江西省南昌三中教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年江西省南昌三中教育集團(tuán)九年級（上）第一次摸底數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列選項(xiàng)中，能使關(guān)于x的一元二次方程一定有實(shí)數(shù)根的是(

)A. B. C. D.2.把拋物線向左平移2個單位、向下平移1個單位后得到的拋物線是(

)A. B. C. D.3.已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過，，，，其中，則，，中最值情況是(

)A.最小，最大 B.最小，最大 C.最小，最大 D.無法判斷4.若函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，則m的值為(

)A.或3 B.或 C.1或或3 D.1或或5.一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(

)A. B.

C. D.6.拋物線的對稱軸為直線，其部分圖象交x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，如圖所示，則下列結(jié)論：

①；

②；

③為任意實(shí)數(shù)；

④點(diǎn)是該拋物線上的點(diǎn)，且

其中正確的有(

)A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.用配方法解方程，經(jīng)過配方，得到______.8.若方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則______.9.若一元二次方程的兩根為，，則的值為______.10.若m，n是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為______.11.二次函數(shù)的部分圖象如圖，圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，若拋物線與y軸交于點(diǎn)A，則拋物線與x軸正半軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為______.

12.定義為函數(shù)的“特征數(shù)”．如函數(shù)的特征數(shù)為，函數(shù)的特征數(shù)為，若特征數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，則a的值為______.三、計(jì)算題：本大題共2小題，共12分。13.解方程

14.解方程：

；

四、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題6分

已知關(guān)于x的一元二次方程

若是方程的一個根，求實(shí)數(shù)m的值；

求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.16.本小題6分

新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，我國新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺，2022年出口量增加到45萬臺.

求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是多少？

按照這個增長速度，預(yù)計(jì)2023年我國新能源汽車出口量為多少？17.本小題6分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)C，A分別在x軸，y軸上，經(jīng)過A，C兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)D，連接請僅用無刻度的直尺完成以下作圖．保留作圖痕跡

在圖1中的拋物線上找出點(diǎn)E，使；

在圖2中的拋物線上作出該拋物線的頂點(diǎn)

18.本小題8分

已知：二次函數(shù)中的x和y滿足下表：x…012345…y…300m8…可求得m的值為______；

求出這個二次函數(shù)的解析式；

當(dāng)時，則y的取值范圍為______.19.本小題8分

某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量件與當(dāng)天的銷售單價元/件滿足一次函數(shù)關(guān)系，并且當(dāng)時，；當(dāng)時物價部門規(guī)定，該商品的銷售單價不能超過52元/件．

求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

問銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？

當(dāng)銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤．20.本小題8分

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)

求m的值和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

求直線AM的解析式；

根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)時x的取值范圍．

21.本小題9分

閱讀下列材料并解決問題

【問題】解方程：；

【提示】可以用“換元法”解方程．

解：設(shè)，則原方程為，解得，舍去

所以，，

【解決問題】

解方程

關(guān)于x的方程恰好有3個不相等的實(shí)數(shù)根滿足此方程，求m的值．22.本小題9分

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為，矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，點(diǎn)D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)，且矩形的面積為

此拋物線的解析式.

點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，若為等腰三角形，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo).23.本小題12分

如圖所示，已知拋物線與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上不與A，B重合的一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上的一個動點(diǎn).

求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時，求出面積最大時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

是否存在以P，Q，A，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：當(dāng)時，方程不是一元二次方程，故選項(xiàng)A錯誤；

當(dāng)，時，方程沒有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)C錯誤；

當(dāng)，時，方程沒有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D錯誤；

當(dāng)時，

一元二次方程一定有實(shí)數(shù)根．

故選：

根據(jù)根的判別式，逐個判斷得結(jié)論．

本題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式2.【答案】B

【解析】解：原拋物線的頂點(diǎn)為，向左平移2個單位，再向下平移1個單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為

可設(shè)新拋物線的解析式為

故選：

根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律左加右減，上加下減進(jìn)行解答即可．

主要考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．3.【答案】A

【解析】解：，，且，

該二次函數(shù)的對稱軸為：

，，且，

在對稱軸左側(cè)，即時，y隨x的增大而增大．

，，中，，

故選：

利用推導(dǎo)出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)可知y隨x的增大而增大可判斷，，中的最值情況．

本題考查二次函數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)增減性是突破本題的關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)和兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程的關(guān)系解答．

【解答】解：當(dāng)時，函數(shù)解析式為：是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，

當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，

函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，

，

解得，或

故選5.【答案】D

【解析】解：在A中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項(xiàng)A錯誤；

在B中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項(xiàng)B錯誤；

在C中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項(xiàng)C錯誤；

在D中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項(xiàng)D正確；

故選：

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的正負(fù)情況，從而可以解答本題．

本題考查二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象判斷a、b的正負(fù)情況．6.【答案】A

【解析】解：拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，

，①正確．

拋物線對稱軸為直線，

，

，②正確．

拋物線開口向下，對稱軸為直線，

時y取最大值，

，

，③正確．

，

，④錯誤．

故選：

由拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)可判斷①，由拋物線對稱軸為直線可判斷②，由拋物線開口向下及對稱軸為直線可得，從而判斷③，根據(jù)各點(diǎn)與對稱軸的距離大小可判斷④．

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．7.【答案】

【解析】解：把方程，的常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊，得到，

方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到

配方得

故答案為：

把常數(shù)項(xiàng)1移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)4的一半的平方．

本題考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：

形如型：第一步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．

形如型，方程兩邊同時除以二次項(xiàng)系數(shù)，即化成，然后配方．8.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得，

解得

故答案是：

利用根的判別式的意義得到，然后解方程即可．

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．9.【答案】

【解析】解：一元二次方程的兩根為，，

；

則

故答案為：

直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出、的值，再代入計(jì)算即可．

本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握，是一元二次方程的兩根時，，10.【答案】2043

【解析】解：，n是方程的兩個實(shí)數(shù)根，

，，，

，，

故答案為：

由m，n是方程的兩個實(shí)數(shù)根可得：，，，代入所求式子即可得到答案．

本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的概念，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．11.【答案】

【解析】解：拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線對稱軸為直線，

拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，

故答案為：

由拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為及拋物線的對稱軸求解．

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對稱性，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．12.【答案】0或

【解析】解：由題意可得特征數(shù)為的函數(shù)為，

當(dāng)時，函數(shù)為一次函數(shù)，符合題意，

當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，當(dāng)時符合題意，

解得，

故答案為：0或

由特征數(shù)可得函數(shù)解析式，分別討論函數(shù)為一次函數(shù)及二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系求解．

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．13.【答案】解：方程移項(xiàng)得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，；

方程移項(xiàng)得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，

【解析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．

此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．14.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，

，

或，

，

【解析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接開平方法．

移項(xiàng)，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．15.【答案】解：將代入原式，得；

解得；

證明：，

原方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

【解析】把方程的一個根代入，計(jì)算即可求m的值；

根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程的根的判別式的符號來判定該方程的根的情況．

本題考查了一元二次方程的解的定義，根的判別式．一元二次方程為常數(shù)的根的判別式為當(dāng)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．16.【答案】解：設(shè)年平均增長率為x，

根據(jù)題意可列方程：，

解得：，不合題意舍去，

答：2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是；

由得，萬，

答：預(yù)計(jì)2023年我國新能源汽車出口量為萬輛．

【解析】根據(jù)2020年某款新能源車銷售量為20萬輛，到2022年銷售量為45萬輛，若年增長率x不變，可得關(guān)于x的一元二次方程；

利用中所求，進(jìn)而利用2023年出口量年出口量增長率，即可得出答案．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：如圖，點(diǎn)E即為所求．

如圖，點(diǎn)F即為所求．

【解析】如圖1中，延長BA交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，即可．

如圖2中，作直線AC，直線DE交于點(diǎn)R，連接AD，CE交于點(diǎn)T，作直線RT交拋物線于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求．

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，拋物線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的軸對稱性，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．18.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得：，

解得：，

則函數(shù)的解析式是：，

當(dāng)時，；

函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：，

當(dāng)時，則y的取值范圍為：

故答案是：3；

把表中的三個點(diǎn)，，代入函數(shù)的解析式，得到關(guān)于a，b，c的方程組，即可求得解析式，把代入即可求得m的值；

根據(jù)函數(shù)的圖象開口方向，增減性即可確定．

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，理解函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．19.【答案】解：設(shè)，

根據(jù)題意可得，

解得，

則；

根據(jù)題意，得，

整理，得，

解得，，

銷售單價最高不能超過52元/件，

，

答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元；

利潤

，

當(dāng)時，w取最大值為：9000，

故當(dāng)銷售單價定為50元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，其最大利潤為9000元．

【解析】利用待定系數(shù)法求解可得；

根據(jù)“總利潤=單件利潤銷售量”可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得；

利潤，即可求解．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．20.【答案】解：拋物線與x軸交于點(diǎn)，

，解得：，

拋物線解析式為，

，；

設(shè)直線AM的解析式，

過點(diǎn)和點(diǎn)，

，解得：，

直線AM的解析式；

由圖象可知，當(dāng)時，或

【解析】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合的思想、靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式中即可求得m的值，再將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，一次即可解答；

設(shè)直線AM的解析式，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；

根據(jù)圖象即可得到結(jié)果．21.【答案】解：，

設(shè)，則原方程為，

解得：，舍去，

當(dāng)時，，

，

，

，

所以，

解得：，，

經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解．

設(shè)，，

因?yàn)樵匠逃腥齻€實(shí)數(shù)解，

所以與的圖象有三個交點(diǎn)，

由圖知，

【解析】本題考查方程的解法，換元法和圖象法是求解本題的關(guān)鍵．

先換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解．

數(shù)形結(jié)合，將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象相交問題，求m的值．22.【答案】解：拋物線的頂點(diǎn)為，

拋物線的對稱軸為y軸，

四邊形CDEF為矩形，

、F點(diǎn)為拋物線上的對稱點(diǎn)，

矩形其面積為32，，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為；

設(shè)

①當(dāng)時，點(diǎn)P在線段CF的垂直平分線上，此時點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，其坐標(biāo)是；

②當(dāng)時，，解得，所以此時點(diǎn)P的坐標(biāo)