2025年高考數(shù)學(xué)必修課-第二章-2.2.2-分段函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)必修課-第二章-2.2.2-分段函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5，x≥6，,fx＋2，x<6，))則f(3)為()A．2 B．3C．4 D．52．一列貨運(yùn)火車從某站出發(fā)，勻加速行駛一段時(shí)間后開始勻速行駛，過了一段時(shí)間，火車到達(dá)下一站停車，裝完貨以后，火車又勻加速行駛，一段時(shí)間后再次勻速行駛，下列圖象可以近似地刻畫出這列火車的速度變化情況的是()3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，則x的值是()A.eq\r(3) B．9C．－1或1 D．－eq\r(3)或eq\r(3)4．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的圖象是()5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,x，x<0，))φ(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤2，,－x2，x>2，))則當(dāng)x<0時(shí)，f(φ(x))＝()A．－x B．－x2C．x D．x26．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費(fèi)；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水量為()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米7．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f(f(eq\f(5,6)))＝4，則b＝()A．1 B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)8．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．2 B．4C．6 D．8二、填空題9．若定義運(yùn)算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b.))則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域?yàn)?10．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤－2，,x＋1，－2<x<4，,3x，x≥4，))若f(a)<－3，則a的取值范圍是.三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)畫出函數(shù)的圖象．12．如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動．設(shè)P點(diǎn)移動的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)．(1)求△ABP的面積與P移動的路程的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求f(x)的最大值．13．(多選題)著名的Dirichlet函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x取有理數(shù)時(shí)，,0，x取無理數(shù)時(shí)，))則與D[D(x)]相等的有()A．D(2) B．D(3)C．D(eq\r(2)) D．D(π)14．(多選題)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)，對于給定的正數(shù)p，函數(shù)fp(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤p，,p，fx>p，))則稱函數(shù)fp(x)為f(x)的“p界函數(shù)”．關(guān)于函數(shù)f(x)＝x2－2x－1的“2界函數(shù)”，下列等式成立的是()A．f2(f(0))＝f(f2(0))B．f2(f(1))＝f(f2(1))C．f2(f(2))＝f(f2(2))D．f2(f(3))＝f(f2(3))15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c<x≤3.))若c＝0，則f(x)的值域是；若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.16．已知函數(shù)f(x)＝|x－2|(x＋1)．(1)作出函數(shù)f(x)的圖象．(2)判斷直線y＝a與y＝|x－2|(x＋1)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 2025年高考數(shù)學(xué)必修課-第二章-2.2.2-分段函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5，x≥6，,fx＋2，x<6，))則f(3)為(A)A．2 B．3C．4 D．5解析：f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)．∵f(7)＝7－5＝2，故f(3)＝2.2．一列貨運(yùn)火車從某站出發(fā)，勻加速行駛一段時(shí)間后開始勻速行駛，過了一段時(shí)間，火車到達(dá)下一站停車，裝完貨以后，火車又勻加速行駛，一段時(shí)間后再次勻速行駛，下列圖象可以近似地刻畫出這列火車的速度變化情況的是(B)解析：根據(jù)題意，知這列火車從靜止開始勻加速行駛，所以排除A，D，然后勻速行駛一段時(shí)間后又停止了一段時(shí)間，排除C，故選B.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，則x的值是(A)A.eq\r(3) B．9C．－1或1 D．－eq\r(3)或eq\r(3)解析：依題意，若x≤0，則x＋2＝3，解得x＝1，不合題意，舍去．若0<x≤3，則x2＝3，解得x＝－eq\r(3)(舍去)或x＝eq\r(3).故選A.4．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的圖象是(C)解析：依題意，知f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,x－1，x<0，))所以函數(shù)f(x)的圖象為選項(xiàng)C中的圖象．故選C.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,x，x<0，))φ(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤2，,－x2，x>2，))則當(dāng)x<0時(shí)，f(φ(x))＝(C)A．－x B．－x2C．x D．x2解析：依題意，當(dāng)x<0時(shí)，φ(x)＝x<0，所以f(φ(x))＝x.6．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費(fèi)；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水量為(A)A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米解析：設(shè)該單位職工每月應(yīng)繳水費(fèi)為y元，實(shí)際用水量為x立方米，則滿足的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f(f(eq\f(5,6)))＝4，則b＝(D)A．1 B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)解析：f(f(eq\f(5,6)))＝f(3×eq\f(5,6)－b)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b)).當(dāng)eq\f(5,2)－b<1，即b>eq\f(3,2)時(shí)，3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq\f(7,8)(舍)．當(dāng)eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)時(shí)，2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))＝4，解得b＝eq\f(1,2).故選D.8．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝(C)A．2 B．4C．6 D．8解析：若0<a<1，則a＋1>1，由f(a)＝f(a＋1)得eq\r(a)＝2(a＋1－1)，∴a＝eq\f(1,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.若a≥1，則a＋1≥2，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，無解．綜上，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝6.故選C.二、填空題9．若定義運(yùn)算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b.))則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域?yàn)?－∞，1]．解析：由題意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x，x<1.))畫出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)得值域是(－∞，1]．10．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤－2，,x＋1，－2<x<4，,3x，x≥4，))若f(a)<－3，則a的取值范圍是(－∞，－3)．解析：當(dāng)a≤－2時(shí)，f(a)＝a<－3，此時(shí)不等式的解集是(－∞，－3)；當(dāng)－2<a<4時(shí)，f(a)＝a＋1<－3，此時(shí)不等式無解；當(dāng)a≥4時(shí)，f(a)＝3a<－3，此時(shí)不等式無解．故a的取值范圍是(－∞，－3)．三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)畫出函數(shù)的圖象．解：(1)因?yàn)?>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因?yàn)椋?<0.所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因?yàn)?<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.即f(f(f(5)))＝－1.(2)圖象如圖所示．12．如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動．設(shè)P點(diǎn)移動的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)．(1)求△ABP的面積與P移動的路程的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求f(x)的最大值．解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,12)．當(dāng)0<x≤4時(shí)，S＝f(x)＝eq\f(1,2)×4×x＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，S＝f(x)＝eq\f(1,2)×4×4＝8；當(dāng)8<x<12時(shí)，S＝f(x)＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x.∴函數(shù)解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,24－2x，x∈8，12.))(2)圖象如圖所示．從圖象可以看出[f(x)]max＝8.13．(多選題)著名的Dirichlet函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x取有理數(shù)時(shí)，,0，x取無理數(shù)時(shí)，))則與D[D(x)]相等的有(AB)A．D(2) B．D(3)C．D(eq\r(2)) D．D(π)解析：因?yàn)镈(x)∈{0,1}，所以D(x)為有理數(shù)，所以D[D(x)]＝1.而D(2)＝D(3)＝1，D(eq\r(2))＝D(π)＝0，所以A，B都符合．14．(多選題)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)，對于給定的正數(shù)p，函數(shù)fp(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤p，,p，fx>p，))則稱函數(shù)fp(x)為f(x)的“p界函數(shù)”．關(guān)于函數(shù)f(x)＝x2－2x－1的“2界函數(shù)”，下列等式成立的是(ACD)A．f2(f(0))＝f(f2(0))B．f2(f(1))＝f(f2(1))C．f2(f(2))＝f(f2(2))D．f2(f(3))＝f(f2(3))解析：令x2－2x－1＝2，解得x＝－1或x＝3，根據(jù)“p界函數(shù)”的定義，有f2(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，－1≤x≤3，,2，x<－1或x>3.))所以f2[f(0)]＝f2(－1)＝2，f(f2(0))＝f(－1)＝2，故A選項(xiàng)中的等式成立；f2(f(1))＝f2(－2)＝2,f(f2(1))＝f(－2)＝7，故B選項(xiàng)中的等式不成立；f2(f(2))＝f2(－1)＝2，f(f2(2))＝f(－1)＝2，故C選項(xiàng)中的等式成立；f2(f(3))＝f2(2)＝－1，f(f2(3))＝f(2)＝－1，故D選項(xiàng)中的等式成立．故選ACD.15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c<x≤3.))若c＝0，則f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))；若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).解析：若c＝0，當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，對稱軸方程為x＝－eq\f(1,2)，所以當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，f(－2)為最大值，且為2，最小值為－eq\f(1,4)；當(dāng)0<x≤3時(shí)，f(x)＝eq\f(1,x)隨著x的增大而減小，故x∈(0,3]時(shí)，f(x)的最小值為f(3)＝eq\f(1,3)，則f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).綜上可得f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).由函數(shù)y＝x2＋x的圖象(圖略)