2025屆臨夏市重點(diǎn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆臨夏市重點(diǎn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線，其漸近線方程為，則a的值為（）A. B.C. D.22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線過點(diǎn)且與直線垂直.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為A.1 B.C.2 D.3．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.5．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件6．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.47．已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.98．曲線在點(diǎn)處的切線方程是A. B.C. D.9．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)n的值是（）A. B.C. D.10．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.和 B.和C.和 D.和11．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上存在兩點(diǎn)、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.12．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)分別為，，，則△ABC的歐拉線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，點(diǎn)，那么的最小值為______14．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.15．已知向量與是平面的兩個(gè)法向量，則__________16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求.19．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，且的面積為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.①證明：動(dòng)直線恒過軸上一定點(diǎn)；②設(shè)線段中點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，求的面積的最大值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值21．（12分）如圖，已知正四棱錐中，O為底面對角線的交點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.22．（10分）已知拋物線焦點(diǎn)是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）求線段AB的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線方程，根據(jù)其漸近線方程有，求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線，結(jié)合雙曲線方程，∴，可得.故選：A.2、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點(diǎn)且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，∴的面積為.考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.3、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A4、A【解析】分別取的中點(diǎn)，易得，則點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，設(shè)外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點(diǎn)，在等邊三角形中，，是中位線，則都是等邊三角形，所以，所以點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面，則，設(shè)外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷5、B【解析】根據(jù)垂直關(guān)系的性質(zhì)可判斷.【詳解】由題，，則或，若，則或或與相交，故充分性不成立；若，則必有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6、B【解析】化簡拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B7、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式后，再解不等式.【詳解】因?yàn)?，兩邊取倒?shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因?yàn)?，即，得，解得：?所以的最大值是7.故選：B8、D【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程.【詳解】，選D.點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C10、D【解析】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：D11、A【解析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、、，推導(dǎo)出、、三點(diǎn)共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導(dǎo)出，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、、，則為、的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點(diǎn)共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因?yàn)?，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.12、A【解析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，從而可求得結(jié)果【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，如圖，過作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：514、【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值【詳解】解：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即取等號(hào)，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值0，故答案為：015、【解析】由且為非零向量可直接構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由題意知：，，解得：（舍）或，.故答案為：.16、【解析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，同時(shí)還得滿足極大值點(diǎn)是最大值，還需列不等式，不要忽略這個(gè)不等式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，即可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因?yàn)?，所以【小?詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，，所以面積的最大值為18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得，，再結(jié)合即可求得答案.（2）設(shè)，，直接聯(lián)立方程得，再結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式和點(diǎn)到線的距離公式得，點(diǎn)M到直線的距離，進(jìn)而可得.【詳解】解：（1）由題意得，，結(jié)合，解得所以橢圓的方程為：.（2）由得即，經(jīng)驗(yàn)證.設(shè)，.所以，，故因?yàn)辄c(diǎn)M到直線的距離，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，橢圓的方程，弦長公式等，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.19、（1）（2）①證明見解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立曲線分別求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，求直線方程判斷定點(diǎn)即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意得，，，又，三個(gè)式子聯(lián)立解得，，，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】①證明：設(shè)兩條直線分別為和，根據(jù)題意和得斜率存在且不等于；因?yàn)?，所以設(shè)直線：，直線：；由，解得，所以，同理，.當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為：，整理得，此時(shí)直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)直線過定點(diǎn)，故直線恒過定點(diǎn).②根據(jù)題意得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最大值為：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角.【小問1詳解】因?yàn)镼為AD的中點(diǎn)，，所以，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小問2詳解】由題可知QA、QB、QP兩兩互相垂直，以QA為x軸、QB為y軸、QP為z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖，根據(jù)題意，則，，，，，由M是棱PC的中點(diǎn)可知，，設(shè)平面MQB的法向量為，，，則，即令，則，，故平面MQB的一個(gè)法向量為，所以，所以直線PB與平面MQB所成角的正弦值為21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定推理作答.（2）利用正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直的判定推理作答.小問1詳解】在正四棱錐中，由正方形得：，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在正四棱錐中，O為底面對角線的交點(diǎn)，則