湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題 含解析

郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合解不等式求出取值范圍，再根據(jù)交集求公共部分求得結(jié)果.【詳解】集合，則，集合，則，∴，故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算求出，再求出其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A3.設(shè)，向量，，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用是否推出關(guān)系來判斷充要關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)時，向量，，此時有，所以，故是充分條件；當(dāng)時，，解得，故不是必要條件；所以是的充分不必要條件，故選：B.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】與分別平方相加，得到答案.【詳解】兩邊平方得①，又，故，兩邊平方得②，式子①+②得，，故，故.故選：C5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，并判斷在上函數(shù)值符號，即可得確定圖象.【詳解】由解析式，知的定義域為，，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，，，則，所以，在上，結(jié)合各項函數(shù)圖象，知：C選項滿足要求.故選：C6.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，需滿足每一段函數(shù)均單調(diào)遞減，且分段處左端點(diǎn)函數(shù)值大于等于右端點(diǎn)函數(shù)值，從而得到不等式，求出答案.【詳解】顯然在上單調(diào)遞減，要想在R上單調(diào)遞減，則，解得.故選：D7.已知正方體中，點(diǎn)、滿足，則平面截正方體形成的截面圖形為（）A.六邊形 B.五邊形C.四邊形 D.三角形【答案】B【解析】【分析】由題意，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，作出截面圖形可得結(jié)論.【詳解】如圖，因為點(diǎn)、滿足，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，連接交于，延長交于點(diǎn)，連接交于，連接，則五邊形為所求截面圖形.故選：B．8.已知，若有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由同構(gòu)的思想可知，若有兩個零點(diǎn)，則有兩個解，即有兩解，分離變量求導(dǎo)即可【詳解】解：由題意可知，若有兩個零點(diǎn)，則有兩個解，等價于有兩個解，令，原式等價于有兩個解，即有兩個大于零的解.解，可得，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以?x在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，?x圖像如圖：所以當(dāng)時，有兩個交點(diǎn)，即有兩個零點(diǎn).故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)兩個函數(shù)可以構(gòu)造成相同的形式時，常用同構(gòu)的思想，構(gòu)造函數(shù)，將兩個函數(shù)看成自變量不同時的同一函數(shù)，若函數(shù)有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為自變量有交點(diǎn)求解.二、多項選擇題（本題共3小題，每小6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量，則B.已知隨機(jī)變量，C.數(shù)據(jù)，，，，，，10的第百分位數(shù)是D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成總體樣本的方差為【答案】ABC【解析】【分析】利用二項分布的期望公式及期望性質(zhì)可判斷A，利用正態(tài)曲線的對稱性可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的求法可判斷C，利用兩組數(shù)據(jù)方差的特征可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，所以，故A正確；對于B，因為隨機(jī)變量，所以，故B正確；對于C，因為，所以數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，故C正確；對于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，則甲乙組成的總體樣本的方差為，故D不正確.故選：ABC.10.已知曲線，，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線表示兩條直線B.若，則曲線是橢圓C.若，則曲線是雙曲線D.若，則曲線的離心率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)的取值范圍，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意，曲線，，若，則，此時曲線，表示兩條直線，故A正確；若，又，則，曲線，可化為，當(dāng)時，則曲線表示圓，當(dāng)時，則曲線表示橢圓，故B錯誤；若，又，則，則曲線表示雙曲線，故C正確；若，又，所以，則曲線為，則曲線為等軸雙曲線，離心率為，故D正確.故選：ACD.11.在正三棱臺中，，，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（）A.正三棱臺的高為B.正三棱臺的體積為C.與平面所成角的正切值為1D.正三棱臺外接球的表面積為【答案】BCD【解析】【分析】將正棱臺補(bǔ)全為一個正棱錐，結(jié)合正棱臺、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求臺體的高、體積及側(cè)棱與底面夾角正切值，由確定棱臺外接球球心位置，建立等量關(guān)系求半徑，進(jìn)而求外接球表面積.【詳解】將正棱臺補(bǔ)全為一個正棱錐，如下圖示，其中分別為上下底面的中心，為的中點(diǎn)，易知，則為等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角，所以，而，則，根據(jù)棱臺上下底面相似，知，即，故，A錯；由，，所以，B對；由圖知：為與平面所成角，則，C對；若為正三棱臺外接球的球心，則其半徑，即，令，則，可得，所以，故外接球表面積為，D對.故選：BCD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知為等差數(shù)列的前項和，若，則______.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)以及基本量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，再用表示，借助于兩者之間的關(guān)系計算結(jié)果.【詳解】解：由數(shù)列前項和的性質(zhì)可知：，即，則.故答案為：13.從數(shù)字，，，中隨機(jī)取一個數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為，再從數(shù)字，…，中隨機(jī)取一個數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為的概率是______.【答案】【解析】【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.【詳解】記事件為“第一次取到數(shù)字”，，事件B為“第二次取到的數(shù)字為”，由題意知是兩兩互斥的事件，且（樣本空間），.故答案為：.14.已知拋物線，從拋物線內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出平行于軸的光線經(jīng)過扡物線上點(diǎn)反射后交拋物線于點(diǎn)，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式與拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求解即可.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，直線與軸的交點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)為，故與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，根據(jù)題意，畫出草圖，如下圖所示，令得，解得，又過焦點(diǎn)，所以方程為：，即，聯(lián)立，得，解得或，所以∴的邊上的高為，又，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，充分了解拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從而得解.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.若銳角中，、、所對的邊分別為、、，且的面積為（1）求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合三角形面積公式可得答案；（2）由題可得，后由正弦定理可得，后由正切函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】由余弦定理，，又三角形面積為，則，又由題，則；【小問2詳解】由（1），，又為銳角三角形，則.由正弦定理：.因在上單調(diào)遞增，則時，.則，即.16.如圖，在四面體中，，，，，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直判定定理可證平面，即可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計算，即可證明；（2）由二面角的向量求法，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因為，且，由余弦定理可得，即，即，所以，即，又，且，平面，所以平面，又，則，即，以為原點(diǎn)，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又M是的中點(diǎn)，則，是的中點(diǎn)，則，且，則，則，所以，因為平面，取為平面的一個法向量，且，因為，所以，則平面.【小問2詳解】由（1）可知，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，解得，取，則，則平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c則，解得，取，則，則平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，顯然為銳角，則.所以二面角的余弦值為.17.已知橢圓的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由離心率及最小距離求出即可.（2）按直線是否垂直于坐標(biāo)軸分類，求出，進(jìn)而表示出三角形面積，再借助二次函數(shù)求出范圍即可.【小問1詳解】依題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距為，由橢圓的離心率為，得，則，設(shè)，則，橢圓的左焦點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時，直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，由消去得，則，直線，同理，則的面積，令，，當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時，由對稱性，不妨令，，所以面積的取值范圍是.18.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）當(dāng)時，試討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)并討論參數(shù)a的范圍研究導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷單調(diào)性；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性判斷、的符號，排除，再在的情況下研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍；（ii）由（i）有，分析法將問題化為證明，進(jìn)而構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究其符號，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，且，當(dāng)時，在上，在上，在上，所以，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上，在上，在上，所以，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】（i）由，若時，，令且，則，所以時，時，故在上遞增，在上遞減，則，所以，結(jié)合（1）中的單調(diào)性，易知不可能出現(xiàn)兩個不相等的零點(diǎn)，又時，在上只有一個零點(diǎn)，不滿足，所以，此時，在上，在上，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又趨向于0或負(fù)無窮時，趨向正無窮，只需成立，顯然在上遞減，且當(dāng)時，所以，時恒成立，即所求范圍為；（ii）由（i），在時，存在兩個不相等零點(diǎn)，不妨令，要證，即證，而，由（i）知：在上單調(diào)遞增，只需證，由，則令，且，則，所以，在上，即在上遞增，所以，即成立，所以，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，首先利用第一問及其零點(diǎn)個數(shù)將參數(shù)范圍限定在，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究其最值求范圍，再令，將問題轉(zhuǎn)化為證是關(guān)鍵.19.已知數(shù)列是正整數(shù)的一個全排列，若對每個都有或，則稱為數(shù)列（1）列出所有數(shù)列的情形；（2）寫出一個滿足的數(shù)列的通項公式；（3）在數(shù)列中，記，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求證：或.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【解析】分析】（1）討論，由條件確定，由此確定，可得結(jié)論；（2）由（1）確定的前項，構(gòu)造數(shù)列滿足，證明此時滿足條件，由此確定；（3）由條件可得，，通過討論，證明結(jié)論.【小問1詳解】若，則或，當(dāng)，時，，，，此時為，當(dāng)，時，，，，此時為，同理可得可能為：或或或或或或或，【小問2詳解】若將記為的第一組數(shù)，構(gòu)造數(shù)列滿足，則對任意的，，或，當(dāng)時，符合要求，，.綜上所述：，同理可得若將記為的第一組數(shù)，則，，【小問3詳解】為等差數(shù)列.，且由或3，可得或，且，①若，則，，不符題意，②若，則，，不符題意，③若，則，當(dāng)時，，不符題意，當(dāng)時，或，所以可以找到這樣的使