高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)專(zhuān)題6.3平面向量的應(yīng)用專(zhuān)題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專(zhuān)題6.3平面向量的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·重慶九龍坡區(qū)·高三二模）已知等邊的邊長(zhǎng)為為它所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（）A． B．7 C．5 D．2．（2021·浙江高一期末）在中，，則（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．3．【多選題】（2021·浙江高一期末）已知中，角的對(duì)邊分別為為邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項(xiàng)是（）A． B．為銳角三角形C． D．4．【多選題】（2021·麻城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）已知點(diǎn)為外接圓的圓心，，，則（）A． B．C． D．5．（2021·河北高一期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.類(lèi)比趙爽弦圖，由3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊，若的邊長(zhǎng)為﹐且，則的面積為_(kāi)__________.6．（2021·蘇州市第三中學(xué)校高一期中）在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是_________．7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐標(biāo)系中，非零向量，在圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夾角為，且平面向量滿(mǎn)足記為（）的最小值，則的最大值是__________．9．（2021·江蘇蘇州市·高一月考）我們知道，“有了運(yùn)算，向量的力量無(wú)限”.實(shí)際上，通過(guò)向量運(yùn)算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡(jiǎn)便多了.下面請(qǐng)用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點(diǎn)”.已知，，是的三條高，求證：，，相交于一點(diǎn).10．（2021·浙江高一期末）甲船在靜水中的速度為40海里/小時(shí)，當(dāng)甲船在點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得海面上乙船擱淺在其南偏東方向的點(diǎn)P處，甲船繼續(xù)向北航行0.5小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得乙船P在其南偏東方向，（1）假設(shè)水流速度為0，畫(huà)出兩船的位置圖，標(biāo)出相應(yīng)角度并求出點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離．（2）若水流的速度為10海里/小時(shí)，方向向正東方向，甲船保持40海里/小時(shí)的靜水速度不變，從點(diǎn)B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．2．（2021·寧夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則角B的值為_(kāi)_______；若a＋c＝6，則AC邊的中線(xiàn)的最小值為_(kāi)_______．3．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，則角=__________；設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的取值范圍是__________.4．（2021·浙江高一期末）在中，，G為其重心，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，且與射線(xiàn)、分別交于D、E兩點(diǎn)，記和的面積分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為_(kāi)_____．5．（2021·上海普陀區(qū)·高三二模）如圖，在△中，，，．若為△內(nèi)部的點(diǎn)且滿(mǎn)足，則________．6．（2021·浙江高三其他模擬）已知單位向量，與非零向量滿(mǎn)足，，則的最大值是______.7．（2021·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三三模）已知邊長(zhǎng)為2的正方形邊上有兩點(diǎn)P?Q，滿(mǎn)足，設(shè)O是正方形的中心，則的取值范圍是___________.8．（2021·浙江嘉興市·高三其他模擬）已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B滿(mǎn)足，若時(shí)，的最小值為，則___________.9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足，若角的角平分線(xiàn)交邊于點(diǎn)，且，，求：（1）求的值；（2）求邊的值．10．（2021·山東泰安市·高一月考）三角形ABC中，，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，（1）求和;（2）是延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A． B． C． D．2．（2020·全國(guó)高考真題（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A． B．2 C．4 D．83.（2021·全國(guó)高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿(mǎn)足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．4734．（2021·全國(guó)高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線(xiàn)上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，稱(chēng)為“表距”，和都稱(chēng)為“表目距”，與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距5.（2021·全國(guó)高考真題（理））已知是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.專(zhuān)題6.3平面向量的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·重慶九龍坡區(qū)·高三二模）已知等邊的邊長(zhǎng)為為它所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（）A． B．7 C．5 D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)到，則有，從而將轉(zhuǎn)化為，而，所以結(jié)合圖形可得答案【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)到，使，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)榈冗叺倪呴L(zhǎng)為，所以，要使取得最大值，則與共線(xiàn)且同向，所以的最大值為，故選：B2．（2021·浙江高一期末）在中，，則（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．【答案】D【解析】利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【詳解】由題意，在中，，利用向量的數(shù)量積的定義可知，即即，即，設(shè)，解得，所以，所以由正弦定理可得.故選:D.3．【多選題】（2021·浙江高一期末）已知中，角的對(duì)邊分別為為邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項(xiàng)是（）A． B．為銳角三角形C． D．【答案】ACD【解析】畫(huà)出圖形，利用向量的數(shù)量積公式，三角形中余弦定理及向量的運(yùn)算法則對(duì)各命題進(jìn)行判斷，看出每一個(gè)命題的正誤【詳解】解：，所以，故A正確；若，則為銳角，無(wú)法得到其他角的關(guān)系，故無(wú)法判斷的形狀，故B錯(cuò)誤；而，故C正確由余弦定理有故有，故D正確故選：ACD．4．【多選題】（2021·麻城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）已知點(diǎn)為外接圓的圓心，，，則（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】根據(jù)垂徑定理先求出，再求即可.【詳解】令，則，所以（舍）或，所以，所以.故選：BD.5．（2021·河北高一期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.類(lèi)比趙爽弦圖，由3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊，若的邊長(zhǎng)為﹐且，則的面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】先根據(jù)圖形的構(gòu)成判斷出，利用余弦定理解出AF，利用面積公式即可求出的面積.【詳解】因?yàn)?，所?設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，解得，所以.故答案為：.6．（2021·蘇州市第三中學(xué)校高一期中）在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是_________．【答案】【解析】取，，作，由平行四邊形法則可得點(diǎn)軌跡，確定所求最大值為；利用平面向量數(shù)量積的定義和余弦定理可求得所需邊長(zhǎng)，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】取，，作，為內(nèi)（包含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)且，根據(jù)平行四邊形法則可知：點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，.在中，，，，，，即的最大值為.故答案為：.7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐標(biāo)系中，非零向量，在圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由條件得，代入坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算，得到，從而求得范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由條件可知，，設(shè)向量與的夾角為，由得，即，因?yàn)槭欠橇阆蛄浚?，于是，因?yàn)椋?，所以的取值范圍是．故答案為?．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夾角為，且平面向量滿(mǎn)足記為（）的最小值，則的最大值是__________．【答案】【解析】將條件轉(zhuǎn)化，然后用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，，，則，，依題意可知，，，，故點(diǎn)在△的外接圓上.其半徑，為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，顯然，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，有最大值.故答案為：.9．（2021·江蘇蘇州市·高一月考）我們知道，“有了運(yùn)算，向量的力量無(wú)限”.實(shí)際上，通過(guò)向量運(yùn)算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡(jiǎn)便多了.下面請(qǐng)用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點(diǎn)”.已知，，是的三條高，求證：，，相交于一點(diǎn).【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】結(jié)合向量的數(shù)量積即可證明.【詳解】如圖，設(shè)，則，①-②得：，即故，即，又所以，，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，，相較于一點(diǎn).10．（2021·浙江高一期末）甲船在靜水中的速度為40海里/小時(shí)，當(dāng)甲船在點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得海面上乙船擱淺在其南偏東方向的點(diǎn)P處，甲船繼續(xù)向北航行0.5小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得乙船P在其南偏東方向，（1）假設(shè)水流速度為0，畫(huà)出兩船的位置圖，標(biāo)出相應(yīng)角度并求出點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離．（2）若水流的速度為10海里/小時(shí)，方向向正東方向，甲船保持40海里/小時(shí)的靜水速度不變，從點(diǎn)B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值．【答案】（1）點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離為海里，（2）.【解析】（1）畫(huà)出圖形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四邊形法則畫(huà)出圖形，然后利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）兩船的位置圖如下：由圖可得，，所以所以由余弦定理可得所以點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離為海里（2）如圖，的方向?yàn)樗鞯姆较?，的方向?yàn)榇^的方向，的方向?yàn)閷?shí)際行進(jìn)的方向，其中在中，由正弦定理可得所以即甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值為練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．【答案】或0【解析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線(xiàn)，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線(xiàn)，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.2．（2021·寧夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則角B的值為_(kāi)_______；若a＋c＝6，則AC邊的中線(xiàn)的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式對(duì)已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合輔助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等式即可直接求解AC邊的中線(xiàn)的最小值【詳解】∵，∴，而，∴，∵，∴即，∵，∴，∴，故；延長(zhǎng)中線(xiàn)到點(diǎn)，使得，不妨設(shè)中線(xiàn)長(zhǎng)為，如圖所示，即，由平面幾何知識(shí)易得四邊形是平行四邊形，而，∴，，，∴在中，由余弦定理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：；.3．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，則角=__________；設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的取值范圍是__________.【答案】【解析】先由正弦定理，然后再化簡(jiǎn)、變形得，就可以求出角.求的取值范圍時(shí)，先將圖形補(bǔ)成平形四邊形，然后運(yùn)用余弦定及基本不等式求范圍.【詳解】由正弦定理及得，.因?yàn)樗运裕炙?；把補(bǔ)成平行四邊形（如圖所示），在中，，由余弦定理得等號(hào)成立，所以.又，所以.綜上得.故線(xiàn)段的取值范圍是.故答案為：；.4．（2021·浙江高一期末）在中，，G為其重心，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，且與射線(xiàn)、分別交于D、E兩點(diǎn)，記和的面積分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)，，根據(jù)重心位置及共線(xiàn)定理求得，根據(jù)面積公式分別表示出分別與，的關(guān)系，代入求得取最小值時(shí)的參數(shù)的值，根據(jù)與間的關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，且G為三角形ABC的重心，延長(zhǎng)AG交BC于H，延長(zhǎng)CG交AB于M，則，則，又D，G，E三點(diǎn)共線(xiàn)，則，即，，同理得，則，又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故答案為：5．（2021·上海普陀區(qū)·高三二模）如圖，在△中，，，．若為△內(nèi)部的點(diǎn)且滿(mǎn)足，則________．【答案】【解析】根據(jù)已知的向量關(guān)系先分析出，然后通過(guò)設(shè)，根據(jù)相似三角形以及正弦定理找到的關(guān)系，從而可求解出的結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，即，同理可知：，不妨設(shè)，所以，又因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，所以，所以，所以；在中，，所以，所以，又在中，，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所?故答案為：.6．（2021·浙江高三其他模擬）已知單位向量，與非零向量滿(mǎn)足，，則的最大值是______.【答案】【解析】根據(jù)題意設(shè)，，，由得出的范圍，由得出關(guān)系，則，根據(jù)得出的關(guān)系以及取等的條件可得出答案.【詳解】設(shè)，，所以由，可得，即由，可得所以又，所以則當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)，或即，或（這與矛盾，故舍去），由，則，即所以，解得此時(shí)所以故答案為：7．（2021·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三三模）已知邊長(zhǎng)為2的正方形邊上有兩點(diǎn)P?Q，滿(mǎn)足，設(shè)O是正方形的中心，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】先建立平面直角坐標(biāo)系，再分類(lèi)討論求出各種情況下的的范圍即可得到答案.【詳解】建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系.①當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的同一邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，由于，所以滿(mǎn)足，可得，所以；②當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的相鄰邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，所以，由于，所以滿(mǎn)足，其表示的平面區(qū)域如下圖所示：令，當(dāng)過(guò)時(shí)，有最小值，當(dāng)與圓相切時(shí)，有最大值，所以這種情況下；③當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的對(duì)邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，所以，由圖可知，，所以.綜上可知：.故答案為：.8．（2021·浙江嘉興市·高三其他模擬）已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B滿(mǎn)足，若時(shí)，的最小值為，則___________.【答案】【解析】由題設(shè)，將平面向量轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，B在以A為圓心5為半徑的圓上，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義分別確定D、E使、，進(jìn)而可知表示，若是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可知共線(xiàn)時(shí)最小，△中應(yīng)用余弦定理求，即可求.【詳解】由題設(shè)，如下圖示，若，，則，，，即，∴，即，若是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，即，如下圖示，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，即最小，∵，即，，∴此時(shí)，△中，，而且為銳角，∴，而.故答案為：.9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足，若角的角平分線(xiàn)交邊于點(diǎn)，且，，求：（1）求的值；（2）求邊的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)條件先用正弦定理，再由兩角和的公式化簡(jiǎn)即可求解；（2）由題意得，再兩邊平方及角平分線(xiàn)定理求得，再運(yùn)用余弦定理可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，即，因?yàn)椤榈膬?nèi)角，所以，所以，因此．（2）由題意得，兩邊平方得，整理得，又因?yàn)榻堑慕瞧椒志€(xiàn)交邊于點(diǎn)，可得，即得代入上式得，整理得，再由余弦定理得：，解得邊.10．（2021·山東泰安市·高一月考）三角形ABC中，，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，（1）求和;（2）是延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中利用余弦定理求解出的值，在中利用余弦定理求解出的值，然后利用余弦值求解出；（2）將分別表示為，，然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算確定出何時(shí)取最大值并求解出最大值.【詳解】解：（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則由余弦定理得，解得，此時(shí)，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以；（2）由得，，所以

，所以，當(dāng)取最小即時(shí)上式最大，此時(shí)，所以，所以的最大值為.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.2．（2020·全國(guó)高考真題（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【詳解】設(shè)故選：C3.（2021·全國(guó)高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，