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文檔簡介
第十一章行列式與矩陣
第一節(jié)矩陣的概念及運算
定義1
由
m×n個數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)稱為m×n
矩陣.排成的m行n列數(shù)表,記成某學校印刷廠印制甲、乙、丙三種類型的作業(yè)本,一、二月份的生產與銷售情況如下表:的第一個下標稱為行標,第二個下標稱為列標。稱作矩陣的元素。
矩陣,一.矩陣的概念1.行矩陣(行向量)——只有一行的矩陣。等……2.列矩陣(列向量)——只有一列的矩陣。等……二.幾種特殊形式的矩陣等……4.零矩陣
——所有元素都為零的矩陣,簡記作。
3.方陣——行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如:等……二階方陣三階方陣n階方陣如等……5.對角形矩陣——主對角線上的元素不全為零,其它的
元素都為0的方陣,簡記作。6.單位矩陣——主對角線上的元素都是1的對角形矩陣,
簡記作。如:等……7.上三角形矩陣——主對角線下方元素全為零、上方的
元素不全為0的方陣。如:等……8.下三角形矩陣——主對角線上方的元素全為零,下方
的元素不全為0的方陣。三、矩陣的相等定義2如果兩個矩陣A,B的行數(shù)和列數(shù)分別相同,且各對應元素相等,則稱矩陣A與矩陣B相等。即若,,且,,則A=B。且,例題:已知
求的值。,,關系式1.矩陣的加法
定義2
設A=(aij
),B=(bij
)都是m×n矩陣,矩陣A與B的和例1記成A+B,規(guī)定為四.矩陣的運算兩個印刷廠:
矩陣的加法運算滿足規(guī)律2.(A+B)+C=A+(B+C)(結合律)3.A+0=A4.設A=(aij
),記–A=(?aij
),規(guī)定A?B=A+(?
B)二數(shù)與矩陣的乘法
定義3
規(guī)定為
稱–A
為A
的負矩陣,1.A+B=B+A(交換律)
易知
A+(?A)=0例2若那么3A=A3數(shù)乘矩陣的運算滿足規(guī)律:A,B為矩陣.三矩陣與矩陣的乘法
定義4
設A=(aij)是一個m×s
矩陣,B=(bij
)是一個
s×nA
與B的乘積記成
AB,即C=AB.規(guī)定
A與B
的積為一個m×n
矩陣C=(cij
),其中
AB=ABm×ss×nm×n
矩陣,例3
例4例5
例6一般來說,AB≠BA,
若矩陣
A、B
滿足AB=0,n階矩陣
稱為單位矩陣.如果A為
m×n
矩陣,那么
即矩陣的乘法不滿足交換律.未必有A=0或B=0
的結論.
n階矩陣稱為對角矩陣.兩個對角矩陣的和是對角矩陣,兩個對角矩陣的積也是對角矩陣.矩陣的乘法滿足下述運算規(guī)律2.矩陣的減法設,則稱矩陣為A的負矩陣,記作。若A、B為同型矩陣,則規(guī)定即,3.數(shù)乘矩陣如:若,則注意:數(shù)乘矩陣時,矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)K。等……數(shù)量矩陣數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律:4.矩陣的乘法設則其中行列
左矩陣右矩陣A的列數(shù)B的行數(shù)例如:無意義!
左邊矩陣右邊矩陣的列數(shù)的行數(shù)注意:AB存在,BA無意義,例題:計算下列各題(1)(2)(1)一般地,,即乘法不滿足交換律。(2)當AB=BA時,稱A、B為可交換矩陣,或稱A、B可交換。此時,A、B必為同階方陣。小結與特別地,有:,即可交
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