八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)提升練習(xí)02-全練版：13.3.2　等邊三角形

第十三章軸對(duì)稱13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的概念及性質(zhì)1.如圖,△ABC是等邊三角形,DE∥BC,分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,P為線段AE上任意一點(diǎn).若∠DPE=80°,則∠PDE的度數(shù)為(M8113005)()A.20°B.40°C.60°D.100°2.(2021江蘇鹽城東臺(tái)期中)如圖,等邊△ABC的兩條中線BD、CE交于點(diǎn)O,則∠BOC=.

3.如圖,點(diǎn)D,E,F分別為等邊△ABC三邊AB,BC,AC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△DEF為等邊三角形時(shí),AD=3,則線段CF的長(zhǎng)為.

4.【教材變式·P93T13】如圖,△ABC是等邊三角形,BD是AC邊上的高,延長(zhǎng)BC至E,連接DE,使DB=DE.(M8113005)(1)求∠BDE的度數(shù);(2)求證:△CED為等腰三角形.知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定5.在△ABC中,AB=AC,添加下列條件不能判定△ABC是等邊三角形的是()A.∠A=60°B.AC=BCC.∠B的補(bǔ)角等于∠C的補(bǔ)角D.AB邊上的高也是AB邊上的中線6.由于木質(zhì)衣架沒有柔韌性,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小明設(shè)計(jì)了一種衣架,在使用時(shí)能輕易收攏,套進(jìn)衣服后松開即可.如圖,OA=OB=20cm,當(dāng)衣架收攏時(shí),∠AOB=60°,此時(shí)A,B兩點(diǎn)之間的距離是cm.

7.如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分∠ABD,AE∥BD交BE于E,則△ABE的周長(zhǎng)是.(M8113005)

8.(2022天津師大附中期末)等邊△ABC中,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),點(diǎn)Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,則△APQ是什么形狀的三角形?試說明你的結(jié)論.(M8113005)知識(shí)點(diǎn)3含30°角的直角三角形的性質(zhì)9.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,則BD與BC的數(shù)量關(guān)系為()A.BC=2BDB.BC=3BDC.BC=4BDD.BC=5BD10.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等邊△CDE的頂點(diǎn)E,D分別在線段AB,BC上,則CD的長(zhǎng)為()A.1B.2C.3D.411.(2021廣東廣州現(xiàn)代學(xué)校期末)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長(zhǎng)為.

12.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,校園內(nèi)有一棵大樹AB,大樹旁邊有一棟教學(xué)樓CD,且CD=6.6米,站在樓頂C處,測(cè)得點(diǎn)B的仰角為30°,點(diǎn)A的俯角為30°,AC=BC,AD∥EC,則大樹AB的高度為.

能力提升全練13.(2022海南中考,9,★★☆)如圖,直線m∥n,△ABC是等邊三角形,頂點(diǎn)B在直線n上,直線m交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,若∠1=140°,則∠2的度數(shù)是(M8113005)()A.80°B.100°C.120°D.140°14.(2021湖南益陽中考,7,★★☆)如圖,AB∥CD,△ACE為等邊三角形,∠DCE=40°,則∠EAB等于(M8113005)()A.40°B.30°C.20°D.15°15.(2021廣東廣州中考,13,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E,連接BD.若CD=1,則AD的長(zhǎng)為.

16.(2020江蘇常州中考,15,★★☆)如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)E、F.若△AFC是等邊三角形,則∠B=°.

17.(2023山東青島聯(lián)考,16,★★☆)如圖所示的是某種落地?zé)舻暮?jiǎn)易示意圖,AB為立桿,BC為支桿,可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),DE為懸桿,滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)CD的長(zhǎng)度.為了使落地?zé)舾奖銓W(xué)習(xí)時(shí)的照明,小唯將該落地?zé)暨M(jìn)行了調(diào)整,使懸桿的CD部分的長(zhǎng)度與支桿BC的長(zhǎng)度相等,且∠BCE=120°.若CD的長(zhǎng)為50cm,則此時(shí)B,D兩點(diǎn)之間的距離為cm.

18.(2022江西臨川一中期中,21,★★☆)在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在AB邊上,點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上,且DE=EC.(M8113005)(1)如圖1,當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求證:BC=2BD;(2)如圖2,若AB=12,AE=2,求CD的長(zhǎng).圖1圖219.(2021山東東營(yíng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末,23,)在復(fù)習(xí)課上,老師布置了一道思考題:如圖所示,點(diǎn)M、N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上,且BM=CN,AM、BN交于點(diǎn)Q,求證:∠BQM=60°.(M8113005)(1)請(qǐng)你完成這道思考題;(2)做完(1)后,同學(xué)們?cè)诶蠋煹膯l(fā)下進(jìn)行了反思,提出許多問題,譬如:①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換,得到的是否仍是真命題?②若將題中的點(diǎn)M,N分別移動(dòng)到BC,CA的延長(zhǎng)線上,是否仍能得到∠BQM=60°?請(qǐng)你選擇其中一個(gè)問題,并畫出圖形,給出證明.素養(yǎng)探究全練20.【幾何直觀】(2022山東日照實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),D是△ABC外的一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,連接OD.(1)求證:△OCD是等邊三角形;(2)當(dāng)α=150°時(shí),試判斷△AOD的形狀,并說明理由;(3)△AOD能否為等邊三角形?為什么?(4)探究:當(dāng)α為多少度時(shí),△AOD是等腰三角形.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.B∵△ABC是等邊三角形,∴∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠PED=∠C=60°,∵∠DPE=80°,∴∠PDE=180°-∠PED-∠DPE=40°,故選B.2.答案120°解析∵△ABC是等邊三角形,BD、CE是中線,∴BD⊥AC,∠ACE=12∠ACB=30°,∴∠BDC=90°∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°,故答案為120°.3.答案3解析∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠C=60°,∴∠ADF+∠AFD=180°-∠A=120°,∵△DEF是等邊三角形,∴DF=EF,∠DFE=60°,∴∠AFD+∠EFC=180°-∠DFE=120°,∴∠ADF=∠EFC,∴△ADF≌△CFE(AAS),∴CF=AD=3.4.解析(1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD是AC邊上的高,∴∠DBC=30°,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°.(2)證明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE,∴△CED是等腰三角形.5.CA.當(dāng)AB=AC,∠A=60°時(shí),△ABC是等邊三角形,故本選項(xiàng)不符合題意;B.當(dāng)AB=AC,AC=BC時(shí),AB=AC=BC,則△ABC是等邊三角形,故本選項(xiàng)不符合題意;C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B的補(bǔ)角等于∠C的補(bǔ)角,∴當(dāng)∠B的補(bǔ)角等于∠C的補(bǔ)角時(shí),不能判定△ABC是等邊三角形,故本選項(xiàng)符合題意;D.當(dāng)AB邊上的高也是AB邊上的中線時(shí),CA=CB,∴AB=AC=BC,∴△ABC是等邊三角形,故本選項(xiàng)不符合題意.故選C.6.答案20解析如圖,連接AB.∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△OAB是等邊三角形,∴AB=OA=20cm.故答案為20.7.答案15解析∵∠ABC=60°,∴∠ABD=180°-60°=120°,∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE=60°,∵AE∥BD,∴∠EAB=∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EAB=60°,∴△ABE是等邊三角形,∴AB=BE=AE=5,∴△ABE的周長(zhǎng)是AB+BE+AE=15.8.解析△APQ為等邊三角形.證明:∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC.在△ABP與△ACQ中,AB∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等邊三角形.9.C∵∠BAC=90°,∠C=30°,∴BC=2AB,∠B=180°-∠BAC-∠C=60°,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°,∴AB=2BD,∴BC=4BD.故選C.10.B∵△CDE為等邊三角形,∴∠ECD=60°,CE=CD,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60°-30°=90°,∴CE⊥AB,即△CBE為直角三角形,∴CD=CE=12BC=12×4=2,11.答案6解析∵M(jìn)N∥BC,∴∠AMN=∠B=30°,∵∠A=90°,AN=1,∴MN=2AN=2,∵M(jìn)N平分∠AMC,∴∠NMC=∠AMN=30°,∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-90°-30°=60°,BC=2AC,∵CM平分∠ACB,∴∠ACM=12∠ACB=30°∴∠ACM=∠NMC,∴CN=MN=2,∴AC=AN+CN=1+2=3,∴BC=2AC=2×3=6,故答案為6.12.答案13.2米解析∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+30°=60°,AC=BC,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∵AD∥EC,∴∠CAD=∠ACE=30°,在Rt△ADC中,∠CAD=30°,CD=6.6米,∴AC=2CD=2×6.6=13.2(米),∴大樹AB的高度為13.2米.能力提升全練13.B如圖,∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF=140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°,∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°-80°=100°,故選B.14.C∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,∵△ACE為等邊三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.故選C.15.答案2解析∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°,∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.故答案為2.16.答案30解析∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF,∵△ACF為等邊三角形,∴∠AFC=60°,∴∠B=∠BCF=30°.故答案為30.17.答案50解析連接BD(圖略),∵∠BCE=120°,∴∠BCD=60°,∵BC=CD,∴△BCD是等邊三角形,∴BD=CD=50cm,故B,D兩點(diǎn)之間的距離為50cm.18.解析(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°,∵E為AB的中點(diǎn),∴CE⊥AB,CE是∠ACB的平分線,∴∠BEC=90°,∠BCE=30°,∴BC=2EB,∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=30°,∴∠DEB=60°-30°=30°=∠D,∴BD=BE,∴BC=2BD.(2)如圖,過點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F,∵△ABC為等邊三角形,∴∠AFE=∠AEF=∠ACB=∠ABC=60°,BC=AB=12,∴△AEF為等邊三角形,∠EFC=∠EBD=120°,∴EF=AE,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∵EF∥BC,∴∠ECB=∠FEC,∴∠EDB=∠FEC,在△BDE和△FEC中,∠∴△BDE≌△FEC(AAS),∴BD=EF,∴BD=AE=2,∴CD=BC+BD=12+2=14.19.解析(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,在△ABM和△BCN中,BM∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN.∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∴∠BQM=60°.(2)任選一個(gè)問題回答即可.①是.證明:∵∠BQM=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∵∠QBA+∠CBN=60°,∴∠BAM=∠CBN.在△ABM和△BCN中,∠∴△ABM≌△BCN(ASA).∴BM=CN.②能.證明:如圖,∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN.∵∠BAC=∠ACB=60°,∴∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°,在△BAN和△ACM中,BA∴△BAN≌△ACM(SAS).∴∠NBA=∠MAC,∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=∠BNA+∠CAM=∠BNA+∠ABN=∠BAC=60°.素養(yǎng)探究全練20.解析(1)證明:∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC.∵∠OCD=60°,∴△OCD是等邊三角形.(2)△AOD是直角三角形.理由如下:∵△OCD是等邊三角形,∴∠ODC=∠DOC=60°,∵△BOC≌△ADC,α=150°,∴