支，設其方程為：（，），則、、，則的軌跡方程為：（），時刻時，，即，可得機器鼠所在位置的坐標為；（2）由題意，直線，設直線的平行線的方程為，聯立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：與雙曲線的右支相切，切點即為雙曲線右支上距離最近的點，此時與的距離為，即機器鼠距離最小的距離為，則機器鼠保持目前運動軌跡不變，沒有“被抓”的風險.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，然后利用導數的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.【小問1詳解】∵函數，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數圖象上，解得，∴的解析式為；【小問2詳解】由于直線與直線平行，直線與函數在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數圖象上的點到直線的距離的最小值為.22、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競賽分數