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文檔簡介
2024-2025學年安徽省宿州市埇橋區(qū)宿城一中九年級(上)第一次月考數學試卷一、選擇題:本題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(
)A. B.
C. D.2.下列命題中,正確的是(
)A.對角線相等的四邊形是矩形 B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3.關于x的一元二次方程的一個根為2,則b的值為(
)A. B.2 C.3 D.74.如圖,菱形ABCD對角線AC與BD交于點O,,,則菱形的面積為(
)A.48
B.96
C.24
D.65.關于x的一元二次方程根的情況是(
)A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根
C.沒有實數根 D.只有一個實數根6.如圖,在矩形ABCD中,,對角線AC與BD相交于點O,于點E,當E為OB中點時,則AC的長為(
)
A. B.4 C. D.87.如圖,正方形OMNP的頂點O與正方形ABCD的對角線交點O重合,正方形ABCD和正方形OMNP的邊長都是2,則圖中重疊部分的面積是(
)A.1
B.2
C.
D.
8.近年來,由于新能源汽車的崛起,燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑,經銷商紛紛開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年2月份售價為23萬元,4月份售價為萬元,設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x,則所列方程正確的是(
)A. B.
C. D.9.用配方法解一元二次方程,下列配方正確的是(
)A. B. C. D.10.如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,,,H是AF的中點,那么CH的長是(
)A.
B.
C.
D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。11.一元二次方程的根為______.12.如圖,在矩形ABCD中,點P是線段BC上一動點,且,,E,F為垂足,,,則的值為______.
13.已知a,b是一元二次方程的兩個實數根,則的值為______.14.如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā),沿以的速度勻速運動到點B,點F運動時,的面積隨時間的變化關系圖象如圖
______;
的值是______.三、解答題:本題共9小題,共90分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.本小題8分
解方程:16.本小題8分
已知:如圖,E,F是正方形ABCD的對角線BD上的兩點,且求證:四邊形AECF是菱形
17.本小題8分
如圖,一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為問:當梯子的頂端下滑幾米時,梯子底端滑動的距離和它相等?18.本小題8分
如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,,,連接
求證:
19.本小題10分
某商場銷售一批襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴大銷售,增加盈利,商場采取了降價措施.假設在一定范圍內,襯衫的單價每降1元,商場平均每天可多售出2件.如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元,那么襯衫的單價降了多少元?20.本小題10分
如圖,在四邊形ABCD中,,E、F分別是AD、BC的中點,G、H分別是對角線BD、AC的中點.
求證:四邊形EGFH是菱形;
若,則當時,求四邊形EGFH的面積.21.本小題12分
社區(qū)利用一塊矩形空地ABCD建了一個小型停車場,其布局如圖所示,已知,,陰影部分設計為停車位,要鋪花磚,其余部分均為寬度為x米的道路.已知鋪花磚的面積為求道路的寬是多少米?22.本小題12分
如圖,在中,,,點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒過點D作于點F,連接DE、
求證:;
四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應的t值;如果不能,說明理由.
當t為何值時,為直角三角形?請說明理由.23.本小題14分
【問題情境】
已知正方形ABCD,點E在CD的延長線上,以CE為一邊構造正方形CEFG,如圖1所示,則BE和DG的數量關系為______,位置關系為______.
【繼續(xù)探究】
若正方形ABCD的邊長為4,點E是AD邊上的一個動點,以CE為一邊在CE的右側作正方形CEFG,如圖2所示.
①請判斷線段DG與BE有怎樣的數量關系和位置關系,并說明理由;
②連接BG,若,求線段BG長.
答案和解析1.【答案】B
【解析】解:A、當時,方程為是一元一次方程,該選項不合題意;
B、方程是一元二次方程,該選項符合題意;
C、方程的左邊不是整式,方程不是一元二次方程,該選項不合題意;
D、方程整理為,是一元一次方程,該選項不合題意;
故選:
據此即可判定求解.
本題考查了一元二次方程的定義,掌握只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關鍵.2.【答案】B
【解析】解:A、對角線相等的平行四邊形是矩形,故本選項錯誤;
B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,正確;
C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形,故本選項錯誤;
D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形,故本選項錯誤.
故選:
根據矩形、菱形、平行四邊形、正方形的判定方法逐一進行判定.
本題考查了矩形、菱形、平行四邊形、正方形的判定方法.熟練掌握特殊四邊形的判定方法是解決此類問題的關鍵.3.【答案】C
【解析】解:,
故選:
把代入方程中,求解即可.
本題考查一元二次方程的解,代入求值是關鍵.4.【答案】B
【解析】解:四邊形ABCD為菱形,且,,
故選:
根據菱形面積公式即可計算得出該菱形的面積.
此題主要考查了菱形的性質,熟練掌握菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半是解決問題的關鍵.5.【答案】A
【解析】解:在關于x的一元二次方程中,,,,
,
因為,所以,
所以關于x的一元二次方程根的情況是有兩個不相等的實數根.
故選:
先根據已知方程,求出根的判別式,然后根據判別式的正負,判斷方程根的情況即可.
本題考查了一元二次方程的根的判別式.熟練掌握利用一元二次方程根的判別式判斷方程解是解題的關鍵.6.【答案】D
【解析】解:四邊形ABCD是矩形,
,,,
,
,E為OB中點,
垂直平分OB,
,
,
故選:
由矩形的性質和線段垂直平分線的性質證出,得出,即可.
此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理;熟練掌握矩形的性質,證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.7.【答案】A
【解析】解:設OP與AD交于點G,如圖所示:
四邊形ABCD和四邊形OMNP均為正方形,且邊長都是2,
,,,
,
,
在和中,
,
≌,
,
,
正方形ABCD的邊長為2,
,
,
故選:
證明和全等得,進而得,然后再根據即可得出答案.
此題主要考察了正方形的性質,全等三角形的判定和性質,理解正方形的性質,熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵.8.【答案】A
【解析】解:根據題意得:
故選:
利用該款燃油汽車今年4月份的售價=該款燃油汽車今年2月份的售價該款汽車這兩月售價的月平均降價率,即可列出關于x的一元二次方程,此題得解.
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準等量關系,正確列出一元二次方程是解題的關鍵.9.【答案】B
【解析】解:,
,
,即,
故選:
先配方,再根據完全平方公式進行變形,即可得出選項.
本題考查了解一元二次方程,能夠正確配方是解此題的關鍵.10.【答案】B
【解析】解:如圖,連接AC、CF,
正方形ABCD和正方形CEFG中,,,
,,
,
,
由勾股定理得,,
是AF的中點,
故選:
連接AC、CF,根據正方形性質求出AC、CF,,再求出,然后利用勾股定理求出AF,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.
本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質,正方形的性質,勾股定理,熟記各性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.11.【答案】,
【解析】解:,
,
或,
,
故答案為:,
先移項,再利用提公因式法把方程左邊分解得到,則原方程化為或,然后解一次方程即可.
本題考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程右邊變形為0,再把方程左邊分解為兩個一次式的乘積,這樣原方程轉化為兩個一元一次方程,然后解一次方程即可得到一元二次方程的解.12.【答案】
【解析】解:連接OP,如圖所示:
四邊形ABCD是矩形,
,,
在中,,,
由勾股定理得:,
,,
,
,,
,,
,
,
故答案為:
連接OP,根據矩形的性質及勾股定理得,,再根據三角形的面積公式得,,,然后根據即可得出的值.
此題主要了矩形的性質,理解矩形的性質,靈活運用勾股定理及三角形的面積公式進行計算是解決問題的關鍵.13.【答案】2
【解析】解:,b是一元二次方程的兩個實數根,
,,
,
故答案為:
直接根據一元二次方程根與系數的關系求解即可.
本題主要考查一元二次方程根與系數的關系,熟記根與系數的關系是解題的關鍵.14.【答案】
【解析】解:過點D作交BC的延長線于點E,
由圖象可知,點F從點A到D用as,此時,的面積為
,
,
,
,
當點F從D到B時,用時,
,
中,,
四邊形ABCD是菱形,
,,
在中,,
解得
故答案為:5cm;
通過分析圖象,點F從點A到D用as,此時,的面積為,依此可求菱形的高DE,再由圖象可知,,應用兩次勾股定理分別求BE和
本題考查了動點函數圖象問題,掌握菱形性質,勾股定理是解題的關鍵.15.【答案】解:,
,,
,
【解析】先分解因式,即可得出兩個一元一次方程,求出方程的解即可.
本題考查了解一元二次方程的求解,解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程,難度適中.16.【答案】證明:如圖,連接AC交BD于點O,
四邊形ABCD是正方形,
,,,
,
,
,且,
四邊形AECF是平行四邊形,
又,
四邊形AECF是菱形.
【解析】由正方形的性質可得,,,可得,由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形AECF是平行四邊形,再由,即可證四邊形AECF是菱形.
本題考查了正方形的性質,菱形的判定與性質.17.【答案】解:未滑動前梯子底端距墻的水平距離為,
設梯子頂端向下滑動xm,則梯子底端也滑動xm,
此時梯子的頂端距地面的垂直距離為,梯子的底端距墻面的垂直距離為,
可得方程:,
解得,舍去,
當梯子的頂端下滑2米時,梯子底端滑動的距離和它相等.
【解析】利用勾股定理算出未滑動前梯子底端距墻的水平距離,設梯子頂端向下滑動xm,則梯子底端也滑動xm,利用勾股定理列方程,即可解答.
本題考查了勾股定理,一元二次方程的應用,根據題意得到等量關系列方程是解題的關鍵.18.【答案】證明:,,
四邊形OCED是平行四邊形,
四邊形ABCD是菱形,
,
四邊形OCED是矩形,
,
,,
【解析】先求出四邊形OCED是平行四邊形,再根據菱形的對角線互相垂直求出,證明OCED是矩形,利用勾股定理即可求出
本題考查了菱形的性質,矩形的判定與性質,勾股定理的應用,是基礎題,熟記矩形的判定方法與菱形的性質是解題的關鍵.19.【答案】解:設襯衫的單價降了x元.
根據題意,得
,
解得:,
答:襯衫的單價降了15元.
【解析】設襯衫的單價降了x元.根據題意等量關系:降價后的銷量每件的利潤,根據等量關系列出方程即可.
此題主要考查了一元二次方程的應用,關鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關系,列出方程.20.【答案】證明:四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點,
,,,
,
四邊形EGFH是菱形.
解:四邊形ABCD中,G、F、H分別是BD、BC、AC的中點,
,
,
菱形EGFH是正方形.
,
正方形EGFH的面積
【解析】利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等,即可證得;
根據平行線的性質可以證得,得到菱形EGFH是正方形,利用三角形的中位線定理求得GE的長,則正方形的面積可以求得.
本題考查了三角形的中位線定理,菱形的判定以及正方形的判定,理解三角形的中位線定理是關鍵.21.【答案】解:設道路的寬為x米,根據題意結合平移的性質可得:
,
,
,
,
解得:舍去或,
答:道路的寬為6米.
【解析】設道路的寬為x米,利用平移的性質可得鋪花磚部分組成一個邊長為米,寬為米的矩形,再根據矩形的面積公式列出方程,解答檢驗即可.
本題考查的是一元二次方程的應用,掌握利用一元二次方程解決面積問題是解題的關鍵.22.【答案】解:證明:在中,,,,
又,
;
能;
理由如下:
,,
又,
四邊形AEFD為平行四邊形.
,,
,
,
若使能夠成為等邊三角形,
則平行四邊形AEFD為菱形,則,
,
;
即當時,為等邊三角形;
當
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