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文檔簡介
第三章導數(shù)的應用
第五節(jié)導數(shù)在經(jīng)濟中的應用3.5.1邊際函數(shù)設函數(shù)在點處可導,則導函數(shù)稱為函數(shù)的邊際函數(shù)。也稱為函數(shù)在處的邊際函數(shù)值。邊際函數(shù)反映了函數(shù)在點處的變化率。設成本函數(shù)可導(其中表示總成本,表示產(chǎn)量),則其邊際函數(shù)稱為邊際成本函數(shù),簡稱邊際成本。稱為當產(chǎn)量為時的邊際成本。其經(jīng)濟意義為:當產(chǎn)量達到時,如果增減一個單位產(chǎn)品,則成本相應增減個單位。1.邊際成本設收益函數(shù)可導(其中表示收益,表示商品銷售量),則其邊際函數(shù)稱為邊際收益函數(shù),簡稱邊際收益。稱為當商品銷售量為時的邊際收益。
經(jīng)濟意義:銷售量達到時,如果銷售量增減一個單位產(chǎn)品,則收益相應增減個單位。2.邊際收入設利潤函數(shù)可導,則其邊際函數(shù)稱為邊際利潤。稱為當產(chǎn)量為時的邊際利潤。
經(jīng)濟意義:當產(chǎn)量達到時,如果增減一個單位產(chǎn)品,則利潤相應增減個單位。3.邊際利潤若供給函數(shù)在點處可導(其中為供給量,為價格),則其邊際函數(shù)稱為邊際供給函數(shù)。簡稱邊際供給。4.邊際供給設總成本函數(shù)(元),求:⑴邊際成本函數(shù);⑵生產(chǎn)50個單位時的平均單位成本,和邊際成本值,并解釋后者的經(jīng)濟意義。⑴邊際成本函數(shù)為⑵時的平均單位成本為例1:設總成本函數(shù)(元),求:⑴邊際成本函數(shù);⑵生產(chǎn)50個單位時的平均單位成本,和邊際成本值,并解釋后者的經(jīng)濟意義。⑵時的邊際成本為經(jīng)濟意義:當生產(chǎn)達到50個單位產(chǎn)品時,如果再多生產(chǎn)1個產(chǎn)品所最加的成本為17.5元。例1
某工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸,每日產(chǎn)品的總成本C(元)是日產(chǎn)量x(噸)的函數(shù):,求當日產(chǎn)量為100噸時的邊際成本,并解釋經(jīng)濟意義。答案:邊際成本:經(jīng)濟意義是:當產(chǎn)量是100噸時,每增加1噸產(chǎn)量,成本增加9.5元。課堂練習設函數(shù)在點處可導,稱極限為函數(shù)的彈性函數(shù),記為,即
3.5.2彈性定義:
在點處,彈性函數(shù)值稱為函數(shù)在點處的彈性值,簡稱彈性。它表示在點處,當變動1%時,的值近似地變動。設函數(shù),求其彈性函數(shù)以及在處的彈性。因為所以彈性函數(shù)于是,例2
設需求函數(shù)在處可導,則稱為該商品在處的需求彈性,記作或,即定義:
設供給函數(shù)在處可導,則稱為該商品在處的供給彈性,記作或,即
設銷售量是價格的函數(shù),收益是商品價格與銷售量的乘積,即所以,收益彈性為收益彈性及其與需求彈性的關系根據(jù)收益彈性及其與需求彈性的關系可知:(1)若,則收益彈性大于0;需求變動的幅度小于價格變動的幅度;價格上漲(或下跌)1%,收益增加或減少。(2)若,則收益彈性小于0;需求變動的幅度大于價格變動的幅度;價格上漲(或下跌)1%,收益減少或增加。(3)若,則收益彈性等于0;需求變動的幅度等于價格變動的幅度;價格變動1%,收益不變。3.4.3導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用設某商品的需求函數(shù)為,求⑴需求彈性函數(shù);⑵時的需求彈性,并說明其經(jīng)濟意義;⑶時,價格上漲1%,其總收益增加還是減少?變化的幅度是多少?⑷當取多少時,總收益最大?例:⑴需求彈性函數(shù):因為需求函數(shù)為,總收益函數(shù)為,所以⑵當時的需求彈性解:這說明,在時,價格每上漲1%,則需求減少0.54%;而價格若下降1%,則需求增加0.54%。⑶當時的收益彈性;所以,當時,價格上漲1%,總收益增加0.46%。
⑷要使總收益最大,應有需求彈性,即得,(舍去),故當時,總收益取得最大值。
1.設某商品的供給函數(shù)為,求供給彈性函數(shù)以及時的供給彈性.
2.某產(chǎn)品的銷售量
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