2021年初中數(shù)學(xué)中考考點(diǎn)19圖形的軸對(duì)稱平移與旋轉(zhuǎn)知識(shí)整合與考情考向分析

考點(diǎn)19圖形的軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)

考情分析

該板塊知識(shí)以考查平面幾何的三大變換的基本運(yùn)用為主.年年都有考查，分值在8-10分左右。預(yù)計(jì)2021年

各地中考還將繼續(xù)考查這些知識(shí)點(diǎn)，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結(jié)合出現(xiàn)。這三大變

換貫穿于初中所學(xué)的平面幾何之中，利用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱能解決三角形、四邊形、圓、二次函數(shù)、反比

例函數(shù)的性質(zhì)等問題，利用變換在解決問題時(shí)往往能起到化繁為簡的功效，激活思維，讓人茅塞頓開.

知識(shí)整合

一、軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱

軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱

?4

圖A

形

B\CRC\C

如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形

定后，直線兩旁的部分能夠完全重能夠完全重合，那么我們就說這兩

義合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)

形，這條直線叫做對(duì)稱軸稱軸

對(duì)應(yīng)線段AB=AE,BC=BC,

AB=AC

相等AC=ArC

性

對(duì)應(yīng)角相ZA=ZAr,

質(zhì)/B=/C

等-ZC=ZC

對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分

(1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀(1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)

區(qū)的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；系，必須涉及兩個(gè)圖形；

別(2)對(duì)稱軸不一定只有一條(2)只有一條對(duì)稱軸

(1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合；(1)沿對(duì)稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合；

關(guān)(2汝口果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成(2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在

系“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖一起，看成一個(gè)整體，那么它就是

形”就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱一個(gè)軸對(duì)稱圖形

1.常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.

2.折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

【注意】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾

何量相關(guān)的條件量.解決折疊問題時(shí)，首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析

角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時(shí)，常常采用分類

討論的數(shù)學(xué)思想方法.

3.作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟

1）過已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到

垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn).

4.作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟

I）作出圖形的關(guān)犍點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；

2）把這些對(duì)稱點(diǎn)順次連接起來，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱圖形.

二、圖形的平移

1.定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形由一個(gè)位置沿某個(gè)方向移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移.平移

不改變圖形的形狀和大小.

2.三大要素：一是平移的起點(diǎn)，二是平移的方向，三是平移的距離.

3.性質(zhì)：

1）平移前后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等；2）各對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行（或在同一條直線上）且相

等；3）平移前后的圖形全等.

4.作圖步驟：

1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）按平移方向和平移距離平移各

個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形.

三、圖形的旋轉(zhuǎn)

1.定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫

旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角.

2.三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

3.性質(zhì)：

1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

4.作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)：3）連接關(guān)鍵

點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

得到旋轉(zhuǎn)后的圖形.

【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)

旋轉(zhuǎn)的問題時(shí)，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起

著關(guān)鍵的作用.

四、中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱

中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱

B

圖

形

R'

定如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與

義它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中另一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)

心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心圖形叫做成中心對(duì)稱

點(diǎn)A與點(diǎn)4',點(diǎn)8與點(diǎn)夕，點(diǎn)C與

對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)C,點(diǎn)B與點(diǎn)O

點(diǎn)C

性AB=CD,

,,f

對(duì)應(yīng)線段AB=ABfBC=BC,AC=AC

質(zhì)AD=BC

ZA=ZC

對(duì)應(yīng)角ZA=ZA\NB=/BlZC=ZC

ZB=ZD

區(qū)中心對(duì)稱圖形是指具有某種特性的一個(gè)

中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系

別圖形

把成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)

聯(lián)把中心對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分看成“兩個(gè)

“整體”，則“整體”成為中心對(duì)

系圖形”，則這“兩個(gè)圖形”成中心對(duì)稱

稱圖形

常見的中心對(duì)稱圖形

平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等.

注意：圖形的“對(duì)稱”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化，是圖形運(yùn)動(dòng)及延伸的重要途徑，研究這些變換中的圖形的

“不變性”或“變化規(guī)律”.

考向分析

考向一軸對(duì)稱

軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言，它是指一個(gè)圖形所具有的對(duì)稱性質(zhì)，而軸對(duì)稱則是針對(duì)兩個(gè)圖形

而言的，它描述的是兩個(gè)圖形的一種位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后，其自身的一部分與另一部分

重合，而成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后，一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形重合.

聯(lián)系：把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體時(shí)，它就成了一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

典例講解

1.（2020?山東德州市?中考真題）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.D.【答案】B

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可.

【詳解】解：：A中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后不能與原圖形重合，...A中的圖象不是中心對(duì)稱圖形，A不正確;

???B中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后能與原圖形重合，，B中的圖形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，；.B正確;

?；C中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后能與原圖形重合，；.C中的圖形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，，C不正確;

???D中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后不能與原圖形重合，.?.D中的圖形不是中心對(duì)稱圖形，.二D不正確；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義是解

題的關(guān)鍵.

2.（2020?山西中考真題）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學(xué)防控知識(shí).下

面是科學(xué)防控知識(shí)的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）

打噴嚏捂口鼻噴嚏后慎揉眼勤洗手勤通風(fēng)戴口罩講衛(wèi)生

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形；B、不是軸對(duì)稱圖形；C、不是軸對(duì)稱圖形；D、是軸對(duì)稱圖形；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，如

果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

變式訓(xùn)練

1.（2020.四川綿陽市.中考真題）如圖是以正方形的邊長為直徑，在正方形內(nèi)畫半圓得到的圖形，則此圖形

的對(duì)稱軸有（）

A.2條B.4條C.6條D.8條

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可畫出對(duì)稱軸進(jìn)而可得此圖形的對(duì)稱軸的條數(shù).

【詳解】解：如圖,

因?yàn)橐哉叫蔚倪呴L為直徑，在正方形內(nèi)畫半圓得到的圖形，

所以此圖形的對(duì)稱軸有4條.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

2.(2020?青海中考真題)將一張四條邊都相等的四邊形紙片按下圖中①②的方式沿虛線依次對(duì)折后，再沿

圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)是()

A.<^Z>B.<^op>c.D.

【答案】A

【分析】對(duì)于此類問題，學(xué)生只要親自動(dòng)手操作，答案就會(huì)很直觀地呈現(xiàn).

【詳解】嚴(yán)格按照?qǐng)D中的順序，向右對(duì)折，向上對(duì)折，從斜邊處剪去一個(gè)直角三角形，從直角頂點(diǎn)處剪去

一個(gè)等腰直角三角形，展開后實(shí)際是從原菱形的四邊處各剪去一個(gè)直角三角形，從菱形的中心剪去一個(gè)和

菱形位置基本一致的正方形，得到結(jié)論.故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的動(dòng)手能力及空間想象能力.

考向二利用軸對(duì)稱求最值

對(duì)稱問題，包括折疊問題.三角形、四邊形、圓的軸對(duì)稱性問題;有關(guān)利用軸對(duì)稱性求最值問題;有關(guān)平面解析

幾何中圖形的軸對(duì)稱性問題.

典例講解

1.(2020?江蘇南京市?)如圖①，要在一條筆直的路邊/上建一個(gè)燃?xì)庹荆?同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別發(fā)

鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?，試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短.

(1)如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)A,線A8與直線/的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建氣站，

所得路線ACB是最短的，為了讓明點(diǎn)C的位置即為所求,不妨在I直線上另外任取一點(diǎn)C,連接AC,BC',

證明AC+CB<AC'+C'B,請(qǐng)完成這個(gè)證明.

(2)如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域請(qǐng)分別始出下列兩種情形

的鋪設(shè)管道的方案(不需說明理由)，

①生市保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)城，位置如圖③所示

②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.

【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析，②見解析

【分析】（1）連接AC,利用垂直平分線的性質(zhì)，得到A'C=C4,利用三角形的三邊關(guān)系，即可得到答案；

（2）由（1）可知，在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的路線最短.分別對(duì)①、②的道路進(jìn)行設(shè)計(jì)分析，即可

求出最短的路線圖.

【詳解】（1）證明：如圖，連接AC

，：點(diǎn)A、關(guān)于1對(duì)稱，點(diǎn)C在1上A'C=C4,ACA+CB=A'C+CB=A'B,

同理AC+C'B=A'C'+C'8,在AA'C'8中，A!B<A'C'+C'B：.AC+CB<AC'+CB；

（2）解：①在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是AC+CD+DB（如圖，其中D是正方形的頂點(diǎn)）.

②在點(diǎn)C處建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的最短路線是AC+CD+DE+EB（如圖，其中CD、BE都與圓相切）.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的應(yīng)用，最短路徑問題，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確

確定點(diǎn)C的位置，從而確定鋪設(shè)管道的最短路線.

2.（2020.河南中考真題）如圖，在扇形BOC中，NBOC=60。,。。平分N8OC交狐于點(diǎn)。.點(diǎn)E為

半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)若03=2,則陰影部分周長的最小值為.

【答案】2&+工.

3

【分析】如圖，先作扇形。CB關(guān)于OB對(duì)稱的扇形。A3,連接4）交于E，再分別求解AD,CD的長

即可得到答案.

【詳解】解：.??。陰影=CE+OE+C。,，C陰影最短，則CE+DE最短，

如圖，作扇形OCB關(guān)于。8對(duì)稱的扇形OAB,連接AD交OB于E，

則CE=4E,CE+OE=+OE=AO,此時(shí)七點(diǎn)滿足CE+OE最短，

ZCOB=ZAOB=60°,OD平分CB,；.4DOB=30°,ZDOA=90°,

iX'TT

1?,OB=OA=OD=2,；.A。=V22+22=2母，而CD的長為：=—,

lot）3

：?0陰影最短為+故答案為：2-$/2+—.

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用軸對(duì)稱求最短周長，同時(shí)考查了圓的基本性質(zhì)，扇形弧長的計(jì)算，勾股定理的

應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練

1.(2020?湖南永州市?中考真題)ZAOB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且NAO8=6()°,在NAO8

內(nèi)有一點(diǎn)P(4,3),M,N分別是。1,。8邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM,PN,MN,則APMN周長的最小值是

【答案】475

【分析】分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)打和鳥，連接<鳥，分別與OA和OB交于點(diǎn)M和N,

此時(shí)，<￡的長即為APMN周長的最小值.

【詳解】解：分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)耳和鳥，則鳥(4,-3),連接片外，分別與OA和

OB交于點(diǎn)M和N,此時(shí)，々鳥的長即為APMN周長的最小值.

由NA03=60°可得直線OA的表達(dá)式為y=2x,設(shè)R(x,y),由《鳥與直線OA垂直及《￡中點(diǎn)坐標(biāo)在

口2一卜二0n

直線OA上可得方程組：:“解得：\則《(0,5),

y+3-2小+4]y=5

.22

由兩點(diǎn)距離公式可得：々鳥=，(0—4)2+(5+3)2=4右即+FMN周長的最小值4蓬.故答案為4逐.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換中的最短路徑問題，解題關(guān)鍵在于找出兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，利用方程求出點(diǎn)4的

坐標(biāo).

2.(2020.天津中考真題)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)AC均落在格點(diǎn)上，

點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，且AB=|.(I)線段AC的長等于；(II)以8C為直徑的半圓與邊AC相

交于點(diǎn)。，若P,Q分別為邊ACBC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)5P+PQ取得最小值時(shí)，請(qǐng)用不刻度的直尺，在如圖所

示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)只Q,并簡要說明點(diǎn)P,。的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】后詳見解析

【分析】(1)將AC放在一個(gè)直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解；(2)取格點(diǎn)M,N,連接連接8。并

延長，與MN相交于點(diǎn)玄；連接B'C，與半圓相交于點(diǎn)E,連接8E,與AC相交于點(diǎn)尸，連接5'P并延長，

與8c相交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P,。即為所求.

【詳解】(I)如圖，在R3AEC中，CE=3,AE=2,則由勾股定理，AC=y]cE2+AE2=>/32+22=x/13;

(II)如圖，取格點(diǎn)〃，N,連接MN,連接8。并延長，與MN相交于點(diǎn)B';連接B'C,與半圓相交于點(diǎn)

E,連接BE,與AC相交于點(diǎn)P,連接并延長，與8c相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P，。即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理，軸對(duì)稱-最短問題，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

利用軸對(duì)稱，根據(jù)垂線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型.

考向三平移

1.平移后，對(duì)應(yīng)線段相等且平行，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或共線）且相等.

2.平移后，對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同.

3.平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等.

平移問題，包括直線（線段）的平移問題;曲線的平移問題;三角形的平移問題;四邊形的平移問題淇他曲面的平

移問題。

典例講解

1.（2020?內(nèi)蒙古赤峰市?中考真題）如圖，R/MBC中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,把放“BC沿直線

BC向右平移3個(gè)單位長度得到AAEC,則四邊形A8C4的面積是（）

A.15B.18C.20D.22

【答案】A

【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC邊的長度，四邊形ABCA的面積為平行四邊形ABBA

和直角三角形A，C，B，面積之和，分別求出平行四邊形ABB，A，和直角三角形的面積，即可得出答案.

【詳解】解：在RtZ\ACB中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,

由勾股定理可得：BC=A/AB2-AC2=A/52-32M，

n△A'C'B'是由RtAACB平移得來，A'C'=AC=3,B'C'=BC=4,S,=--

AArB2A'C'-B'C'=2-x3x4=6,

又?..BB'=3,A'C'=3,；.S四邊形ABBA'=BB'xA'C'=3x3=9,

S四邊形ABCA，-S四邊形ABB,A,+S.ACB，=9+6=15,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四邊形與直角三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于

判斷出所求面積為平行四邊形與直角三角形的面積之和，且掌握平行四邊形的面積為底X高.

2.（2020.遼寧阜新市?中考真題）如圖，把AASC沿AB邊平移到4G的位置，圖中所示的三角形的

面積耳與四邊形的面積S?之比為4：5,若A5=4,則此三角形移動(dòng)的距離AA1是.

4

【答案】-

3

【分析】根據(jù)題意可知△AiBDs^ABC,又根據(jù)已知條件“圖中所示的三角形的面積a與四邊形的面積邑之

比為4：5”可得以A3與1ABe的面積比為4：9,即得出A山：AB=2：3,已知A8=4，故可求AiB,最

終求出A4.

【詳解廠.?根據(jù)題意“把AABC沿AB邊平移到△ABC的位置”，；.AC〃AQ,故判斷出△AiBDsaABC,

?.?圖中所示的三角形的面積H與四邊形的面積S2之比為4:5,

S&|BD與S“BC的面積比為4：9,AA1B：AB=2:3,

8.484上―4

：AB=4，；.AiB=一，；.AA|=AB-AIB=4一—=一.故答案為一.

3333

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練

1.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?中考真題）如圖，在^ABC中，BC=3,將zVlBC平移5個(gè)單位長度得到aA山C,點(diǎn)

P、。分別是A8、AiG的中點(diǎn)，PQ的最小值等于.

7

【答案】一

2

【分析】取AC的中點(diǎn)M，A4的中點(diǎn)N,連接PM，MQ,NQ,PN,根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的

三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：取AC的中點(diǎn)A7,4片的中點(diǎn)N,連接PM，MQ,NQ,PN,

???將AABC平移5個(gè)單位長度得到^A4G，\8。=BC=3,PN=5,

1Q

???點(diǎn)p、。分別是AB、4G的中點(diǎn)，\NQ=5且G=5，

\5-94及PQ5+44,即7，PQ1a，PQ的最小值等于7一，故答案為：7

222222

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣東廣州市?中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為。,3）,點(diǎn)3在x軸上，把AQAB沿x軸向右平移到

AECD,若四邊形A8OC的面積為9,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【答案】（4,3）

【分析】過點(diǎn)A作AHLx軸于點(diǎn)H,得到AH=3,根據(jù)平移的性質(zhì)證明四邊形ABDC是平行四邊形，得到

AC=BD,根據(jù)平行四邊形的面積是9得到AH=9,求出BD即可得到答案.

【詳解】過點(diǎn)A作AHLx軸于點(diǎn)H,VA（1,3）,，AH=3,由平移得AB〃CD,AB=CD,

/.四邊形ABDC是平行四邊形，AC=BD,

'：BDAH=9,.*.BD=3,.*.AC=3,.,.C(4,3)故答案為：(4,3).

【點(diǎn)睛】此題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)

系.

考向四旋轉(zhuǎn)

通過旋轉(zhuǎn)，圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)

中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.在旋轉(zhuǎn)過

程中，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化.

旋轉(zhuǎn)問題，包括直線(線段)的旋轉(zhuǎn)問題;三角形的旋轉(zhuǎn)問題;四邊形的旋轉(zhuǎn)問題;其他圖形的旋轉(zhuǎn)問題.

典例講解

1.(2020?貴州黔西南布依族苗族自治州?中考真題)規(guī)定：在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的

角度a(0?！禴180。)后能與自身重合，那么就稱這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，轉(zhuǎn)動(dòng)的這個(gè)角度a稱為這個(gè)圖

形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角.例如：正方形繞著兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90?；?80。后，能與自身重合(如圖1),所

以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角.根據(jù)以上規(guī)定，回答問題：

(1)下列圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是；

A.矩形B.正五邊形C.菱形D.正六邊形

(2)下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是60度的有：(填序號(hào))；

(3)下列三個(gè)命題：①中心對(duì)稱圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；③圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖

形，其中真命題的個(gè)數(shù)有()個(gè)；

A.0B.1C.2D.3

(4)如圖2的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)角有45。，90。，135。，180。，將圖形補(bǔ)充完

整.

【答案】⑴B；(2)(1)(3)(5)；(3)C：(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷；(2)先分別求每一個(gè)圖形中的旋轉(zhuǎn)角，然后再進(jìn)行判斷；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷；(4)利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行設(shè)計(jì).

【詳解】解：(1)矩形、正五邊形、菱形、正六邊形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，但正五邊形不是中心對(duì)稱圖形，

故選：B.(2)是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是60度的有(1)(3)(5).故答案為：(1)(3)(5).(3)①中心

對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)180。一定會(huì)和本身重合，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；故命題①正確；

②等腰三角形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度a(0?！慈?80。)后，不一定能與自身重合，只有等邊三角形是旋

轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，故②不正確；

③圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度一定能與自身重合，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；故命題③正確;

即命題中①③正確，故選：C.（4）圖形如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

問題.

2.（2020?遼寧大連市?中考真題）如圖，AABC中，ZACB=90°,ZABC=40°.將AABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)得到"'BC，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C’恰好落在邊A3上，則NCAA'的度數(shù)是（）

A.50’B.70°c.110°D.120°

【答案】D

【分析】由余角的性質(zhì)，求出ZCAB=50°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到=40。,AB=AB，然后求出N84A，

即可得到答案.

【詳解】解：在AABC中，ZACB=90°,ZABC=40°,AZCAB=50°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則N/出4'=40。，AB^AB，AZBA4,=-x（180o-40°）=70°,

2

AZCAA'=ZCAB+ZBAA'=5（）°+70o=120°；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的性質(zhì)，

正確求出NB4A'=70°.

變式訓(xùn)練

1.（2020.四川中考真題）如圖，RsABC中，ZA=30°,ZABC=90°.將RsABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

得到△A'BC'.此時(shí)恰好點(diǎn)C在AC上，A'8交AC于點(diǎn)E,則“BE與NBC的面積之比為（）

1c1八23

A.—B.—C.-D.一

3234

【答案】D

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BC,ZACB=ZA'CB=f>0°,則△BCC是等邊三角形，ZCBC=60°,得出/

AF3

BE4=90。，設(shè)CE=a,則跖=6。，AE=3a,求出「；=—,可求出答案.

AC4

【詳解】VZA=30°,ZABC=90°,：.ZACB=60°,

?.?將RSA8C繞點(diǎn)8逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC,:.BC=BC,ZACB=ZA'CB=60°,

...△8CC是等邊三角形，AZCBC=60°,NA8A'=60。，AZBEA=90°,

r-CE1AE33

設(shè)CE=?,則8E=J^a,AE-3a,---=—,---=一，；.ZvlBE與AABC的面積之比為一.故選：D.

AE3AC44

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

2.（2020.內(nèi)蒙古赤峰市.中考真題）下列圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度都能與原圖形重合，其中旋轉(zhuǎn)角度最小

的是（）

A.等邊三角形B.平行四邊形//

C.正八邊形（二）D.圓及其一條弦

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義和各圖形的性質(zhì)找出各圖形的旋轉(zhuǎn)角，由此即可得.

【詳解】如圖1,等邊三角形的旋轉(zhuǎn)角為N1，是一個(gè)鈍角

如圖2,平行四邊形的旋轉(zhuǎn)角為180。，是一個(gè)平角如圖3,正八邊形的旋轉(zhuǎn)角為N2,是一個(gè)銳角

如圖4,圓及一條弦的旋轉(zhuǎn)角為360°由此可知，旋轉(zhuǎn)角度最小的是正八邊形故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義，正確找出各圖的旋轉(zhuǎn)角是解題關(guān)鍵.

考向五中心對(duì)稱

識(shí)別軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形：

①識(shí)別軸對(duì)稱圖形：軸對(duì)稱圖形是一類具有特殊形狀的圖形，若把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)稱，直線兩旁的

部分能完全重合，則稱該圖形為軸對(duì)稱圖形.這條直線為它的一條對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形有一條或幾條對(duì)稱

軸.②中心對(duì)稱圖形識(shí)別：看是否存在一點(diǎn)，把圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與原圖形重合.

典例講解

I.（2020.山東青島市.中考真題）下列四個(gè)圖形中，中心對(duì)稱圖形是（）

A.。?企€

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念結(jié)合各圖形的特點(diǎn)求解.

【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、是中心對(duì)稱圖形，符合題意.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.判斷中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)

180度后與原圖形重合.

2.（2020?浙江紹興市?中考真題）將如圖的七巧板的其中幾塊,拼成一個(gè)多邊形，為中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱的定義，結(jié)合所給圖形即可作出判斷.

【詳解】A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；。、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意.故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分能

夠完全重合.

變式訓(xùn)練

1.（2020.四川遂寧市.中考真題）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形

【答案】C

【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

A、是軸對(duì)稱圖形.不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合;

即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義.故錯(cuò)誤；

B、不是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，沿這條直線對(duì)折后它的兩部分能夠重合；即不滿足

軸對(duì)稱圖形的定義.是中心對(duì)稱圖形.故錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.故正確；

D、是軸對(duì)稱圖形.不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合;

即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義.故錯(cuò)誤.故選C.

點(diǎn)睛：此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川內(nèi)江市?中考真題）下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識(shí)，在這些汽車標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱圖

形的是（）

@c?

【答案】B

【解析】由中心對(duì)稱圖形的定義：“把一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，能夠與自身完全重合，這樣的圖形

叫做中心對(duì)稱圖形”分析可知，上述圖形中，A、C、D都不是中心對(duì)稱圖形，只有B是中心對(duì)稱圖形.

故選B.

考向六圖形設(shè)計(jì)及網(wǎng)格作圖

典例講解

1.（2020?浙江寧波市?中考真題）圖1,圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格圖中有

3個(gè)小等邊三角形已涂上陰影.請(qǐng)?jiān)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃?，分別按下列要求選取一個(gè)涂上陰影：

（1）使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)軸時(shí)稱圖形.

（2）使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形.（請(qǐng)將兩個(gè)小題依次作答在圖1,圖2中，均只需

畫出符合條件的一種情形）

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義畫出圖形構(gòu)成一個(gè)大的等邊三角形即可（答案不唯一）.（2）根據(jù)中心

對(duì)稱圖形的定義畫出圖形構(gòu)成一個(gè)平行四邊形即可（答案不唯一）.

【詳解】解：（1）軸對(duì)稱圖形如圖1所示.（2）中心對(duì)稱圖形如圖2所示.

【點(diǎn)睛】本題考查利用中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問題.

2.（2020?廣西中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1,3）,B（4,4