2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征學(xué)案含解析新人教版必修3

PAGE2．2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征內(nèi)容標準學(xué)科素養(yǎng)1.會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差.2.理解用樣本的數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的方法.3.會應(yīng)用相關(guān)學(xué)問解決實際統(tǒng)計問題.提升數(shù)學(xué)運算發(fā)展數(shù)據(jù)分析應(yīng)用數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第37頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)預(yù)習(xí)教材P71－73，思索并完成以下問題現(xiàn)從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對其運用壽命進行跟蹤調(diào)查，其結(jié)果如下(單位：年)甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三家廣告中都稱其產(chǎn)品的運用壽命為8年，利用初中所學(xué)的學(xué)問，你能說明為什么嗎？提示：三個廠家是從不同角度進行了說明，以宣揚自己的產(chǎn)品．其中甲：眾數(shù)為8年，乙：平均數(shù)為8年，丙：中位數(shù)為8年．學(xué)問梳理1.眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)．假如有兩個或兩個以上數(shù)據(jù)出現(xiàn)的最多且出現(xiàn)的次數(shù)相等，那么這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；假如一組數(shù)據(jù)中，全部數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都相等，那么認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)．2．中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次依次排列，當(dāng)數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時，處在最中間的那個數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時，處在最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．3．平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)取得的商叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一般記為x＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．4．在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點的橫坐標，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)當(dāng)相等，平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．學(xué)問點二方差和標準差預(yù)習(xí)教材P74－78，思索并完成以下問題甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.(1)甲、乙兩戰(zhàn)士命中環(huán)數(shù)平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙各是多少？提示：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝7環(huán)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝7環(huán)．(2)由eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙能否推斷兩人的射擊水平？提示：由于eq\o(x,\s\up6(－))甲＝7環(huán)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝7環(huán)，所以不能推斷．(3)視察上述兩組數(shù)據(jù)，你認為哪個人的射擊水平更穩(wěn)定？提示：從數(shù)字分布來看，甲命中的環(huán)數(shù)較分散，乙命中的環(huán)數(shù)較集中．故乙的射擊水平更穩(wěn)定．學(xué)問梳理1.標準差的計算公式標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]).2．方差的計算公式標準差的平方s2叫做方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．其中，xi(i＝1，2，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，x是樣本平均數(shù)．3．變形探究(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.[自我檢測]1．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A．平均數(shù)＞中位數(shù)＞眾數(shù)B．平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù)C．中位數(shù)＜眾數(shù)＜平均數(shù)D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)解析：眾數(shù)為50，平均數(shù)x＝eq\f(1,8)(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位數(shù)為eq\f(1,2)(50＋50)＝50，故選D.答案：D2．一組視察值4，3，5，6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，2，4，2，則樣本平均值為()A．4.55 B．4.5C．12.5 D．1.64解析：x＝eq\f(4×3＋3×2＋5×4＋6×2,3＋2＋4＋2)≈4.55.答案：A3．某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為__________；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為__________．解析：利用平均值和標準差公式求解．(1)x＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案：(1)7(2)2授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第38頁探究一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)[例1]在一次中學(xué)生田徑運動會上，參與男子跳高的17名運動員的成果如表所示：成果（單位：m）1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運動員成果的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．[解析]在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的依次排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m)．答：17名運動員成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1.70m，1.69m.方法技巧依據(jù)樣本頻率分布直方圖，可以分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．(1)眾數(shù)：最高矩形下端中點的橫坐標；(2)中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標．(3)平均數(shù)：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的乘積之和．跟蹤探究1.從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)．設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＞m乙B.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＜m乙C.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＞m乙D.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＜m乙解析：由莖葉圖知，甲的平均數(shù)為(5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋43)÷16＝21.5625，乙的平均數(shù)為(10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋48)÷16＝28.5625，所以eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙．甲的中位數(shù)為(18＋22)÷2＝20，乙的中位數(shù)為(27＋31)÷2＝29，所以m甲＜m乙．答案：B探究二方差與標準差[閱讀教材P77例2)]方法步驟：第一步，求平均值；其次步，求方差；第三步，比較平均值和方差；第四步，結(jié)論．[例2]從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下(單位：cm)：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640問：(1)哪種玉米苗長得高？(2)哪種玉米苗長得齊？[解析](1)∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq\f(1,10)×300＝30(cm)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq\f(1,10)×310＝31(cm)．∴eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，即乙種玉米苗長得高．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝eq\f(1,10)(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝eq\f(1,10)×1042＝104.2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝eq\f(1,10)×1288＝128.8，∴seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，即甲種玉米苗長得齊．方法技巧在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要探討其偏離平均值的離散程度(即方差或標準差)，方差大說明取值分散性大，方差小說明取值分散性小或者取值集中、穩(wěn)定．跟蹤探究2.抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成果(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成果較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成果的方差為__________．解析：由表中的數(shù)據(jù)計算可得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝90，且方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(（87－90）2＋（91－90）2＋（90－90）2＋（89－90）2＋（93－90）2,5)＝4.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(（89－90）2＋（90－90）2＋（91－90）2＋（88－90）2＋（92－90）2,5)＝2.所以乙運動員的成果較穩(wěn)定，方差為2.答案：2探究三頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[例3]統(tǒng)計局就某地居民的月收入(元)狀況調(diào)查了10000人，并依據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[500，1000)內(nèi)．(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必需按月收入再從這10000人中用分層抽樣的方法抽出100人作進一步分析，則月收入在[2000，2500)內(nèi)的應(yīng)抽取多少人？(2)依據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)依據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．[解析](1)因為(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5，所以a＝eq\f(0.5,1000)＝0.0005，月收入在[2000，2500)內(nèi)的頻率為0.25，所以100人中月收入在[2000，2500)內(nèi)的人數(shù)為0.25×100＝25.(2)因為0.0002×500＝0.1，0．0004×500＝0.2.0．0005×500＝0.25.0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1500＋eq\f(0.5－（0.1＋0.2）,0.0005)＝1900(元)．(3)樣本平均數(shù)為(750×0.0002＋1250×0.0004＋1750×0.0005＋2250×0.0005＋2750×0.0003＋3250×0.0001)×500＝1900(元)．方法技巧1.利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征：(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點．(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等．(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計值，與實際數(shù)據(jù)可能不一樣．延長探究1.(變條件)某校從參與高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)．(2)求這次測試數(shù)學(xué)成果的平均分．解析：(1)由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(2)由圖知這次數(shù)學(xué)成果的平均分為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.2．(變結(jié)論)本例條件不變．(1)若再從這10000人中用分層抽樣的方法抽出若干人，分析居民收入與華蜜指數(shù)的關(guān)系，已知月收入在[2000，2500)內(nèi)的抽取了40人．則月收入在[3000，3500]內(nèi)的該抽多少人？(2)依據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)．解析：(1)因為(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5.所以a＝eq\f(0.5,1000)＝0.0005.故月收入在[2000，2500)內(nèi)的頻率為0.0005×500＝0.25.∴新抽樣本容量為eq\f(40,0.25)＝160(人)．∴月收入在[3000，3500]內(nèi)的該抽：160×(0.0001×500)＝8(人)．(2)由圖知眾數(shù)為2000元