廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)九年級(jí)（上）第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.方程，一次項(xiàng)系數(shù)為(

)A. B. C. D.62.矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(

)A.對(duì)角線相等 B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線互相垂直且相等3.下列條件中，不能判定?ABCD為矩形的是(

)A. B. C. D.4.一元二次方程的左邊配成完全平方后所得方程為(

)A. B. C. D.5.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程為常數(shù)的一個(gè)解x的范圍是(

)xA. B. C. D.6.如圖，在菱形ABCD中，連接BD，若，，則菱形ABCD的面積為(

)A.4

B.6

C.

D.7.如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)上，若，，折痕為EF，則FC的長(zhǎng)為(

)A.5

B.4

C.3

D.8.如圖，在菱形ABCD中，，，E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，連接FG，則FG的最小值為(

)A.4

B.

C.5

D.69.等腰三角形的底和腰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是(

)A.11 B.10 C.11或10 D.不能確定10.隨著中考結(jié)束，初三某畢業(yè)班的每一個(gè)同學(xué)都向其他同學(xué)贈(zèng)送一張自己的照片留作紀(jì)念，全班共送了2256張照片，若該班有x名同學(xué)，則根據(jù)題意可列出方程為(

)A. B.

C. D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.方程，化成一般形式是______.12.如圖，在中，CD是斜邊AB上的中線，若，則______.

13.若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.14.如圖，正方形、、、的邊長(zhǎng)分別為2、4、6、4，四個(gè)正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)，，分別位于正方形、、的對(duì)角線的交點(diǎn)，則重疊部分的陰影部分的面積之和是______.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為第二象限的點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.本小題7分

解方程：

17.本小題7分

如圖：在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交BC于點(diǎn)尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了，連接判斷四邊形ABEF的形狀，并說(shuō)明理由：18.本小題7分

如圖，在矩形ABCD中，，AC是對(duì)角線.

尺規(guī)作圖：作線段AC的垂直平分線EF，分別交AC，AB，CD于點(diǎn)O、E、不寫作法，2B鉛筆作圖，保留清晰、規(guī)范的作圖痕跡；

在的條件下，求證：19.本小題9分

已知關(guān)于x的一元二次方程

若是方程的一個(gè)根，求m的值和方程的另一根；

證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.20.本小題9分

2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國(guó)各地積極開展.某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同.

求該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率；

若此頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，經(jīng)測(cè)算當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為300個(gè)；售價(jià)每上漲1元，則月銷售量減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？21.

22.本小題13分

綜合與探究：

如圖，直線：與直線交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)以同樣的速度沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，作軸，交折線于點(diǎn)M，作軸，交折線于點(diǎn)N，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

求直線的表達(dá)式；

在點(diǎn)C，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．

①當(dāng)點(diǎn)M，N分別在OA，AB上時(shí)，求證四邊形CMND是矩形．

②在點(diǎn)C，點(diǎn)D的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)四邊形CMND是正方形時(shí)，請(qǐng)你直接寫出t的值．

點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，問(wèn)是否存在以點(diǎn)P，O，A，C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23.本小題14分

定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”.如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”.

概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______平行四邊形矩形菱形正方形

問(wèn)題解決：如圖2，以銳角的兩邊AB、AC為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)正方形ABDE和正方形ACFG，連接BF、EG、求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”：

性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條站論：①______；②______拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，

試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

若的最小值是4，則BD的長(zhǎng)度為______不需要解答過(guò)程

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：方程，一次項(xiàng)系數(shù)為

故選：

根據(jù)一元二次方程的一般形式得出答案即可．

本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，一元二次方程的一般形式是、b、c為常數(shù)，2.【答案】B

【解析】解：A、對(duì)角線相等，菱形不具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、對(duì)角線互相平分是平行四邊形具有的性質(zhì)，正方形、菱形、矩形都具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)符合題意；

C、對(duì)角線互相垂直，矩形不具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、對(duì)角線互相垂直且相等，菱形不具有對(duì)角線相等的性質(zhì)，矩形不具有對(duì)角線垂直，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：

根據(jù)正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)分別分析各個(gè)選項(xiàng)，從而得到答案．

本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確矩形、菱形、正方形都是平行四邊形．3.【答案】A

【解析】解：A、在?ABCD，若，

則四邊形ABCD還是平行四邊形；故選項(xiàng)A符合題意；

B、在?ABCD中，，

，

，

，

?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、在?ABCD中，，

則?ABCD是矩形；故選項(xiàng)C不符合題意；

D、在?ABCD中，，

，

?ABCD是矩形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：

由矩形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

本題主要考查了矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到，

方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到，

配方得

故選：

本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：

把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；

把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；

等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．

選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．5.【答案】C

【解析】解：，，

，，

時(shí)，，

即方程為常數(shù)的一個(gè)解x的范圍是

故選：

利用，，而，，則可判斷方程為常數(shù)的一個(gè)解x的范圍是

本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說(shuō)明未知數(shù)的值愈接近方程的根．6.【答案】C

【解析】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖所示：

四邊形ABCD為菱形，且，

，，，

為等邊三角形，

，，

在中，由勾股定理得：，

，

菱形ABCD的面積為：

故選：

連接AC交BD于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得為等邊三角形，則，，，，由此可得，則，進(jìn)而可得菱形ABCD的面積．

此題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，理解菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的面積公式及勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，

設(shè)，則，

，

，

解得：，

，

故選：

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，利用勾股定理求出BF，從而得出FC即可．

本題考查翻折變換，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．8.【答案】B

【解析】解：如圖所示：連接OE，

在菱形ABCD中，，，

，

，

四邊形OGEF是矩形，

，

的最小值，

即OE最小值，

當(dāng)時(shí)，OE最小，

，

，

，

最小為，

即FG的最小值為，

故選：

如圖所示：連接OE，在菱形ABCD中，，，得，，由，，可得四邊形OGEF是矩形，進(jìn)而得出，當(dāng)時(shí)，OE最小，即FG的最小值，即可得出．

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形OGEF是矩形是解此題的關(guān)鍵．9.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．

利用因式分解法求出方程的解得到x的值，確定出底與腰，即可求出周長(zhǎng)．

【解答】

解：方程分解得：，

解得：，，

若3為底，4為腰，三角形三邊為3，4，4，能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為；

若3為腰，4為底，三角形三邊為3，3，4，能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為

故選10.【答案】A

【解析】解：若該班有x名同學(xué)，那么每名學(xué)生送照片張，全班應(yīng)該送照片張，

則可列方程為

故選：

若該班有x名同學(xué)，那么每名學(xué)生送照片張，全班應(yīng)該送照片，那么根據(jù)題意可列得方程．

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系是列出方程；弄清每名同學(xué)送出的照片是張是解決本題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：，

整理得：，即

故答案為：

先展開，移項(xiàng)，即可得出的形式即可．

本題主要考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為為常數(shù)，且12.【答案】5

【解析】解：在中，CD是斜邊AB上的中線，

則，

故答案為：

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求得

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．13.【答案】

【解析】解：方程沒有實(shí)數(shù)根，

，

解得：

故答案為：

根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．

本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14.【答案】14

【解析】解：設(shè)正方形、、中的面積分別為，，，

如圖，設(shè)與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，

G過(guò)分別作于E，于F，

連接，，

四邊形是正方形，是對(duì)角線的交點(diǎn)，

平分，且是等腰直角三角形，

，，

，

，

四邊形為正方形，

，

四邊形是正方形，

，

，

在與中，

，

≌，

，

，

，

同理，，正方形，

陰影部分的面積和為：，

故答案為：

如圖，因?yàn)樗倪呅危钦叫?，所以可以得到四邊形是?duì)角互補(bǔ)的四邊形，過(guò)作，的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，先證≌，從而推得四邊形的面積為正方形面積的四分之一，同樣的方法，求得另外兩個(gè)陰影部分面積，即可解決．

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，發(fā)現(xiàn)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，且對(duì)角線是角平分線，從而實(shí)現(xiàn)全等的構(gòu)造，是此題的突破口．15.【答案】

【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作軸，于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作軸，于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作，交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

，

點(diǎn)，

，，

四邊形AOCB是正方形，

，，

，

，

≌，

同理可得：≌，

，，

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為

故答案為：

先作軸，作軸，于點(diǎn)F，點(diǎn)B作，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明≌≌，可得，，即可得出答案．

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16.【答案】解：，

，

，

或，

所以，；

，

，

或，

所以，

【解析】先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個(gè)一次方程即可；

先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個(gè)一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17.【答案】解：四邊形ABEF為菱形，理由如下：

四邊形ABCD為平行四邊形，

，

，

根據(jù)作圖可知，AE平分，

，

，

，

，

，

四邊形ABEF為平行四邊形，

，

四邊形ABEF為菱形．

【解析】根據(jù)作圖得出，AE平分，證明，得出，證明，，得出四邊形ABEF為平行四邊形，根據(jù)，得出四邊形ABEF為菱形．

本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法．18.【答案】解：圖形如圖所示：

證明：四邊形ABCD是矩形，

，，

，

，，

≌，

，

，即

【解析】根據(jù)要求作出圖形即可；

證明四邊形AECF是菱形即可．

本題考查作圖-基本作圖，矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．19.【答案】解：設(shè)方程的另一根為t，

根據(jù)題意得，，

解得，，

即，方程的另一根為；

證明：，

因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)m，，

所以，

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

【解析】設(shè)方程的另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后解兩個(gè)方程即可；

計(jì)算判別式的值得到，則利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷，然后根據(jù)判別式的意義可判斷對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)一元二次方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，，20.【答案】解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，

根據(jù)題意得：，

解得：，不符合題意，舍去

答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率為；

設(shè)該品牌頭盔的售價(jià)定為y元/個(gè)，則每個(gè)頭盔的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為個(gè)，

根據(jù)題意得：，

整理得：，

解得：，，

又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，

答：該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為48元/個(gè)．

【解析】設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，利用6月份的銷售量月份的銷售量該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；

設(shè)該品牌頭盔的售價(jià)定為y元/個(gè)，則每個(gè)頭盔的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為個(gè)，利用月銷售利潤(rùn)=每個(gè)頭盔的銷售利潤(rùn)月銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之可得出y值，再結(jié)合要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，即可確定結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21.【答案】

【解析】

22.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，

，

設(shè)直線的表達(dá)式為：，

，

解得，

直線的表達(dá)式為：；

①，，

，

，

軸，軸，

，，

由點(diǎn)C，D的運(yùn)動(dòng)可知，，

≌，

，

四邊形CMND是平行四邊形，

，

平行四邊形CMND是矩形；

②當(dāng)點(diǎn)M，N分別在OA，AB上時(shí)，

若四邊形CMND是正方形，則，

，

，

，

，

，解得，

當(dāng)M，N分別在AB，OA上時(shí)，如圖，

同理可證四邊形CMND是矩形，

若四邊形CMND是正方形，則，

，

，

，

，

，解得，

綜上，t的值為或；

存在，理由如下：

若以點(diǎn)P，O，A，C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則只需是等腰三角形即可．

當(dāng)時(shí)，，

且，

；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，，

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，

；

當(dāng)，則，

解得，

，

此時(shí)且，

，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或

【解析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線，求出m的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為：，再將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式中，組成一元二次方程組，求解即可；①根據(jù)題意可證明≌，由此得出，則四邊形CMND是平行四邊形，又，可得平行四邊形CMND是矩形；

②若四邊形CMND是正方形，則即可，根據(jù)題意，需要分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M，N分別在OA，AB上時(shí)，當(dāng)M，N分別在AB，OA上時(shí)，分別列出方程即可；

若以點(diǎn)P，O，A，C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則只需三角形OAC是等腰三角形，根據(jù)題意分三種情況：，，，分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，菱形的存在性等相關(guān)知識(shí)，解題過(guò)程中注意要分類討論，找到分類標(biāo)準(zhǔn)是解題關(guān)鍵．23.【答案】

【解析】概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，正方形的對(duì)角線相等且互相垂直，

一定是“中方四邊形”的是正方形；

故答案為：D；

問(wèn)題解決：證明：如圖2，設(shè)四邊形BCGE的邊BC、CG、GE、BE的中點(diǎn)分別為M、N、R、L，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，

四