2025屆上海市上海交大附中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆上海市上海交大附中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.i是虛數(shù)單位,若,則乘積的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.152.下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.3.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.4.設(shè)實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A.1 B.2 C.3 D.45.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.86.若非零實數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.7.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內(nèi)的任何直線都與平行8.已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.9.?dāng)?shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.410.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進(jìn)行分類的方法,最先見于《周禮·春官·大師》,分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂器,“土、匏、竹”為吹奏樂器,“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”,則含有打擊樂器的概率為()A. B. C. D.11.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.12.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,,則球的表面積為__________.14.在的展開式中,各項系數(shù)之和為,則展開式中的常數(shù)項為__________________.15.設(shè)直線過雙曲線的一個焦點,且與的一條對稱軸垂直,與交于兩點,為的實軸長的2倍,則雙曲線的離心率為.16.若函數(shù),其中且,則______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,橢圓的左、右頂點分別為,,上、下頂點分別為,,且,為等邊三角形,過點的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求四邊形面積的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列,其前項和為,滿足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.19.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點是棱的中點,,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.21.(12分)如圖,在斜三棱柱中,已知為正三角形,D,E分別是,的中點,平面平面,.(1)求證:平面;(2)求證:平面.22.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1},求實數(shù)a的值;(2)證明:f(x).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】,∴,選B.2、D【解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用,考查計算能力.4、C【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直線在y軸的截距加上1,根據(jù)圖像知,當(dāng)x+y=2時,且x∈-13,1時,故選:C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo),再由向量垂直的坐標(biāo)運算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算,考查向量垂直的坐標(biāo)運算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

令,則,,將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后,然后取絕對值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.7、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當(dāng),不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內(nèi)的任何直線都與平行,故,若,則內(nèi)的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.【點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、D【解析】

設(shè),,去絕對值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為實數(shù),滿足,設(shè),,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9、D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.10、B【解析】

分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法;“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法;所求概率.故選:.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解,關(guān)鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).11、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【詳解】因為、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C。【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,計算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長方體是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

利用展開式各項系數(shù)之和求得的值,由此寫出展開式的通項,令指數(shù)為零求得參數(shù)的值,代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式各項系數(shù)和為,得,所以,的展開式通項為,令,得,因此,展開式中的常數(shù)項為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算,涉及二項展開式中各項系數(shù)和的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

不妨設(shè)雙曲線,焦點,令,由的長為實軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線,焦點,對稱軸,由題設(shè)知,因為的長為實軸的二倍,,,,故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率,屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來,再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式,從而求出的值.16、【解析】

先化簡函數(shù)的解析式,在求出,從而求得的值.【詳解】由題意,函數(shù)可化簡為,所以,所以.故答案為:0.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的運算和函數(shù)值的求解,其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式,準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)①當(dāng)直線斜率不存在時,易求坐標(biāo),從而得到所求面積;②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)方程為,與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,并確定的取值范圍;利用,代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達(dá)式,采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為,的值域的求解問題,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域;結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.【詳解】(1),,為等邊三角形,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)四邊形的面積為.①當(dāng)直線的斜率不存在時,可得,,.②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,設(shè),,聯(lián)立得:,,,.,,,,面積.令,則,,令,則,,在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,.綜上所述:四邊形面積的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題,涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問題;關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題.18、(1)見解析(2)(3)見解析【解析】試題分析:(1)(),所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析:(1)證明:若,則當(dāng)(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若是等比數(shù)列,設(shè)其公比為(),當(dāng)時,,即,得,①當(dāng)時,,即,得,②當(dāng)時,,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此時(),所以,是公比為1的等比數(shù)列,故.(3)證明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差數(shù)列,由,得,兩式相減得:即所以相減得:所以所以,因為,所以,即數(shù)列是等差數(shù)列.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2)過作交于,由為的中點,結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明:平面,平面,,又四邊形為正方形,.又、平面,且,平面..中,,為的中點,.又、平面,,平面.平面,平面平面.(2)解:過作交于,如圖為的中點,,.又平面,平面.,.所以,又、、兩兩互相垂直,以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,,,設(shè)平面的法向量,則,即.令,則,..平面的一個法向量為.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系,考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.20、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對應(yīng)的的值為.【解析】

(1)當(dāng)時,求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達(dá),構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時所對應(yīng)的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當(dāng)時,,所以:,時,,當(dāng)時,,當(dāng),時,,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:.,函數(shù)的對稱軸為,,所以:,;,可得:,,,則:,所以:;所以:,令,,,則,因為:時,,所以:在,上是單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,因為:,(1),,(1),所以,;即的取值范圍是:,;,所以有,則,;所以當(dāng)取到最小值時所對應(yīng)的的值為;【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬于難題.21、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù),分別是,的中點,即可證明,從而可證平面;(2)先根據(jù)為正三角形,且D是的中點,證出,再根據(jù)平面平面,得到平面,從而得到,結(jié)合,即可得證.【詳解】(1)∵,分別是,的中點∴∵平面,平面∴平面.(2)∵為正三角形,且D是的中點∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定,面面垂直的性質(zhì)等,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),中檔題.22、(1)a=1;(2)見解析【解析】

(1)由題意可得|x﹣a|≥

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