35導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第五節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用3.5.1邊際函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)稱為函數(shù)的邊際函數(shù)。也稱為函數(shù)在處的邊際函數(shù)值。邊際函數(shù)反映了函數(shù)在點(diǎn)處的變化率。設(shè)成本函數(shù)可導(dǎo)（其中表示總成本，表示產(chǎn)量），則其邊際函數(shù)稱為邊際成本函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際成本。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則成本相應(yīng)增減個(gè)單位。1.邊際成本設(shè)收益函數(shù)可導(dǎo)（其中表示收益，表示商品銷售量），則其邊際函數(shù)稱為邊際收益函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際收益。稱為當(dāng)商品銷售量為時(shí)的邊際收益。

經(jīng)濟(jì)意義：銷售量達(dá)到時(shí)，如果銷售量增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則收益相應(yīng)增減個(gè)單位。2.邊際收入設(shè)利潤(rùn)函數(shù)可導(dǎo)，則其邊際函數(shù)稱為邊際利潤(rùn)。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際利潤(rùn)。

經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則利潤(rùn)相應(yīng)增減個(gè)單位。3.邊際利潤(rùn)若供給函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)（其中為供給量，為價(jià)格），則其邊際函數(shù)稱為邊際供給函數(shù)。簡(jiǎn)稱邊際供給。4.邊際供給設(shè)總成本函數(shù)（元），求：⑴邊際成本函數(shù)；⑵生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的平均單位成本，和邊際成本值，并解釋后者的經(jīng)濟(jì)意義。⑴邊際成本函數(shù)為⑵時(shí)的平均單位成本為例1:設(shè)總成本函數(shù)（元），求：⑴邊際成本函數(shù)；⑵生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的平均單位成本，和邊際成本值，并解釋后者的經(jīng)濟(jì)意義。⑵時(shí)的邊際成本為經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)生產(chǎn)達(dá)到50個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，如果再多生產(chǎn)1個(gè)產(chǎn)品所最加的成本為17.5元。例1

某工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品的總成本C（元）是日產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)：，求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本，并解釋經(jīng)濟(jì)意義。答案：邊際成本：經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量是100噸時(shí)，每增加1噸產(chǎn)量，成本增加9.5元。課堂練習(xí)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，稱極限為函數(shù)的彈性函數(shù)，記為，即

3.5.2彈性定義:

在點(diǎn)處，彈性函數(shù)值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性值，簡(jiǎn)稱彈性。它表示在點(diǎn)處，當(dāng)變動(dòng)1%時(shí)，的值近似地變動(dòng)。設(shè)函數(shù)，求其彈性函數(shù)以及在處的彈性。因?yàn)樗詮椥院瘮?shù)于是，例2

設(shè)需求函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱為該商品在處的需求彈性，記作或，即定義:

設(shè)供給函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱為該商品在處的供給彈性，記作或，即

設(shè)銷售量是價(jià)格的函數(shù)，收益是商品價(jià)格與銷售量的乘積，即所以，收益彈性為收益彈性及其與需求彈性的關(guān)系根據(jù)收益彈性及其與需求彈性的關(guān)系可知：（1）若，則收益彈性大于０；需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度；價(jià)格上漲（或下跌）１％，收益增加或減少。（2）若，則收益彈性小于０；需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度；價(jià)格上漲（或下跌）１％，收益減少或增加。（3）若，則收益彈性等于０；需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度；價(jià)格變動(dòng)１％，收益不變。3.４.３導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求⑴需求彈性函數(shù)；⑵時(shí)的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；⑶時(shí)，價(jià)格上漲1%，其總收益增加還是減少？變化的幅度是多少？⑷當(dāng)取多少時(shí)，總收益最大？例:⑴需求彈性函數(shù)：因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)為，總收益函數(shù)為，所以⑵當(dāng)時(shí)的需求彈性解:這說(shuō)明，在時(shí)，價(jià)格每上漲1%，則需求減少0.54%；而價(jià)格若下降1%,則需求增加0.54%。⑶當(dāng)時(shí)的收益彈性；所以，當(dāng)時(shí)，價(jià)格上漲1%，總收益增加0.46%。

⑷要使總收益最大，應(yīng)有需求彈性，即得，（舍去），故當(dāng)時(shí)，總收益取得最大值。

1.設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求供給彈性函數(shù)以及時(shí)的供給彈性．

2.某產(chǎn)品的銷售量