2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.2.1實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義學(xué)案含解析北師大版選修1-1

PAGE§2導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用2．1實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義自變量x原函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)f′(x)時間路程速度長度質(zhì)量線密度時間功功率時間降雨量降雨強度產(chǎn)量生產(chǎn)成本邊際成本[疑難提示]利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最大(小)值時，應(yīng)留意的問題(1)求實際問題的最大(小)值時，肯定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實際問題中，由f′(x)＝0經(jīng)常僅解到一個根，若能推斷函數(shù)的最大(小)值在x的變更區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值．[練一練]1．若一物體運動的路程s與時間t之間的關(guān)系為s＝s(t)，當s′(t)＝0時，則()A．物體做勻加速運動 B．物體做勻減速運動C．物體做變速運動 D．物體處于靜止狀態(tài)解析：∵v＝s′(t)＝0，∴物體處于靜止狀態(tài)．故選D.答案：D2．某收音機制造廠管理者通過對上午班工人工作效率的探討表明：一個中等技術(shù)水平的工人，從8：00起先工作，t小時后可裝配晶體管收音機的臺數(shù)為Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，則Q′(2)＝________，它的實際意義為________________．解析：∵Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，∴Q′(2)＝36.答案：36臺/小時10：00時，工人裝配晶體管收音機的速度為36臺/小時授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第4頁探究一導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用[典例1]一個電路中，流過的電荷量Q(單位：C)關(guān)于時間t(單位：s)的函數(shù)為Q(t)＝3t2－lnt.(1)求當t從1變到2時，電荷量Q關(guān)于t的平均變更率，并說明它的實際意義；(2)求Q′(2)，并說明它的實際意義．[解析](1)當t從1變到2時，電荷量從Q(1)變到Q(2)，此時電荷量關(guān)于時間t的平均變更率為eq\f(Q2－Q1,2－1)＝eq\f(3×22－ln2－3×12－ln1,1)≈8.31，它表示從t＝1s到t＝2s這段時間內(nèi)，平均每秒經(jīng)過該電路的電量為8.31C，也就是這段時間內(nèi)電路的平均電流為8.31A.(2)Q′(t)＝6t－eq\f(1,t)，Q′(2)＝11.5，它的實際意義是，在t＝2s這一時刻，每秒經(jīng)過該電路的電量為11.5C，也就是這一時刻內(nèi)電路的電流為11.5A.弄清平均變更率及導(dǎo)數(shù)的實際意義，記準基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運算法則是解決該類問題的關(guān)鍵．1．某質(zhì)點的運動方程為s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(單位：m)，t是時間(單位：s)．(1)求t從1s變到3s時，位移s關(guān)于時間t的平均變更率，并說明它的實際意義；(2)求s′(1)，s′(2)，并說明它們的實際意義．解析：(1)t從1s變到3s時，s關(guān)于t的平均變更率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(27－5,3－1)＝11(m/s)．它表示從t＝1s到t＝3s這段時間內(nèi)，該質(zhì)點平均每秒的位移是11m.(2)依據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的運算法則，可得s′(t)＝4t＋3，則s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s′(1)和s′(2)分別表示t＝1s和t＝2s時，位移s關(guān)于時間t的瞬時變更率，即t＝1s和t＝2s時的瞬時速度．探究二工作效率問題[典例2]一名工人上班后起先連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量y(單位：g)是工作時間x(單位：h)的函數(shù)，設(shè)這個函數(shù)表示為y＝f(x)＝eq\f(x2,20)＋4eq\r(x).(1)求x從1h變到4h時，y關(guān)于時間x的平均變更率，并說明它的實際意義；(2)求f′(1)，f′(4)，說明它的意義．[解析](1)當x從1h變到4h時，產(chǎn)量y從f(1)＝eq\f(81,20)g變到f(4)＝eq\f(176,20)g，此時平均變更率為eq\f(f4－f1,4－1)＝eq\f(\f(176,20)－\f(81,20),3)＝eq\f(19,12)(g/h)，它表示從x＝1h到x＝4h這段時間這個人平均每小時生產(chǎn)eq\f(19,12)g產(chǎn)品．(2)f′(x)＝eq\f(x,10)＋eq\f(2,\r(x))，于是f′(1)＝eq\f(21,10)g/h，f′(4)＝eq\f(7,5)g/h，f′(1)和f′(4)分別表示在第1h和第4h時刻這個人每小時生產(chǎn)產(chǎn)品eq\f(21,10)g和eq\f(7,5)g.1．工作效率即產(chǎn)量對時間t的導(dǎo)數(shù)．解決該類問題時要正確表示出工作時間與產(chǎn)品數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用相應(yīng)的求導(dǎo)公式及法則解決．2．由平均變更率和瞬時變更率的計算公式可知它們有時為負值或零，這時表示函數(shù)值減小或不變，說明導(dǎo)數(shù)的實際意義時要留意用詞的不同．2．某考生在參與2015年高考數(shù)學(xué)考試時，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時間x(單位：分鐘)近似地滿意函數(shù)關(guān)系y＝2eq\r(x).(1)求x從0分鐘變更到36分鐘時，y關(guān)于x的平均變更率；(2)求f′(64)，f′(100)，并說明它的實際意義．解析：(1)x從0分鐘變更到36分鐘，y關(guān)于x的平均變更率為：eq\f(f36－f0,36－0)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答完eq\f(1,3)道題．(2)∵f′(x)＝eq\f(1,\r(x))，∴f′(64)＝eq\f(1,8)，f′(100)＝eq\f(1,10).它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時每分鐘可解答eq\f(1,8)和eq\f(1,10)道題．3．東方機械廠生產(chǎn)一種木材旋切機械，已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺之間的關(guān)系式為c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求產(chǎn)量為1000臺的總利潤與平均利潤；(2)求產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均變更量；(3)求c′(1000)與c′(1500)，并說明它們的實際意義．解析：(1)產(chǎn)量為1000臺時的總利潤為c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利潤為eq\f(c1000,1000)＝5000.6(元)．(2)當產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均變更量為eq\f(c1500－c1000,1500－1000)＝eq\f(6000600－5000600,500)＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它指的是當產(chǎn)量為1000臺時，每多生產(chǎn)一臺機械可多獲利3000元．而當產(chǎn)量為1500臺時，每多生產(chǎn)一臺機械可多獲利1000元．探究三導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用[典例3]某機械廠，生產(chǎn)某種機器配件的最大生產(chǎn)實力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)為C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.(1)求日產(chǎn)量75件時的總成本和平均成本；(2)當日產(chǎn)量由75件提高到90件時，求總成本的平均變更量；(3)求C′(75)，并說明它的意義．[解析](1)日產(chǎn)量75件時的總成本為C(75)＝7956.25(元)，平均成本為C(75)/75≈106.08(元/件)．(2)當日產(chǎn)量由75件提高到90件時，總成本的平均變更量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C90－C75,90－75)＝101.25(元/件)．(3)C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴當x＝75時，C′(75)＝97.5(元)．實際意義為：當日產(chǎn)量為75件時，再多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，成本增加97.5元，也就是日產(chǎn)量為75件時，成本增加的速度為97.5元/件．4．某食品廠生產(chǎn)某種食品的總成本C(單位：元)和總收入R(單位：元)都是日產(chǎn)量x(單位：kg)的函數(shù)，分別為C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，試求邊際利潤函數(shù)以及當日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟意義．解析：(1)依據(jù)定義知，總利潤函數(shù)為L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以邊際利潤函數(shù)為L′(x)＝5－0.02x.(2)當日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時，邊際利潤分別為L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1.其經(jīng)濟意義是：當日產(chǎn)量為200kg時，每增加1kg，則總利潤可增加1元；當日產(chǎn)量為250kg時，每增加1kg，則總利潤無變更；當日產(chǎn)量為300kg時，每增加1kg，則總利潤削減1元．由此可得：當企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超過了邊際利潤的零點時，反而會使企業(yè)“無利可圖”．5．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝eq\f(5284,100－x)(80<x<100)．(1)求c′(x)；(2)求c′(90)，c′(98)，并說明它們的實際意義．解析：(1)c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5284,100－x)))′＝eq\f(5284′×100－x－5284×100－x′,100－x2)＝eq\f(0×100－x－5284×－1,100－x2)＝eq\f(5284,100－x2).(2)c′(90)＝eq\f(5284,100－902)＝52.84(元/噸)，c′(98)＝eq\f(5284,100－982)＝1321(元/噸)．因為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是凈化費用的瞬時變更率，所以純凈度為90%時，純凈度每提高1個百分點，每噸水的費用就要增加52.84元．純凈度為98%時，純凈度每提高1個百分點，每噸水的費用就要提高1321元．因物理意義理解不清致誤[典例]在高臺跳水運動中，ts時運動員相對于水面的高度是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(單位：m)，求高臺跳水運動中運動員在t＝1s時的瞬時速度，并說明此時的運動狀況．[解析]h′(t