安徽省師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

安徽省師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2．某家大型超市近10天的日客流量（單位：千人次）分別為：2.5、2.8、4.4、3.6.下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）A.散點(diǎn)圖 B.條形圖C.莖葉圖 D.扇形圖3．過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或4．已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且有，則的解集為（）A B.C. D.5．直線與曲線相切于點(diǎn),則()A. B.C. D.6．若1，m，9三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或27．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件9．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.10．在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做“等和數(shù)列”，這個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的公和．已知等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則（）A.2 B.﹣2C.3 D.﹣311．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.12．已知圓，為圓外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段所掃過(guò)圖形的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則___________.14．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標(biāo)系中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則其“歐拉線”的方程為_(kāi)__________.15．在等比數(shù)列中，，則__________16．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，4），直線l：，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上，圓心也在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知，對(duì)于有限集，令表示集合中元素的個(gè)數(shù)．例如：當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出集合的子集的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿(mǎn)足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)；（3）假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個(gè)序列中，對(duì)于任意，與之間恰好排列個(gè)整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)20．（12分）已知數(shù)列和滿(mǎn)足，（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，，證明為等差數(shù)列，并求和的通項(xiàng)公式21．（12分）已知函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）求函數(shù)在上的最值.22．（10分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（0，）的距離與它到直線的距離相等（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得或所以當(dāng)，可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B2、A【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特征以及各統(tǒng)計(jì)圖表的特征分析即可；【詳解】解：莖葉圖、條形圖、扇形圖均能將數(shù)據(jù)描述出來(lái)，并且能夠體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)；散點(diǎn)圖表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢(shì)，故用來(lái)描述該超市近10天的日客流量不是很合適；故選：A3、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足題意，方程為，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，∵直線過(guò)(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒4、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A5、A【解析】直線與曲線相切于點(diǎn),可得求得的導(dǎo)數(shù),可得,即可求得答案.【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)將代入可得:解得:由,解得:.可得,根據(jù)在上,解得:故故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切點(diǎn)求參數(shù)問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)切線的定義和導(dǎo)數(shù)的求法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.6、D【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計(jì)算即可得到【詳解】三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則，解得，，當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，則；當(dāng)時(shí)，曲線為為雙曲線，則離心率故選：7、D【解析】有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來(lái)，圖象的應(yīng)用常見(jiàn)的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)8、B【解析】當(dāng)時(shí)，通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說(shuō)明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿(mǎn)足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件故選：B【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過(guò)舉反例說(shuō)明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過(guò)程9、B【解析】直接利用直線垂直公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計(jì)算參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.10、C【解析】利用已知即可求得，再利用已知可得：，問(wèn)題得解【詳解】解：根據(jù)題意，等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則，即可得，又由an﹣1+an＝5，則，則3；故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識(shí)，考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力，還考查了數(shù)列的周期性，屬于中檔題11、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，所以，所以，故BC錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.12、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點(diǎn)的軌跡方程，分析可知線段所掃過(guò)圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因?yàn)榍?，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡方程為，所以，線段掃過(guò)的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段所掃過(guò)圖形的面積為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即得.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，因點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，所以.故答案為：14、【解析】由題意知是直角三角形，即可寫(xiě)出垂心、外心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設(shè)知：是直角三角形，則垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊的中點(diǎn)，∴“歐拉線”的方程為.故答案為：.15、【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知和同號(hào)，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)的計(jì)算，解題時(shí)不要忽略了對(duì)應(yīng)項(xiàng)符號(hào)的判斷，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）直接求出圓心的坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在進(jìn)行分類(lèi)討論，利用幾何法列方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由圓心C在直線l：上可設(shè)：點(diǎn)，又C也在直線上，∴，∴又圓C的半徑為1，∴圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，與圓C相切，此時(shí)直線方程為.當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線方程為，即，則，解得.此時(shí)切線方程，.綜上所述，所求切線為或18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)由可得,再結(jié)合和線面垂直的判定定理可得平面,則,再由可得平面.(2)以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：∵為矩形，且，∴.又∵，.∴，.又∵，，∴平面.∵平面，∴又∵，，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，∴，，設(shè)平面法向量則，即∴，∴∴直線與所成角的正弦值為.19、（1）8（2）454（3）證明見(jiàn)詳解【解析】（1）n元集合的直接個(gè)數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關(guān)系可解；（3）根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為【小問(wèn)2詳解】易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共有，2）若，同理，滿(mǎn)足條件集合對(duì)共有2433）當(dāng)A=B時(shí)，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共有所以，滿(mǎn)足條件集合對(duì)共243+243-32=454個(gè).【小問(wèn)3詳解】記，則1，1，2，2，··，，共2n個(gè)正整數(shù)，將這2n個(gè)正整數(shù)按照要求排列時(shí)，需在1和1中間放入1個(gè)數(shù)，在2和2中間放入2個(gè)數(shù)，…，在n和n中間放入n個(gè)數(shù)，共放入了個(gè)數(shù)，由于排列完成后共有2n個(gè)數(shù)，且1，1，2，2，··，，剛好放完，所以放入數(shù)字個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，即Z，所以，Z，所以是4的倍數(shù)20、（1）（2）證明見(jiàn)解析，，【解析】（1）代入可得，變形得構(gòu)造等比數(shù)列求的通項(xiàng)公式；（2）先由已知得，先分別求出，的通項(xiàng)公式，然后合并可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，時(shí)，，所以，即，整理得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列故，即【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由，，得，所以因?yàn)椋?，則是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，；是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，綜上所述，所以，，故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列當(dāng)時(shí)，，且滿(mǎn)足，所以21、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲線在的值以及切線斜率容易確定a與b的值；根據(jù)導(dǎo)數(shù)很容易確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及極值點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】，，，由于切線方程是，當(dāng)x=1時(shí)，y=-8，即，即=-8……①；又切線的斜率為-12，∴……②；聯(lián)立①②得.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，；當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)函數(shù)圖像如下：在時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增；∴在x=-1有極大值，x=3有極小值；在區(qū)間內(nèi)：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義或者直接列式化簡(jiǎn)即可求出