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第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第五節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用3.5.1邊際函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則導(dǎo)函數(shù)稱為函數(shù)的邊際函數(shù)。也稱為函數(shù)在處的邊際函數(shù)值。邊際函數(shù)反映了函數(shù)在點(diǎn)處的變化率。設(shè)成本函數(shù)可導(dǎo)(其中表示總成本,表示產(chǎn)量),則其邊際函數(shù)稱為邊際成本函數(shù),簡(jiǎn)稱邊際成本。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本。其經(jīng)濟(jì)意義為:當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí),如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品,則成本相應(yīng)增減個(gè)單位。1.邊際成本設(shè)收益函數(shù)可導(dǎo)(其中表示收益,表示商品銷售量),則其邊際函數(shù)稱為邊際收益函數(shù),簡(jiǎn)稱邊際收益。稱為當(dāng)商品銷售量為時(shí)的邊際收益。
經(jīng)濟(jì)意義:銷售量達(dá)到時(shí),如果銷售量增減一個(gè)單位產(chǎn)品,則收益相應(yīng)增減個(gè)單位。2.邊際收入設(shè)利潤(rùn)函數(shù)可導(dǎo),則其邊際函數(shù)稱為邊際利潤(rùn)。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際利潤(rùn)。
經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí),如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品,則利潤(rùn)相應(yīng)增減個(gè)單位。3.邊際利潤(rùn)若供給函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)(其中為供給量,為價(jià)格),則其邊際函數(shù)稱為邊際供給函數(shù)。簡(jiǎn)稱邊際供給。4.邊際供給設(shè)總成本函數(shù)(元),求:⑴邊際成本函數(shù);⑵生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的平均單位成本,和邊際成本值,并解釋后者的經(jīng)濟(jì)意義。⑴邊際成本函數(shù)為⑵時(shí)的平均單位成本為例1:設(shè)總成本函數(shù)(元),求:⑴邊際成本函數(shù);⑵生產(chǎn)50個(gè)單位時(shí)的平均單位成本,和邊際成本值,并解釋后者的經(jīng)濟(jì)意義。⑵時(shí)的邊際成本為經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)生產(chǎn)達(dá)到50個(gè)單位產(chǎn)品時(shí),如果再多生產(chǎn)1個(gè)產(chǎn)品所最加的成本為17.5元。例1
某工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸,每日產(chǎn)品的總成本C(元)是日產(chǎn)量x(噸)的函數(shù):,求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本,并解釋經(jīng)濟(jì)意義。答案:邊際成本:經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)產(chǎn)量是100噸時(shí),每增加1噸產(chǎn)量,成本增加9.5元。課堂練習(xí)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),稱極限為函數(shù)的彈性函數(shù),記為,即
3.5.2彈性定義:
在點(diǎn)處,彈性函數(shù)值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性值,簡(jiǎn)稱彈性。它表示在點(diǎn)處,當(dāng)變動(dòng)1%時(shí),的值近似地變動(dòng)。設(shè)函數(shù),求其彈性函數(shù)以及在處的彈性。因?yàn)樗詮椥院瘮?shù)于是,例2
設(shè)需求函數(shù)在處可導(dǎo),則稱為該商品在處的需求彈性,記作或,即定義:
設(shè)供給函數(shù)在處可導(dǎo),則稱為該商品在處的供給彈性,記作或,即
設(shè)銷售量是價(jià)格的函數(shù),收益是商品價(jià)格與銷售量的乘積,即所以,收益彈性為收益彈性及其與需求彈性的關(guān)系根據(jù)收益彈性及其與需求彈性的關(guān)系可知:(1)若,則收益彈性大于0;需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度;價(jià)格上漲(或下跌)1%,收益增加或減少。(2)若,則收益彈性小于0;需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度;價(jià)格上漲(或下跌)1%,收益減少或增加。(3)若,則收益彈性等于0;需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度;價(jià)格變動(dòng)1%,收益不變。3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用設(shè)某商品的需求函數(shù)為,求⑴需求彈性函數(shù);⑵時(shí)的需求彈性,并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義;⑶時(shí),價(jià)格上漲1%,其總收益增加還是減少?變化的幅度是多少?⑷當(dāng)取多少時(shí),總收益最大?例:⑴需求彈性函數(shù):因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)為,總收益函數(shù)為,所以⑵當(dāng)時(shí)的需求彈性解:這說(shuō)明,在時(shí),價(jià)格每上漲1%,則需求減少0.54%;而價(jià)格若下降1%,則需求增加0.54%。⑶當(dāng)時(shí)的收益彈性;所以,當(dāng)時(shí),價(jià)格上漲1%,總收益增加0.46%。
⑷要使總收益最大,應(yīng)有需求彈性,即得,(舍去),故當(dāng)時(shí),總收益取得最大值。
1.設(shè)某商品的供給函數(shù)為,求供給彈性函數(shù)以及時(shí)的供給彈性.
2.某產(chǎn)品的銷售量
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