山東省新泰市弘文中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

新泰市弘文中學(xué)2024—2025學(xué)年開學(xué)考高三年級數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題1．已知直線過定點P,則點P到直線距離的最大值是()A.1 B.2 C. D.2．曲線與x軸圍成區(qū)域的面積為()A. B. C. D.3．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.4．已知雙曲線的左焦點為,為坐標原點,若在的右支上存在關(guān)于軸對稱的兩點P,Q,使得為正三角形,且,則C的離心率為()A. B. C. D.5．已知為函數(shù)的零點,則()A.1 B.2 C.3 D.46．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)在定義域均為R且是偶函數(shù),其函數(shù)圖象為不間斷曲線且,則不等式的解集為()A. B. C. D.7．過雙曲線的左焦點作直線與它的兩條漸近線分別交于A,B兩點,且,,O是坐標原點,則雙曲線的離心率是()A.2 B. C. D.38．若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是()A. B. C. D.二、多項選擇題9．下列求導(dǎo)運算正確的是()A. B.C. D.10．若存在實數(shù)b使得方程有四個不等的實根,則mn的值可能為()A. B.2025 C.0 D.-611．已知雙曲線，過原點的直線，分別交雙曲線于A，C和B，D四點（A，B，C，D四點逆時針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是()A.四邊形一定是平行四邊形 B.四邊形可能為菱形C.的中點可能為 D.的值可能為三、填空題12．已知是公差為2的等差數(shù)列，且，則________.13．過直線和的交點,且與直線垂直的直線方程是__________.四、雙空題14．已知直線，則直線定點坐標為_____，點到直線l的距離的取值范圍_____五、解答題15．分別根據(jù)下列條件求圓的標準方程：(1)圓心為，且與x軸相切；(2)過三點,,.16．分別求符合下列條件的橢圓的標準方程：(1)過點，且與橢圓有相同的焦點．(2)經(jīng)過兩點，．17．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,.(1)求的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.18．已知以點為圓心的圓與______，過點的動直線l與圓A相交于M，N兩點.從①直線相切；②圓關(guān)于直線對稱.這2個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線上并回答下列問題.(1)求圓A的方程；(2)當時，求直線l的方程.19．設(shè)雙曲線（，）的實軸長為，焦點到漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使，求t的值及點D的坐標.

參考答案1．答案：D解析：由題意知,直線恒過定點,直線恒過定點,如圖所示,過作的垂線段PH,垂足為H,那么必有,當且僅當Q與H重合時取等號,從而PH的最大值為,即點P到直線距離的最大值是.故選:D.2．答案：B解析：曲線的方程化為,即,所以這條曲線與x軸圍成的區(qū)域是一個半徑的半圓,其面積為.故選：B.3．答案：B解析：依題意,令,求導(dǎo)得,則在上單調(diào)遞減,由,得,不等式,則或,即或,解得或,所以不等式的解集為.故選:B4．答案：D解析：設(shè)雙曲線的焦距為,右焦點為,直線交于點M,連接,因為為正三角形,,所以M為的中點,所以,故,易知,所以,,由雙曲線的定義知,即,得.故選：D.5．答案：B解析：由得,即,即,因為,所以,所以為方程的根,令,則,所以在上單調(diào)遞增,又,所以,即,即,故選：B.6．答案：C解析：由,得則當時,得,,則當時,,得函數(shù)在上單調(diào)遞增,因為,所以,由于是偶函數(shù),則,而函數(shù)在上單調(diào)遞增,得,得,得,故選:C.7．答案：A解析：由,得雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,所以,又,得,所以.8．答案：A解析：將曲線整理可得,,因此曲線表示的是以為圓心，半徑為2的下半圓，若直線與曲線有公共點，如下圖所示：當直線在直線m的位置，即時，直線與曲線有一個公共點；當直線在直線n的位置，即直線與曲線相切，此時，解得，（舍）；只有直線位于兩直線m,n之間時，滿足題意，即.故選：A9．答案：CD解析：對于A選項,,A錯誤;對于B選項,,B錯誤;對于C選項,,C正確;對于D選項,,D正確.故選:CD.10．答案：AD解析：令,則,令,且該函數(shù)至少存在三個變號零點,且,當時,在,上,,即遞增,在上,,即遞減,若,則,知至多有一個變號零點;故;當時,在,上,,即遞增,在上,,即遞減,若,則,知至多有一個變號零點;故;當時,,即在定義域上遞增,此時,至多有一個變號零點,不符合題意;綜上,只能為負數(shù).故選：AD11．答案：AD解析：由雙曲線的中心對稱性可知，點A，B分別關(guān)于原點與C，D對稱，故，，所以四邊形一定是平行四邊形，而直線，斜率之積為，則與不垂直，所以四邊形不可能為菱形，A正確，B錯誤；設(shè)，，則，，兩式作差得，若的中點為，可得，代入上式，求得，故的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得,，則，此時，故C錯誤；當點A位于第一象限，點B位于第二象限，設(shè)直線的斜率為k，則直線的斜率為，結(jié)合雙曲線漸近線，易知，，可得，又因為，所以的取值范圍為；當點A位于第四象限，點B位于第一象限，同理，可得的取值范圍為.綜上的取值范圍為，所以D正確.故選：AD.12．答案：24解析：是公差為2的等差數(shù)列，則，解得，故.故答案為：24.13．答案：解析：聯(lián)立,解得,故直線的交點坐標為,設(shè)與直線垂直的直線方程是.將交點的坐標代入該方程,得,解得.所以所求直線方程為.故答案為:14．答案：；解析：直線，當時，，所以定點坐標為.當直線l過P時，距離為0，當直線l與垂直時，距離最大，且最大值為，所以點到直線l的距離的取值范圍是.故答案為：；.15．答案：(1)；(2)解析：（1）因為圓與x軸相切，且圓心為，所以圓的半徑為，所以以為圓心，為半徑的圓的標準方程為.（2）不妨設(shè)圓的方程為，由題意將，，代入圓的方程得，解方程組得，，，所以過三點，，的圓的方程為，將其化為標準形式得.16．答案：(1)(2)解析：(1)因為所求的橢圓與橢圓的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且．設(shè)所求橢圓的標準方程為．因為所求橢圓過點，所以有①又，②由①②解得．故所求橢圓的標準方程為．(2)設(shè)橢圓方程為，且，在橢圓上，所以，則橢圓方程.17．答案：(1);(2).解析：(1)因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,,所以令數(shù)列的公比為q,,,所以,解得(舍去)或4,所以數(shù)列是首項為2、公比為4的等比數(shù)列,.(2)因為,所以,,,所以數(shù)列是首項為1、公差為2的等差數(shù)列,.18．答案：(1)；(2)或解析：（1）選①：因為圓A與直線相切，所以圓A的半徑為，因此圓A的方程為；選②：因為圓A與圓關(guān)于直線對稱，所以兩個圓的半徑相等，因此圓A的半徑為，所以圓A的方程為.（2）兩種選擇圓A的方程都是，當過點的動直線l不存在斜率時，直線方程為，把代入中，得，顯然，符合題意，當過點的動直線l存在斜率時，設(shè)為k，直線方程為，圓心到該直線的距離為：，因為