安徽省宿州市埇橋區(qū)宿城一中城南學校2024-2025學年九年級上學期第一次月考數學試卷

2024-2025學年安徽省宿州市埇橋區(qū)宿城一中九年級（上）第一次月考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A. B.

C. D.2.下列命題中，正確的是(

)A.對角線相等的四邊形是矩形 B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3.關于x的一元二次方程的一個根為2，則b的值為(

)A. B.2 C.3 D.74.如圖，菱形ABCD對角線AC與BD交于點O，，，則菱形的面積為(

)A.48

B.96

C.24

D.65.關于x的一元二次方程根的情況是(

)A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根 D.只有一個實數根6.如圖，在矩形ABCD中，，對角線AC與BD相交于點O，于點E，當E為OB中點時，則AC的長為(

)

A. B.4 C. D.87.如圖，正方形OMNP的頂點O與正方形ABCD的對角線交點O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的邊長都是2，則圖中重疊部分的面積是(

)A.1

B.2

C.

D.

8.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年2月份售價為23萬元，4月份售價為萬元，設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，則所列方程正確的是(

)A. B.

C. D.9.用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是(

)A. B. C. D.10.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，，，H是AF的中點，那么CH的長是(

)A.

B.

C.

D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。11.一元二次方程的根為______.12.如圖，在矩形ABCD中，點P是線段BC上一動點，且，，E，F為垂足，，，則的值為______.

13.已知a，b是一元二次方程的兩個實數根，則的值為______.14.如圖1，點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點B，點F運動時，的面積隨時間的變化關系圖象如圖

______；

的值是______.三、解答題：本題共9小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題8分

解方程：16.本小題8分

已知：如圖，E，F是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，且求證：四邊形AECF是菱形

17.本小題8分

如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為問：當梯子的頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等？18.本小題8分

如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，，，連接

求證：

19.本小題10分

某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？20.本小題10分

如圖，在四邊形ABCD中，，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點．

求證：四邊形EGFH是菱形；

若，則當時，求四邊形EGFH的面積．21.本小題12分

社區(qū)利用一塊矩形空地ABCD建了一個小型停車場，其布局如圖所示，已知，，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路.已知鋪花磚的面積為求道路的寬是多少米？22.本小題12分

如圖，在中，，，點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒過點D作于點F，連接DE、

求證：；

四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．

當t為何值時，為直角三角形？請說明理由．23.本小題14分

【問題情境】

已知正方形ABCD，點E在CD的延長線上，以CE為一邊構造正方形CEFG，如圖1所示，則BE和DG的數量關系為______，位置關系為______.

【繼續(xù)探究】

若正方形ABCD的邊長為4，點E是AD邊上的一個動點，以CE為一邊在CE的右側作正方形CEFG，如圖2所示.

①請判斷線段DG與BE有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；

②連接BG，若，求線段BG長.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、當時，方程為是一元一次方程，該選項不合題意；

B、方程是一元二次方程，該選項符合題意；

C、方程的左邊不是整式，方程不是一元二次方程，該選項不合題意；

D、方程整理為，是一元一次方程，該選項不合題意；

故選：

據此即可判定求解．

本題考查了一元二次方程的定義，掌握只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關鍵．2.【答案】B

【解析】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項錯誤；

B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確；

C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項錯誤；

D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故本選項錯誤．

故選：

根據矩形、菱形、平行四邊形、正方形的判定方法逐一進行判定．

本題考查了矩形、菱形、平行四邊形、正方形的判定方法．熟練掌握特殊四邊形的判定方法是解決此類問題的關鍵．3.【答案】C

【解析】解：，

故選：

把代入方程中，求解即可．

本題考查一元二次方程的解，代入求值是關鍵．4.【答案】B

【解析】解：四邊形ABCD為菱形，且，，

故選：

根據菱形面積公式即可計算得出該菱形的面積．

此題主要考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半是解決問題的關鍵．5.【答案】A

【解析】解：在關于x的一元二次方程中，，，，

，

因為，所以，

所以關于x的一元二次方程根的情況是有兩個不相等的實數根．

故選：

先根據已知方程，求出根的判別式，然后根據判別式的正負，判斷方程根的情況即可．

本題考查了一元二次方程的根的判別式．熟練掌握利用一元二次方程根的判別式判斷方程解是解題的關鍵．6.【答案】D

【解析】解：四邊形ABCD是矩形，

，，，

，

，E為OB中點，

垂直平分OB，

，

，

故選：

由矩形的性質和線段垂直平分線的性質證出，得出，即可．

此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理；熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．7.【答案】A

【解析】解：設OP與AD交于點G，如圖所示：

四邊形ABCD和四邊形OMNP均為正方形，且邊長都是2，

，，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

正方形ABCD的邊長為2，

，

，

故選：

證明和全等得，進而得，然后再根據即可得出答案．

此題主要考察了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，理解正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．8.【答案】A

【解析】解：根據題意得：

故選：

利用該款燃油汽車今年4月份的售價=該款燃油汽車今年2月份的售價該款汽車這兩月售價的月平均降價率，即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9.【答案】B

【解析】解：，

，

，即，

故選：

先配方，再根據完全平方公式進行變形，即可得出選項．

本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．10.【答案】B

【解析】解：如圖，連接AC、CF，

正方形ABCD和正方形CEFG中，，，

，，

，

，

由勾股定理得，，

是AF的中點，

故選：

連接AC、CF，根據正方形性質求出AC、CF，，再求出，然后利用勾股定理求出AF，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，正方形的性質，勾股定理，熟記各性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．11.【答案】，

【解析】解：，

，

或，

，

故答案為：，

先移項，再利用提公因式法把方程左邊分解得到，則原方程化為或，然后解一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0，再把方程左邊分解為兩個一次式的乘積，這樣原方程轉化為兩個一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．12.【答案】

【解析】解：連接OP，如圖所示：

四邊形ABCD是矩形，

，，

在中，，，

由勾股定理得：，

，，

，

，，

，，

，

，

故答案為：

連接OP，根據矩形的性質及勾股定理得，，再根據三角形的面積公式得，，，然后根據即可得出的值．

此題主要了矩形的性質，理解矩形的性質，靈活運用勾股定理及三角形的面積公式進行計算是解決問題的關鍵．13.【答案】2

【解析】解：，b是一元二次方程的兩個實數根，

，，

，

故答案為：

直接根據一元二次方程根與系數的關系求解即可．

本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟記根與系數的關系是解題的關鍵．14.【答案】

【解析】解：過點D作交BC的延長線于點E，

由圖象可知，點F從點A到D用as，此時，的面積為

，

，

，

，

當點F從D到B時，用時，

，

中，，

四邊形ABCD是菱形，

，，

在中，，

解得

故答案為：5cm；

通過分析圖象，點F從點A到D用as，此時，的面積為，依此可求菱形的高DE，再由圖象可知，，應用兩次勾股定理分別求BE和

本題考查了動點函數圖象問題，掌握菱形性質，勾股定理是解題的關鍵．15.【答案】解：，

，，

，

【解析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．

本題考查了解一元二次方程的求解，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，難度適中．16.【答案】證明：如圖，連接AC交BD于點O，

四邊形ABCD是正方形，

，，，

，

，

，且，

四邊形AECF是平行四邊形，

又，

四邊形AECF是菱形.

【解析】由正方形的性質可得，，，可得，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形AECF是平行四邊形，再由，即可證四邊形AECF是菱形．

本題考查了正方形的性質，菱形的判定與性質．17.【答案】解：未滑動前梯子底端距墻的水平距離為，

設梯子頂端向下滑動xm，則梯子底端也滑動xm，

此時梯子的頂端距地面的垂直距離為，梯子的底端距墻面的垂直距離為，

可得方程：，

解得，舍去，

當梯子的頂端下滑2米時，梯子底端滑動的距離和它相等．

【解析】利用勾股定理算出未滑動前梯子底端距墻的水平距離，設梯子頂端向下滑動xm，則梯子底端也滑動xm，利用勾股定理列方程，即可解答．

本題考查了勾股定理，一元二次方程的應用，根據題意得到等量關系列方程是解題的關鍵．18.【答案】證明：，，

四邊形OCED是平行四邊形，

四邊形ABCD是菱形，

，

四邊形OCED是矩形，

，

，，

【解析】先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直求出，證明OCED是矩形，利用勾股定理即可求出

本題考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理的應用，是基礎題，熟記矩形的判定方法與菱形的性質是解題的關鍵．19.【答案】解：設襯衫的單價降了x元．

根據題意，得

，

解得：，

答：襯衫的單價降了15元．

【解析】設襯衫的單價降了x元．根據題意等量關系：降價后的銷量每件的利潤，根據等量關系列出方程即可．

此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．20.【答案】證明：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點，

，，，

，

四邊形EGFH是菱形．

解：四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點，

，

，

菱形EGFH是正方形．

，

正方形EGFH的面積

【解析】利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等，即可證得；

根據平行線的性質可以證得，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE的長，則正方形的面積可以求得．

本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位線定理是關鍵．21.【答案】解：設道路的寬為x米，根據題意結合平移的性質可得：

，

，

，

，

解得：舍去或，

答：道路的寬為6米．

【解析】設道路的寬為x米，利用平移的性質可得鋪花磚部分組成一個邊長為米，寬為米的矩形，再根據矩形的面積公式列出方程，解答檢驗即可．

本題考查的是一元二次方程的應用，掌握利用一元二次方程解決面積問題是解題的關鍵．22.【答案】解：證明：在中，，，，

又，

；

能；

理由如下：

，，

又，

四邊形AEFD為平行四邊形．

，，

，

，

若使能夠成為等邊三角形，

則平行四邊形AEFD為菱形，則，

，

；

即當時，為等邊三角形；

當