湖北省仙桃、天門、潛江2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

湖北省仙桃、天門、潛江2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.2．已知直線經(jīng)過點，且是的方向向量，則點到的距離為（）A. B.C. D.3．已知兩圓相交于兩點，，兩圓圓心都在直線上，則值為（）A. B.C. D.4．等差數(shù)列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2085．曲線與曲線的（）A.實軸長相等 B.虛軸長相等C.焦距相等 D.漸進(jìn)線相同6．已知橢圓的右焦點為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.217．某工廠去年的電力消耗為千瓦，由于設(shè)各更新，該工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦8．已知五個數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.1 B.C. D.29．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.11．以，為焦點，且經(jīng)過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若數(shù)列滿足，，設(shè)，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的方法，可求得______________14．已知球的表面積為,則該球的體積為______.15．若，，，，與，，，，，，均為等差數(shù)列，則______16．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，平面OAB的一個法向量為＝(2，－2,1)，已知點P(－1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于__________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某雙曲線型自然冷卻通風(fēng)塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點分別為、.已知該冷卻通風(fēng)塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，保持原點和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示.在上口圓上任取一點，在下口圓上任取一點.請給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.若不存在，請說明理由；若存在，求出點P、Q的坐標(biāo)，并證明此時線段PQ上任意一點都在曲面上.18．（12分）甲、乙等6個班級參加學(xué)校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）個數(shù)X的分布列與期望19．（12分）在中，，，的對邊分別是，，，已知.（1）求；（2）若，且的面積為4，求的周長20．（12分）內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是銳角三角形，求c的值21．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點個數(shù)22．（10分）為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環(huán)境保護(hù)宣傳小組，現(xiàn)把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內(nèi)的人數(shù)為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內(nèi)的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者做環(huán)境保護(hù)知識宣講，求這名環(huán)境保護(hù)知識宣講志愿者中至少有名年齡在內(nèi)的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區(qū)為了感謝甲、乙作為環(huán)境保護(hù)知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機(jī)派發(fā)價值元、元、元的紀(jì)念品一件，求甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價值高的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.2、B【解析】求出，根據(jù)點到直線的距離的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】因為，為的一個方向向量，所以點到直線的距離.故選：B3、A【解析】由相交弦的性質(zhì)，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得的值，即可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得中點的坐標(biāo)，代入直線方程可得；進(jìn)而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得，則，故中點為，且其在直線上，代入直線方程可得，1，可得；故；故選：A【點睛】方法點睛：解答圓和圓的位置關(guān)系時，要注意利用平面幾何圓的知識來分析解答.4、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D5、D【解析】將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于，則兩曲線實軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近線方程同為.故選：6、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A7、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因為去年的電力消耗為千瓦，工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠第5年消耗的電力為，故選：D8、B【解析】先求出的值，然后利用標(biāo)準(zhǔn)差公式求解即可【詳解】解：因為五個數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，所以，解得，所以標(biāo)準(zhǔn)差，故選：B9、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進(jìn)行取舍.10、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.11、B【解析】根據(jù)焦點在x軸上，c=1，且過點，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2a可得.【詳解】因為焦點在x軸上，所以C不正確；又因為c=1，故排除D；將代入得，故A錯誤，所以選B.故選：B12、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點，設(shè)焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、n【解析】先對兩邊同乘以4，再相加，化簡整理即可得出結(jié)果.【詳解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案為【點睛】本題主要考查類比推理的思想，結(jié)合錯位相減法思想即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】設(shè)球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果15、##【解析】由題意利用等差數(shù)列的定義和通項公式，求得要求式子的值【詳解】設(shè)等差數(shù)列，，，，的公差為，等差數(shù)列，，，，，，的公差為，則有，且，所以，則，故答案為：16、2【解析】O是平面OAB上一個點，設(shè)點P到平面OAB的距離為d,則d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即點P到平面OAB的距離為2考點：空間向量在立體幾何中的運用三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，設(shè)，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數(shù)方程，設(shè)，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點的特征證明點在曲面上；【小問1詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，點，的橫坐標(biāo)分別為，，則設(shè)點，的坐標(biāo)為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線的方程為【小問2詳解】點在圓上，；點在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問3詳解】存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.由點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當(dāng)時，，當(dāng)時，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點可以是圓與旋轉(zhuǎn)任意坐標(biāo)系上的雙曲線的交點，旋轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)系，保持原點和y軸不變，點所在的軸為軸，此時，滿足，即即點是曲面上的點.18、（1）（2）X01234p期望為.【解析】（1）求出甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數(shù)的概率，進(jìn)而求出答案；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值.【小問1詳解】由題意得：甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數(shù)的概率為，故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；【小問2詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4，，，，故分布列為：X01234p數(shù)學(xué)期望為19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理及題中條件，可得，化簡整理，即可求解（2）由的面積為4，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得，結(jié)合余弦定理，可得，從而可求的周長【詳解】解：（1）由及正弦定理得，，又，∴，∴，∴.（2）∵的面積為，∴.由余弦定理得，∴.故的周長為.【點睛】本題考查正弦定理應(yīng)用，余弦定理解三角形，三角形面積公式，考查計算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題20、（1）或（2）【解析】（1）利用正弦定理邊化角，然后可解；（2）利用余弦定理求出c，然后檢驗可得.【小問1詳解】，即或【小問2詳解】因為是銳角三角形，所以因為所以由余弦定理得：即，解得或若，則，所以，不滿足題意；若，因為，且，所以，此時是銳角三角形.所以.21、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點.【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，易知定義域為R，，當(dāng)時，；當(dāng)或時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時，恒成立，∴；當(dāng)時，①當(dāng)時，，∴無零點；②當(dāng)時，，∴有1個零點；③當(dāng)時，，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點【點睛】結(jié)論點睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用22、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進(jìn)行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀(jì)念品價值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：因為志愿