2022-2024北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編：事件的相互獨(dú)立性

第1頁/共1頁2022-2024北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編事件的相互獨(dú)立性一、單選題1．（2023北京昌平高一上期末）已知射擊運(yùn)動員甲擊中靶心的概率為，射擊運(yùn)動員乙擊中靶心的概率為，且甲?乙兩人是否擊中靶心互不影響.若甲?乙各射擊一次，則至少有一人擊中靶心的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024北京延慶高一上期末）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和2），2個綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)攬出2個球，每次摸出一個球，設(shè)事件"第一次摸到紅球"，"第二次摸到紅球"，"兩次都摸到紅球"，"兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”.則下列說法錯誤的是（

）A． B．R與G互斥但不對立C． D．S與T相互獨(dú)立二、填空題3．（2022北京房山高一上期末）已知事件與事件是互斥事件，若事件與事件同時發(fā)生的概率記為，則．4．（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高一上期末）有四張大小相同標(biāo)有數(shù)字的卡片，如圖所示．從這四張卡片中隨機(jī)抽一張，令事件：“抽到卡片上有數(shù)字”，，則；已知命題：事件與相互獨(dú)立，則為命題（用“真”“假”填空）5．（2023北京門頭溝高一上期末）甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，這道題被解出（至少有一人解出來）的概率是．6．（2024北京西城高一上期末）某工廠在試驗(yàn)階段生產(chǎn)出了一種零件，該零件有A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為．按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品．則一個零件經(jīng)過檢測，為合格品的概率是．7．（2024北京昌平高一上期末）甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為.若三人各投籃一次，則甲、乙、丙三人都投中的概率為；至少有兩人投中的概率為.8．（2024北京延慶高一上期末）甲同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，每次投中的概率都是，連續(xù)投3次.每次投籃互不影響.則該同學(xué)恰好只有第3次投中的概率為：該同學(xué)至少兩次投中的概率為.三、解答題9．（2022北京西城高一上期末）在體育知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)籃球知識的問題，已知甲答題正確的概率是，乙答題錯誤的概率是，乙、丙兩人都答題正確的概率是，假設(shè)每人答題正確與否是相互獨(dú)立的．(1)求丙答題正確的概率；(2)求甲、丙都答題錯誤，且乙答題正確的概率．10．（2023北京門頭溝高一上期末）甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，甲、乙都中靶的概率為0.72，求下列事件的概率；(1)乙中靶；(2)恰有一人中靶；(3)至少有一人中靶.11．（2023北京第八中學(xué)高一上期末）為抗擊新冠肺炎，某單位組織中?老年員工分別進(jìn)行疫苗注射，共分為三針接種，只有三針均接種且每針接種后經(jīng)檢測合格，才能說明疫苗接種成功（每針接種后是否合格相互之間沒有影響）.根據(jù)大數(shù)據(jù)比對，中年員工甲在每針接種合格的概率分別為；老年員工乙在每針接種合格的概率分別為.(1)甲?乙兩位員工中，誰接種成功的概率更大？(2)若甲和乙均參加疫苗接種，求兩人中至少有一人接種成功的概率.12．（2023北京石景山高一上期末）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，采取“三局兩勝”制，即兩人比賽過程中，誰先勝兩局即結(jié)束比賽，先勝兩局的是勝方，另一方是敗方.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲勝乙的概率均為，甲、乙比賽沒有平局，且每局比賽是相互獨(dú)立的.(1)求比賽恰進(jìn)行兩局就結(jié)束的概率；(2)求這場比賽甲獲勝的概率.13．（2023北京房山高一上期末）已知甲運(yùn)動員的投籃命中率為0.8，乙運(yùn)動員投籃命中率為0.7，甲、乙各投籃一次．設(shè)事件A為“甲投中”，事件B為“乙投中”．(1)求甲、乙二人中恰有一人投中的概率；(2)求甲、乙二人中至少有一人投中的概率．14．（2023北京懷柔高一上期末）為了慶祝神舟十四號成功返航，學(xué)校開展“航天知識”競賽活動，甲乙兩個班級的代表隊(duì)同時回答一道有關(guān)航天知識的問題，甲隊(duì)答對此題的概率是，乙隊(duì)答對此題的概率是，假設(shè)每隊(duì)答題正確與否是相互獨(dú)立的．(1)求甲乙兩隊(duì)都答對此題的概率；(2)求甲乙兩隊(duì)至少有一隊(duì)答對此題的概率．15．（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高一上期末）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新?舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：），其頻率分布直方圖如圖所示．兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立．(1)將所抽取的100個新養(yǎng)殖法網(wǎng)箱中產(chǎn)量低于40和不低于65的網(wǎng)箱收集到一起，再從中隨機(jī)抽取2箱，恰有一箱產(chǎn)量不低于65的概率．(2)用頻率估計概率，從運(yùn)用新?舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取一個網(wǎng)箱，估計兩個網(wǎng)箱中至少有一箱產(chǎn)量不低于55的概率；(3)求頻率分布直方圖中的值．假定新?舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法網(wǎng)箱數(shù)不變，為了提高總產(chǎn)量，根據(jù)樣本中兩種養(yǎng)殖法的平均箱產(chǎn)量，該養(yǎng)殖場下一年應(yīng)采用哪種養(yǎng)殖法更合適？（直接寫出結(jié)果）16．（2023北京延慶高一上期末）已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．17．（2024北京海淀高一上期末）國務(wù)院正式公布的《第一批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位名單》中把重點(diǎn)文物保護(hù)單位（下述簡稱為“第一批文保單位”）分為六大類．其中“A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遺址”、“F:古墓葬”．北京的18個“第一批文保單位”所在區(qū)分布如下表：行政區(qū)門類個數(shù)東城區(qū)A：革命遺址及革命紀(jì)念建筑物3C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物5西城區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物2豐臺區(qū)A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物1海淀區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物2房山區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物1E:古遺址1昌平區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物1F:古墓葬1延慶區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物1(1)某個研學(xué)小組隨機(jī)選擇北京市“第一批文保單位”中的一個進(jìn)行參觀，求選中的參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”的概率；(2)小王同學(xué)隨機(jī)選擇北京市“第一批文保單位”中的“A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物”中的一個進(jìn)行參觀；小張同學(xué)隨機(jī)選擇北京市“第一批文保單位”中的“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”中的一個進(jìn)行參觀．兩人選擇參觀單位互不影響，求兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區(qū)的概率；(3)現(xiàn)在擬從北京市“第一批文保單位”中的“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”中隨機(jī)抽取2個單位進(jìn)行常規(guī)檢查．記抽到海淀區(qū)的概率為，抽不到海淀區(qū)的概率記為，試判斷和的大小（直接寫出結(jié)論）．18．（2024北京石景山高一上期末）已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設(shè)甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨(dú)立的.(1)求丙投籃命中的概率；(2)甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率.19．（2024北京房山高一上期末）一個問題，甲正確解答的概率為，乙正確解答的概率為.記事件甲正確解答，事件乙正確解答.假設(shè)事件與相互獨(dú)立.(1)求恰有一人正確解答問題的概率；(2)某同學(xué)解“求該問題被正確解答的概率”的過程如下：解：“該問題被正確解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正確解答了問題”，所以隨機(jī)事件“問題被正確解答”可以表示為.所以.請你指出這位同學(xué)錯誤的原因，并給出正確解答過程.

參考答案1．A【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和對立事件的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲擊中靶心為事件，乙擊中靶心為事件，則，，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與也相互獨(dú)立，則甲、乙都不擊中靶心的概率為，所以甲、乙至少有一人擊中靶心的概率為.故選：A2．D【分析】利用互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的定義求解，【詳解】對于A，“兩球顏色相同”，“兩球顏色不同”是對立事件，所以，故A正確；對于B，"兩次都摸到紅球"和"兩次都摸到綠球”，不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以R與G互斥但不對立，故B正確；對于C，"兩次都摸到紅球"，"兩次都摸到綠球”，“兩球顏色相同”，所以，故C正確；對于D，從袋中不放回地依次隨機(jī)攬出2個球，不同的結(jié)果有：，共12種結(jié)果，事件S包含這6種結(jié)果，，事件T包含這6種結(jié)果，，事件ST包含這2種結(jié)果，，，所以S與T不是相互獨(dú)立事件，故D錯誤.故選：D.3．【分析】根據(jù)互斥事件的概念即可得出結(jié)果.【詳解】由事件A與事件B為互斥事件，得故答案為：04．/0.75真【分析】根據(jù)題意求出；的概率，利用事件相互獨(dú)立的定義計算出，驗(yàn)證是否相等即可判斷.【詳解】事件：“抽到卡片上有數(shù)字”，，則；，，命題：事件與相互獨(dú)立是真命題．故答案為：；真．5．【分析】設(shè)這道題沒被解出來為事件A，則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率【詳解】設(shè)數(shù)學(xué)題沒被解出來為事件A，則.故則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率.故答案為：6．【詳解】試題分析：設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P1、P2，一個零件經(jīng)過檢測，為合格品的概率P；由題意得：，解可得P1=，P2=，或P1=，P2=，則P=P1×P2=；故答案為．考點(diǎn)：獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率【方法點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題型，（1）兩個事件,其中一個事件發(fā)生與否對另一個事件的概率沒有影響，那么這兩個事件是獨(dú)立事件，（3）獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,稱為的對立事件，,（3）至少有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的對立事件是兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都沒有達(dá)標(biāo)，根據(jù)以上關(guān)系，設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為和,根據(jù)條件列方程組求解.7．/15/【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計算公式求得正確答案.【詳解】甲、乙、丙三人都投中的概率為.至少有兩人投中的概率為.故答案為：；8．【分析】利用獨(dú)立事件的概率公式即可得解.【詳解】因?yàn)榧淄瑢W(xué)每次投中的概率都是，連續(xù)投3次，則投不中的概率為，所以甲同學(xué)恰好只有第3次投中的概率為23至少兩次投中的概率為.故答案為：；.9．(1)(2)【分析】（1）設(shè)丙答對這道題的概率為，利用對立事件和相互獨(dú)立事件概率公式，即可求解；（2）由相互獨(dú)立事件概率乘法公式，即可求解.【詳解】（1）記甲、乙、丙3人獨(dú)自答對這道題分別為事件，設(shè)丙答對題的概率，乙答對題的概率，由于每人回答問題正確與否是相互獨(dú)立的，因此是相互獨(dú)立事件.根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式，得，解得，所以丙對這道題的概率為（2）甲、丙都答題錯誤，且乙答題正確的概率為甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為10．(1)0.9(2)0.26(3)0.98【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解；（2）分兩種情況考慮即可求解；（3）根據(jù)對立事件的概率即可得解.【詳解】（1）設(shè)甲中靶為事件，乙中靶為事件，則事件與事件相互獨(dú)立，且，則，即乙中靶的概率為0.9.（2）設(shè)恰有一人中靶為事件，則.即恰有一人中靶的概率為0.26.（3）設(shè)至少有一人中靶為事件，則，即至少有一人中靶得概率為0.98.11．(1)中年員工甲接種成功的概率更大(2)【分析】分別記“中年員工甲、老年員工乙接種成功”為事件、，且、相互獨(dú)立，（1）甲、乙接種成功，即兩人每針接種均合格，由獨(dú)立事件概率的乘法公式，計算可得、比較可得答案；（2）記“記甲和乙兩人中至少有一人接種成功的事件記為”為事件，即，由獨(dú)立事件概率的乘法公式，計算可得答案；或利用間接法，確定對立事件，計算，進(jìn)而得C事件的概率．【詳解】（1）解：記中年員工甲接種成功的事件為，老年員工乙接種成功的事件為B，則，，故中年員工甲接種成功的概率更大.（2）法一：記甲和乙兩人中至少有一人接種成功的事件記為C，則法二：記甲和乙兩人中至少有一人接種成功的事件記為，則，兩人中至少有一人接種成功的概率為.12．(1)(2)【分析】（1）比賽兩局就結(jié)束即甲連勝兩局或乙連勝兩局，分別求概率即可；（2）分別比賽兩局結(jié)束和比賽三局結(jié)束，分別求概率即可.【詳解】（1）比賽恰進(jìn)行兩局就結(jié)束對應(yīng)的事件A有兩種可能，事件：甲勝乙，事件：乙勝甲.，，.（2）這場比賽甲獲勝對應(yīng)的事件B有兩種可能，事件：比賽兩局結(jié)束且甲獲勝；事件：比賽三局結(jié)束且甲獲勝.，，∴.13．(1)0.38；(2).【分析】（1）根據(jù)互斥事件求和公式及獨(dú)立事件的乘法公式即得；（2）根據(jù)對立事件的概率公式及獨(dú)立事件的乘法公式即得.【詳解】（1）由題可得，，則，所以甲、乙二人中恰有一人投中的概率為；；（2）由題可得甲、乙二人都沒有投中的概率為，所以甲、乙二人中至少有一人投中的概率為.14．(1)(2)【分析】（1）設(shè)甲、乙隊(duì)答對此題分別為事件，則，結(jié)合相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求甲乙兩隊(duì)都答對此題的概率；（2）依據(jù)題意，結(jié)合對立事件與相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求得甲乙兩隊(duì)至少有一隊(duì)答對此題的概率．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙隊(duì)答對此題分別為事件，則，記事件“甲乙兩隊(duì)都答對此題”，由于每隊(duì)答題正確與否是相互獨(dú)立的，所以，故甲乙兩隊(duì)都答對此題的概率為；（2）解：記事件“甲乙兩隊(duì)至少有一隊(duì)答對此題”，由于每隊(duì)答題正確與否是相互獨(dú)立的，故.故甲乙兩隊(duì)至少有一隊(duì)答對此題的概率為.15．(1)(2)(3)，該養(yǎng)殖場下一年應(yīng)采用新養(yǎng)殖法更合適，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖利用頻率公式求得頻數(shù)，結(jié)合古典概型公式計算得出答案；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式計算即可；（3）利用頻率分布直方圖利用頻率之和為，即可求得圖中的值，結(jié)合頻率分布直方圖分別估計新舊養(yǎng)殖法的平均值，即可做出判斷.【詳解】（1）的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，再從中隨機(jī)抽取2箱，基本事件總數(shù)，恰有一箱產(chǎn)量不低于65kg包含的基本事件個數(shù)，恰有一箱產(chǎn)量不低于65kg的概率為．（2）設(shè)事件分別表示：從運(yùn)用舊，新網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個網(wǎng)箱，其箱產(chǎn)量不低于55kg，用頻率估計概率，則，，相互獨(dú)立，估計兩個網(wǎng)箱中至少有一箱產(chǎn)量不低于55kg的概率為：．（3）頻率分布直方圖所有小長方形面積之和等于1，即解得舊養(yǎng)殖法的平均值估計為：，新養(yǎng)殖法的平均值估計為：，，該養(yǎng)殖場下一年應(yīng)采用新養(yǎng)殖法更合適．16．(1)0.21；(2)0.44；(3)0.94.【分析】（1）根據(jù)概率乘法得三人都命中概率為；（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三種情況討論，結(jié)合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正難則反的原則，求出其對立事件即三人全未命中的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)事件：甲投籃命中;事件：乙投籃命中;事件：丙投籃命中.甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率.所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.（2）設(shè)事件:恰有兩人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.（3）設(shè)事件:至少有一人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.17．(1)2(2)(3)【分析】（1）由題意知總樣本數(shù)為，C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物共有，利用古典概率從而求解.（2）由題意可知小王參觀A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物在同一個區(qū)的只有東城區(qū)，然后分別求出他們參觀東城區(qū)的概率，從而求解.（3）利用分類討論求出相應(yīng)的抽到海淀區(qū)的概率P1和抽不到海淀區(qū)的概率，從而求解.【詳解】（1）設(shè)選中參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”為事件，由題意知