《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)-答案解析

成績(jī):

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

形成性考核冊(cè)

專業(yè)：____________________________

學(xué)號(hào)：____________________________

姓名：____________________________

河北廣播電視大學(xué)開放教育學(xué)院

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高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)1：

第1章函數(shù)

第2章極限與連續(xù)

(-)單項(xiàng)選擇題

1?下列各函數(shù)對(duì)中，(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A./0)=(五)2,g(x)=xB./(x)=V?,g(x)=x

C./(x)=lnχ3,g(χ)=31nxD./(x)=x+l,g(x)=j——-

X-1

2.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-8,+00),則函數(shù)/(%)+/(-X)的圖形關(guān)于(C)對(duì)稱.

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.X軸

C.y軸D.y=x

3?下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B)?

A.y=ln(l+χ2)B.夕=尤COSX

ax+a~x1“、

C.y=-----------D.y=ln(l+x)

4?下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C)?

A.y=%+lB.y=-x

5.下列極限存計(jì)算不正確的是(D)?

A.Iim—------=1B.Iimln(l+x)=O

XT8廠+2Xfo

.sinx,.-C

C.1Iim-------=OD.IimXSIn-=O

X—>00XX—X?X

6.當(dāng)%→0時(shí)，變量(C)是無窮小量.

sinx1

A.B.

XX

C.xsin—D.ln(x+2)

7?若函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。滿足(A),則/(x)在點(diǎn)/連續(xù)。

A.Iimf(x)=/(x0)B./(x)在點(diǎn)Xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

XT%

1

c.Iimf(X)=/(/)D.Iimf(x)=Iim/(x)

*->*dX→ΛθΛ→Λ,θ

（二）填空題

1?函數(shù)/⑴=^——-+ln(l+%)的定義域是_{x11>3}

2.已知函數(shù)/&+1)=χ2+X,則/(x)=χ2-χ

3.1im(l+—)t=___________.

XfoO2x

1J2Λ×--

Iim(l+—尸=lim(l+—)2=e2

A→∞2Xχ→∞2X

4.若函數(shù)/(χ)=∣(l+x)*，x<°,在X=O處連續(xù)，則％=」.

x+Z,X≥0

x÷l,%>0L

5.函數(shù)y=1的間斷點(diǎn)是—X=O_________?

sinx,x≤0

6?若Iim/(x)=A,則當(dāng)K->/時(shí)，/(x)-4稱為_X→/時(shí)的無窮小量

(三)計(jì)算題

I.設(shè)函數(shù)

e%>O

/3=

X,X≤O

求：/(-2)J(O)J(1).

解：/(-2)=-2,“0)=0,/⑴=』=e

2?求函數(shù)y=1g-的定義域.

2r—1X

2χ-i'1

解：y=lg..........有意義，要求4解得1χ>—或X<0

X2

則定義域?yàn)椴稩x<O或X>g

3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上,

試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).

2

設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形Ac)E中，利用勾股定理得

AE=JoA2_。爐=JR2—〃2

則上底=2A￡=2正一*

故S=?∣?(2R+2正_/)=MR+JRL/)

“卡sin3x

4.求Iim--------.

1。sin2x

sin3xsin3x

研sin3x3133

解：Iim--------=lιm^z?---------=IIm1：X—=-x—=—

χ→oSin2xXToSIn2xXTOsin2x2122

----------X

2x----------------2x

χ2-l

5?求Iim—~—.

XTTsin(x+1)

如V/—1.(工―l)(x+l).x-l—1—1

解：Iim................=I1im.........-........-=Iim^————=..........=-2

ESin(X+1)…Sin(X+1)ESln(X+1)1

%+1

tan3x

6?求Iim--------.

tan3x「sin3x1「sin3x1-,

解：Iim--------=Iim--------?--------=Iim--------X-----------×3=l×-×3=3

0

*→oXx→oXCoS3%χ→3%COS3x1

Jl+N-1

7.求Iim--------------.

soSinX

.Jl+爐-1(Jl+■-D(Jl+尢2+])f

.Iim---------------=Iim---------y--------------------------=Iim—,---------------------

XTosinX1°(Jl+尤2+1)Sin尤xf°(√l+x2+l)sinx

=Iim---------------------=------------=

5M+√+i)≡∑(ι+ι)χ∣

8.求lim()，

is%+3

(I-與[(I+—)-']-'-1

解：lim(二)jc=lim(—?)、=Iim-----^—=Iim------—--------=—=e~4

a00x+3%→∞

<1+-)[(l+y)3]3

3

3

?,,,.x~—6尤+8

9.求hm—----------

χf4χ--5x+4

解：lim?6x÷8^im(X14)(X22)=i.m^-2=4-2=2

v→4X2-5x+4x→4(x-4)(x-l)χ→4工一14-13

10?設(shè)函數(shù)

(X-2)2,X>1

/(x)=<%,-1≤%≤1

x+1,X<-1

討論/(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.

解：分別對(duì)分段點(diǎn)x=-l,x=l處討論連續(xù)性

(1)

HmJ(X)=^mx=-I

Iimn/(x)=Iim(x÷l)=-l+l=O

I—.V—>—1—

所以Iim/(x)≠Iim/(%),即/(x)在X=-I處不連續(xù)

(2)

KSf(X)=獨(dú)(x-2)2=(l-2)2=1

Iim/(x)=Iimx=I

“1)=1

所以Iim/(x)=lim∕(x)=∕(l)即/(%)在X=I處連續(xù)

由(1)(2)得/(x)在除點(diǎn)X=-I外均連續(xù)

故/(x)的連續(xù)區(qū)間為(-8,-1)U(T,÷∞)

4

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2：

第3章導(dǎo)數(shù)與微分

（一）單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/（0）=O且極限Iim存在，則iim2M=（C）.

.v→0XΛ→0X

A./(0)B./'(0)

C./(X)D.0Cvx

2?設(shè)AX）在X?？蓪?dǎo)，則Na22—）.

=(D)

,

A.-2∕(x0)B./'(/)

C.2∕'(x°)D.-尸(XO)

3.設(shè)/(χ)=e"則Iim川+』')—'⑴=(A).

CB2e

AC.11

-e-e

2D.4

4.設(shè)WX-I）Q：-2）…（X-99）,則/'（0）=（D）.

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中正確的是（C）.

A.若/（x）在點(diǎn)與有極限，則在點(diǎn)XO可導(dǎo).

B.若/（X）在點(diǎn)X。連續(xù)，則在點(diǎn)與可導(dǎo).

C.若/（x）在點(diǎn)/可導(dǎo)，則在點(diǎn)與有極限?

D.若/（x）在點(diǎn)兒有極限，則在點(diǎn)XO連續(xù).

（二）填空題

L設(shè)函數(shù)/（x）=<*sin7,*"°，則/（O）=0

0,X=O

2.設(shè)y（eA）=e2x+5et,則廿、尤）='InX+二.

dxXX

3.曲線/（尤）=五+1在（1,2）處的切線斜率是k=L

5

4.曲線/（χ）=SinX在（女，1）處的切線方程是y=*X=注（I-代）

4224

5?設(shè)y=Y)則V=2/%1+Inχ)

6?設(shè)y=xlnX,貝∣Jy"=—

X

（三）計(jì)算題

1?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)V：

-31

(1)y=(xVx+3)e"y'=(%2+3)∕+]χ2/

(2)y=cotx+X2InXy,=-esc2x+x÷2xlnx

2xlnx+x

(3)y=---y

InxIn2X

cosx+2'x(-SinX+2"In2)-3(cosx+2v)

⑷y

Inx-x2SinM---2x)-(InX-X)cosx

⑸y=y

sinxsin2X

,d3SinX

(6)y=X4-sinxlnXy=4X--------CoSXl1nX

SinX+/3Λ(COSX+2x)-(sinx+x2)3vIn3

⑺y=---------y=----------------∑...............

3、32A'

⑻y=evtanx+In%y'=eλtanX+-------+—

cosXX

2?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'：

⑴y=e"

⑵y=Incosx3

3

,-sinxo2O2,3

y=-----—3x=-3XtanX

CoSX

(3)y=

6

N7二

y=χ8y,=—χ8

8

(4)y=?∣x+y[x

11-1-

V=g(x+χ2)3(l+尸)

(5)y=cos2e*

y'=-e'Sin(2e*)

2

⑹y=cose'

y'=-2xexSineN

(7)y=sin"xcosnx

y,="sin'iXCOSXCoS〃X-〃sin〃xsin(〃X)

(8)y=5SinX*

V=2xln5cosχ25sinχ2

⑼y=es"x

V=Sin2xesin2χ

⑩y=x+e

2.2

y'=XΛ(x+2xlnx)+2xex

(IDy^=X-1-e

y'=x"(―——F-exInX)+ee'ex

X

3.在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求

⑴ycosx=e2v

y'cosx-ysinx=2e2yy'

7

,—ysinx

)COSX-2e"

(2)y=Cosylnx

y,=Siny?)/In%+cosy」

CoSy

X(I+sinyinx)

2

(3)2xsiny=——

2xcosy.y'+2siny=2?X，‘y<2%cosy+-)=^^-2siny

,2Λ^-2ysiny

y=--------------------

2xy~cosy+x2

⑷y=尤+lny

y+ι

⑸InX+ev=y2

-+eyy'^2yy'

x(2y-ey)

⑹y?+1=e"siny

2yy,=e*cosy.y,+siny.ex

,exsiny

y=...........-..........

2y-e*CoSy

(7)ev=ev-V

8

eyy'=e'-3γ2y,

⑻y=5*+2>'

y'=5*ln5+y'2'1∏2

,5ΛI(xiàn)n5

y=

1-2yIn2

4.求下列函數(shù)的微分dy：

⑴y=cotx+cscx

-1CoSX

dy=(—2.....士一)辦

cos%sinX

sinx

-Sinx-Inxcosx

辦、J^—公

(3)y=arcsin

(4)y=*

V1+x

兩邊對(duì)數(shù)得：lny=∣[ln(l-Λ)-ln(l+x)]

X=L^-----—)

y3I-X1+x

⑸y=SinZ"

9

辦=2Sinexexexdx=sin(2e')C

(6)y=tanev

dy=sec2ex3xd=3//sec2xdx

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：

(Dy=XlnX

V=I=InX

"I

y=-

(2)y=χsinx

yf=XCOSX+sinx

yrt=-XSinX+2CoSX

(3)y=arctanx

y=T7√

_2x

y--(1+4)2

⑷y=3’

222

y'=2x3"ln3∕=4X23XIn23+21n3?3r

(四)證明題

設(shè)/(X)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證/'(X)是偶函數(shù).

證：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)所以/(-X)=-/(%)

兩邊導(dǎo)數(shù)得：∕,(-x)(-l)=-∕,(%)nf'(-χ)=/(X)

所以/'(X)是偶函數(shù)。

10

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)3：

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(-)單項(xiàng)選擇題

L若函數(shù)/(X)滿足條件(D),則存在ξe(a,b),使得/'C)=/3)-"")

b-a

A.在(α,與內(nèi)連續(xù)B.在(a,加內(nèi)可導(dǎo)

C.在(4,加內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在［a,"］內(nèi)連續(xù),在(a,")內(nèi)可導(dǎo)

2?函數(shù)/a)=/+4Χ一1的單調(diào)增加區(qū)間是(D)?

A.(—8,2)B.(-1,1)

C.(2,+oo)D.(-2,÷∞)

3?函數(shù)y=/+4χ-5在區(qū)間(一6,6)內(nèi)滿足(A).

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降

C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

4?函數(shù)/(x)滿足/'(X)=0的點(diǎn),一定是了(x)的(C).

A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)

5.設(shè)/(X)在(a,份內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，Xoe(a,6),若/(x)滿足(C),則/(x)在/取到極小

值.

A.((Xo)>0,/"(Xo)=OB.f'(%)<0,Ir(Xo)=O

C.C(Xo)=O，〃(％)>0D.Γ(x0)=o,Γ(?)<o

6.設(shè)/(χ)在(a,份內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且/'(x)<0J"(x)<0,則/(x)在此區(qū)間內(nèi)是(A).

A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的

C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的

(-)填空題

1.設(shè)/(x)在(a,。)內(nèi)可導(dǎo),x0∈(a,?),且當(dāng)x<X(,時(shí)r(x)<0,當(dāng)x>/時(shí)/'(x)>0,則x°是

/(%)的極小值點(diǎn).

2?若函數(shù)/(x)在點(diǎn)Xo可導(dǎo)，且XO是/(x)的極值點(diǎn)，則/'(??)=-Q________?

3.函數(shù)y=ln(l+/)的單調(diào)減少區(qū)間是(-8,0).

4.函數(shù)/(x)=e-的單調(diào)增加區(qū)間是(O,+oo)

5.若函數(shù)/(X)在［α,切內(nèi)恒有Ir(X)<O,則/(x)在［a,旬上的最大值是/(a).

6.函數(shù)/(x)=2+5x-3∕的拐點(diǎn)是χ=o.

(三)計(jì)算題

1?求函數(shù)y=(x+l)(x-5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.

令V=(X+1)2(X+5)2=2(X-5)(x—2)

=駐點(diǎn)X=2,x=5

列表：X2(2,5)5

(-∞,2)(5,+∞)

+極大極小+

y

極大值：/(2)=27

y上升27下降O上升

極小值：/(5)=0

2?求函數(shù)y=X2-2X+3在區(qū)間［0,3］內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.

令：/=2x-2=OnX=1(駐點(diǎn)，

/(0)=3/⑶=6AI)=2

=＞最大值/⑶=6

n最小值/(1)=2

3.試確定函數(shù)y=0√+次2+B+d中的α,zj,c,d,使函數(shù)圖形過點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,一10),且

x=-2是駐點(diǎn)，x=l是拐點(diǎn).

44=-8〃+4∕?-2Λ+Ja=1

-10=a+b+c=db=-3

解：1

O=12α-4Z?+Cc=16

0=6α+2bd=-24

4?求曲線V=2尤上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.

12

解：設(shè)p(x,y)是V=2x上的點(diǎn)，d為P到A點(diǎn)的距離，則：

d=J(X—2)2+y2=J(X—2)2+2x

人/2(%—2)+2X-I八

令d=—/==.==O=>x=1l

2J(X—2)~+2xJ(x—2)~+2x

Ay2=2x上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。

5?圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為￡,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？

設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積

K=τιR~h=乃(V—/M

令.?V'=π[h(-2h)+Lr-h2]=π[[}-3h2]=0nL=?h=∣L

R=^L當(dāng)/?=冬R=&時(shí)其體積最大。

6.—體積為I/的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最?。?/p>

設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積

成表成力+成上+成

V=2〃SMJ=222=222

衣UllR

nE="』"=?V

令.?S'=-2VR<+4戒=0

2萬?2?

答：當(dāng)R=??—時(shí)表面積最大。

7.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法用料最省？

解：設(shè)底連長(zhǎng)為X,高為h。貝1J:

,62.5

62.5=x'h=>〃=——

X

25()

側(cè)面積為：S=?√+4xA=√+-

nd=125nx=5

答：當(dāng)?shù)走B長(zhǎng)為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。

(四)證明題

1.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式x>ln(l+x).

13

證：由中值定理得：皿I型)=皿ι+^二Inl=-L<1(?.?g>o)

X(1+x)-11+J

n“"+')<1nX>ln(l+x)(當(dāng)%>0f?)

2.當(dāng)χ>0時(shí)，證明不等式e">x+l.

??∕(x)=e*-(x+l)

尸(X)=e*-1>0(當(dāng)％>OBjJn當(dāng)％>00寸/(x)單調(diào)上升且/(0)=0

.,./(x)>0,即e">(x+1)證畢

14

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)4：

第5章不定積分

第6章定積分及其應(yīng)用

(-)單項(xiàng)選擇題

1?若/(x)的一個(gè)原函數(shù)是則/?'(x)=(D).

X

II」12

A.1∏AJB.-----—C.—D.——

XXX

2.下列等式成立的是(D).

AJr(X)dx=/(x)B.J"(x)=∕(x)C.d∫/(x)dx=/(%)D.^∫∕(x)dΛ=/(%)

3?若/(x)=CoSx,則∫/'(x)dx=(B).

A.SinX+cB.COSX+cC.-SinX+cD.-cosx+c

4.—[x2∕(x3)dx=(B).

drj

A./(x3)B.//(尤3)c.∣∕(x)D.∣∕(%3)

5.若J7(χ)<k=尸(X)+c,則(B)?

A.F(Vx)+cB.2F(Vx)+cC.F(2五)+cD.F(√x)+c

6.由區(qū)間3,切上的兩條光滑曲線y=/(x)和y=g(x)以及兩條直線x=a和x=6所圍成的平面區(qū)

域的面積是(C).

A.∫Lf(X)-g(x)]dxB.