新疆沙雅縣二中2025屆數(shù)學高三第一學期期末質量檢測模擬試題含解析

新疆沙雅縣二中2025屆數(shù)學高三第一學期期末質量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元2．已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為()A． B．40 C．16 D．3．設，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．5．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．37．設集合，，則（）．A． B．C． D．8．已知復數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．9．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結構的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，1810．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．2512．下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（）A．正方體 B．球體C．圓錐 D．長寬高互不相等的長方體二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，令，，若，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項和為，則_________14．若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式各項系數(shù)和為__________．15．已知數(shù)列滿足，則________．16．已知實數(shù)滿約束條件，則的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.18．（12分）在銳角中，，，分別是角，，所對的邊，的面積，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．19．（12分）在中，角所對的邊分別為，，的面積.（1）求角C；（2）求周長的取值范圍.20．（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設，，（單位：百米）.（1）分別求，關于x的函數(shù)關系式；（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.22．（10分）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，坐標原點為，.（1）求拋物線的方程；（2）當以為直徑的圓與軸相切時，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可．【詳解】設目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題．2、D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據(jù)得到：，即，根據(jù)得到：，即，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.3、C【解析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知，滿足，可行域如下圖所示，可知目標函數(shù)在點處取得最小值，故目標函數(shù)的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標函數(shù)的取值范圍的問題，屬于基礎題.4、A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當時，沒有零點，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學生對這些知識的理解掌握水平.5、A【解析】

設E為BD中點，連接AE、CE，過A作于點O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進而求得其正弦值，得到結果.【詳解】設E為BD中點，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過A作于點O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點O與點C重合，此時有平面，過C作與點F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，，故選：A.【點睛】該題考查的是有關平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.6、B【解析】

根據(jù)極值點處的導數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導數(shù)極值的性質以及利用導數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．7、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進而求出集合和，分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點睛】此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目,8、C【解析】

把代入，利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．9、A【解析】

利用統(tǒng)計圖結合分層抽樣性質能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為：故選A．【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意統(tǒng)計圖的性質的合理運用．10、C【解析】

由，,利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得利用平行四邊形的性質可得結果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.11、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2，可知數(shù)列單調遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內角為，由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.12、C【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定．【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形．故選：C．【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

根據(jù)導數(shù)的運算，結合數(shù)列的通項公式的求法，求得，，，進而得到，再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，且，，可得，，又由，可得為常數(shù)列，且，數(shù)列表示首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，其中數(shù)列滿足，所以，所以，又由，可得數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，所以數(shù)列的前項和為，滿足，所以，即，又由表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，所以.故答案為：4.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的計算，以及等差數(shù)列的通項公式，累加法求解數(shù)列的通項公式，以及裂項法求數(shù)列的和的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.14、1【解析】

由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出的值，然后再計算展開式各項系數(shù)的和.【詳解】由題意展開式的二項式系數(shù)之和為，即，故，令，則展開式各項系數(shù)的和為.故答案為：【點睛】本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題，需要運用定義加以區(qū)分，并能夠運用公式和賦值法求解結果，需要掌握解題方法.15、【解析】

項和轉化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【詳解】當時，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．顯然當時不滿足上式，∴故答案為：【點睛】本題考查了利用求，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算，分類討論的能力，屬于中檔題.16、8【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標函數(shù)表示直線在軸上的截距，由圖可知當經(jīng)過點時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為.【解析】

（1）由平面平面，可得平面，從而證明；（2）由平面與平面沒有交點，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（3）作交于點，延長交于點，連接，根據(jù)三垂線定理，確定二面角的平面角，若，，由大角對大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.【詳解】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個平面沒有交點，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（3）不能.如圖，作交于點，延長交于點，連接，由，，，所以平面，則平面，又，根據(jù)三垂線定理，得到，所以是二面角的平面角，若，則是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角對大邊知，所以，這與上面相矛盾，所以二面角的大小不能為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，屬中檔題.18、A【解析】

由正弦定理化簡得，解得，進而得到，利用正切的倍角公式求得，根據(jù)三角形的面積公式，求得，進而化簡，即可求解.【詳解】由題意，在銳角中，滿足，由正弦定理可得，即，可得，所以，即，所以，所以，則，所以，可得，又由的面積，所以，則.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由可得到，代入，結合正弦定理可得到，再利用余弦定理可求出的值，即可求出角；（Ⅱ）由，并結合正弦定理可得到，利用，，可得到，進而可求出周長的范圍．【詳解】解：（Ⅰ）由可知，∴.由正弦定理得.由余弦定理得，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，.的周長為.∵，∴，∴,∴的周長的取值范圍為.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運用，考查了三角形的面積公式，考查了學生分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題．20、（1），.，.（2）當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得關于x的函數(shù)關系式；在和中，利用余弦定理，可得關于x的函數(shù)關系式.方法二：在中，可得，則有，化簡整理即得；同理，化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等式，計算即得.【詳解】解：（1），是邊長為3的等邊三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道長度關于x的函數(shù)關系式為，.在和中，由余弦定理，得①②因為M為的中點，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道長度關于x的函數(shù)關系式為，.法2：因為在中，，所以.所以，直道長度關于x的函數(shù)關系式為，.在中，因為M為的中點，所以.所以.所以，直道長度關于x的函數(shù)關系式為，.（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為（當且僅當即時取“”）.故當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關系進行求解，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）分別取的中點為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計算即可；（2）求出，利用計算即可.【詳解】（1）分別取的中點為，連結.因為∥，所以∥.因為，所以.因為側面為等邊三角形，所以又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以兩兩垂直.以為空間坐標系的原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，則，，.設平面的法向量為，則，即.取，