胡不歸模型(含答案-已印)

“胡不歸”模型（2019?南通）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PD的最小值等于[思路解析]過點(diǎn)P作PE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，有銳角三角函數(shù)可得EP=PD，即PB+PD=PB+PE，則當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E三點(diǎn)共線且BE⊥AD時(shí)，PB+PE有最小值，即最小值為BE．[考點(diǎn)提煉]胡不歸問題，在初中數(shù)學(xué)里考的不多，分值一般在3分左右，這類問題對(duì)大多數(shù)同學(xué)來說，尤其是平時(shí)復(fù)習(xí)中接觸較少，沒有歸納過的同學(xué)，還是有一定難度的。什么是胡不歸？老師幫大家再回顧一下。從前，有一個(gè)姓胡的小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況。當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”。這個(gè)古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問題”，一直到十七世紀(jì)中葉，才由法國著名科學(xué)家費(fèi)馬爾揭開了它的面紗?！昂粴w”模型如圖，已知D為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，∠BAC=30°，AC=，當(dāng)AD=時(shí)，AD+2CD取最小值為.[解析]如圖所示，過點(diǎn)A作∠BAE=30°，過點(diǎn)D作DG⊥AE在Rt△ADG中，AD=2DG，∴AD+2CD=2DG+2CD=2（DG+CD）過點(diǎn)C作CH⊥AE，∵CD+DG≥CH，∴AD+2CD的最小值為2CH.在Rt△ACH中，CH=AC·sin60°=3，AH=AC·cos60°=√3在Rt△AD’H中，AD’=AHcos∴當(dāng)AD=2時(shí)，AD+2CD的最小值為6.[反思]“胡不歸”模型是形如“m·AD+n·CD”的“兩定一動(dòng)型”最值問題，其中A、C是定點(diǎn)，D是動(dòng)點(diǎn)，m、n均為正的常數(shù)；解決的關(guān)鍵是“兩次系數(shù)化為1”：①若m、n均不為1，則提取較大系數(shù)，將其中一個(gè)系數(shù)先化為1,；②借助特殊角的三角函數(shù)值，構(gòu)造一銳角，將另一個(gè)系數(shù)化為1，從而達(dá)到等線段轉(zhuǎn)化的目的.最后利用“垂線段最短”即可解決問題.[舉一反三]1、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，BC=6，∠ABC=150°，則PA+PB+PD的最小值為.解：如圖所示，過點(diǎn)A作∠CAE=15°，過點(diǎn)P作PH⊥AE，過點(diǎn)D作DG⊥AE.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=150°，∴∠DAB=30°，又∵∠BAC=∠DAB=15°，∴∠CAE=∠BAC+∠CAE=30°，∠DAE=45°，∴PH=PA，又PB=PD，∴PA+PB+PD=2PH+2PD=2（PH+PD）∴當(dāng)D、P、H三點(diǎn)在同一直線且垂直于AE時(shí)，PA+PB+PD可取得最小值.即PA+PB+PD的最小值2PG=2AD·sin45°=2×6×=6.2、如圖，拋物線y=ax2-2ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，-2），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

（2）連接AC，E為直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△AOC∽△AEB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和的值．

（3）點(diǎn)F（0，y）是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)y為何值時(shí)，F(xiàn)C+BF的值最小．并求出這個(gè)最小值．

解：（1）拋物線解析式為：y=x2-x-2；由題，∠AOC=90°，AC=，AB=4，設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，則，解得∴直線AC的解析式為：y=-2x-2；

當(dāng)△AOC∽△AEB時(shí)===∵=1∴∴∴E（）由△AOC∽△AEB得:∴如圖2，連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AC于G，則FG=CFsin∠FCG=CF，

∴CF+BF=GF+BF≥BE，

當(dāng)折線段BFG與BE重合時(shí)，取得最小值，

由（2）可知∠ABE=∠ACO

∴BE=ABcos∠ABE=ABcos∠ACO=4×=，

|y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×=，

∴當(dāng)y=-時(shí)，即點(diǎn)F（0，-），CF+BF有最小值為.3、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．

（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由．（1）直線y=-5x+5，x=0時(shí)，y=5

∴C（0，5）

y=-5x+5=0時(shí)，解得：x=1

∴A（1，0）

∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)∴拋物線解析式為y=x2-6x+5

當(dāng)y=x2-6x+5=0時(shí)，解得：x1=1，x2=5

∴B（5，0）（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H

∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）

∴AB=5-1=4，OC=5

∴S△ABC=AB?OC=×4×5=10

∵點(diǎn)M為x軸下方拋物線上的點(diǎn)

∴設(shè)M（m，m2-6m+5）（1＜m＜5）

∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5

∴S△ABM=AB?MH=×4（-m2+6m-5）=-2m2+12m-10=-2（m-3）2+8

∴S四邊形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[-2（m-3）2+8]=-2（m-3）2+18

∴當(dāng)m=3，即M（3，-4）時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18如圖2，在x軸上取點(diǎn)D（4，0