2024屆湖北省黃岡市學海園大聯(lián)考高三信息預(yù)測（一模）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省黃岡市學海園大聯(lián)考2024屆高三信息預(yù)測（一模）數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某企業(yè)舉辦冬季趣味運動會，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(單位：個)分別是、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將這10個數(shù)據(jù)從小大大排列為，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故選：C.2.鞋匠刀形是一種特殊的圖形，古希臘數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)該圖形有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如圖是一個鞋匠刀形.若，，點在以為直徑的半圓弧上，以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系（在第一象限），則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則A-2,0、、B4,0，則中點為1,0，且，則以為直徑的半圓弧的方程為，令，有，又，故，即，則.故選：A.3.若5個正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)5個正數(shù)組成數(shù)列，則，則，解得.故選：D.4.下列說法中正確的是（）A.沒有公共點的兩條直線是異面直線B.若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則C.若平面α，β，γ滿足，，則D.已知a，b是不同直線，α，β是不同的平面.若，，，則〖答案〗D〖解析〗對A，沒有公共點的兩條直線是異面直線或平行直線，故A錯誤；對B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則a，b可以平行、相交或異面，故B錯誤；對C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直，故C錯誤；對D，兩個平面垂直等價于這兩個平面的垂線垂直，故D正確.故選：D.5.天文專家表示，“十五的月亮十四圓”這種現(xiàn)象比較罕見.21世紀這100年中，這種情況僅會出現(xiàn)6次，其中一次是2020年的8月3日（農(nóng)歷六月十四），下一次則要等到2037年．若某同學計劃從這6次“十四月圓”中隨機選取3次，研究其發(fā)生的時間，則其中至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，從這6次“十四月圓”中隨機選取3次，基本事件的總數(shù)為種，其中不包含2020年與2037年這兩次所包含的基本事件有種，所以至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為.故選：D.6.已知一個玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長為1，現(xiàn)有一個半徑為的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以軸截面拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸建立平面直角坐標系，當玻璃球能夠與杯底接觸時，該玻璃球的軸截面的方程為．因為拋物線的通徑長為1，則拋物線的方程為，代入圓的方程消元得：，所以原題等價于方程在上只有實數(shù)解．因為由，得或，所以需或，即或．因為，所以，故選：C．7.已知，則（）A. B. C. D.-〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.8.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當時，，此時截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為，高為的圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點，，平面截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在圓錐中，，，易知，由圓錐的幾何性質(zhì)可知，平面，因為平面，則，所以，，則，圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，因為是母線上一點，，則，,，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，且，所以，，所以，，故該圓錐曲線的離心率為，故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.若函數(shù)的最小值為，則（）A.當時，的圖象關(guān)于點對稱B.當時，C.存在實數(shù)與，使得D.當時，將曲線向左平移個單位長度，得到曲線〖答案〗BCD〖解析〗由題意，A項，當時，，當即時，函數(shù)關(guān)于對稱，∴的圖象關(guān)于點對稱，所以A錯誤．B項，當時，，則，所以B正確．C項，當時，，，此時，所以C正確．D項，當時，，將曲線向左平移個單位長度，得到曲線，因為，所以D正確．故選：BCD10.以下結(jié)論中,正確的是（）A.若復(fù)數(shù),則B.若復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為C.已知復(fù)數(shù),其中,,則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為D.五名學生按任意次序站成一排,則和站兩端的概率為〖答案〗BC〖解析〗對于A,由,得,,故A錯誤;對于B,可以看作復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到的距離為,故復(fù)數(shù)對應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以點為圓心,以為半徑的圓,故當點運動到與軸的交點,且向上的位置時,此時最大,最大值為,故B正確;對于C,在中,,,因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,此時有共組,所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為,故C正確;對于D,首先將和排兩端共有種情況,再將其余三人全排列共有種情況,所以共有種情況,因為五名學生按任意次序站成一排,共有種情況,故和站兩端的概率為,選項D錯誤.故選:BC.11.已知，，，則滿足關(guān)系式的函數(shù)可以為（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由于，所以．由于，所以，因此，所以．因為，所以，又，所以．選項A：若，則，，不滿足，所以A選項錯誤；選項B：若，易知在R上單調(diào)遞增，所以，滿足題意，故B選項正確；選項C：若，則上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，但由于，所以，滿足題意，故C選項正確；選項D：若，則，而在上單調(diào)遞增，，所以，滿足題意，故D選項正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則__________．〖答案〗〖解析〗因為，又，所以．13.如圖，高度均為3的封閉玻璃圓錐和圓柱容器內(nèi)裝入等體積的水，此時水面高度均為，若，記圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，則________.〖答案〗〖解析〗如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)為水面，O為圓錐底面中心，為水面中心，則，則∽，故，故圓錐內(nèi)水的體積為，圓柱內(nèi)水的體積為，由，得，故.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程的根就是函數(shù)的零點r，取初始值處的切線與x軸的交點為在處的切線與x軸的交點為，一直這樣下去，得到，它們越來越接近r.若，則用牛頓法得到的r的近似值約為___________（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.〖答案〗〖解析〗由，，所以在處的切線方程為：，令，可得：，所以在處的切線方程為：，令.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知時，直線為曲線的切線，求實數(shù)的值．解：（1）．令，得或．若，則當時，；當時，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若時，，在上單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）當時，，設(shè)切點，則切線方程為，因為切線過原點，故，即，解得或，所以或.16.2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行，會議再次強調(diào)要提振新能源汽車消費.發(fā)展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經(jīng)過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.（1）求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；（2）求離散型隨機變量的分布列與期望.解：（1）記事件為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號新能源汽車參加續(xù)航測試的得分為分”，則，，記事件為“該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格”，則，則該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率為.（2）由題知離散型隨機變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，，，，，，則離散型隨機變量的分布列為246810所以數(shù)學期望17.如圖，現(xiàn)有三棱錐和E-BCD，其中三棱錐的棱長均為2，三棱錐E-BCD有三個面是全等的等腰直角三角形，一個面是等邊三角形，現(xiàn)將這兩個三棱錐的一個面完全重合組成一個組合體.（1）求這個組合體的體積；（2）若點F為AC的中點，求二面角的余弦值.解：（1）因為三棱錐E-BCD有三個面是全等的等腰直角三角形，是等邊三角形，所以，所以；因為三棱錐的棱長均為2，所以正三棱錐體積為一個棱長為的正方體減去四個三棱錐，即，.（2）如圖所示，以E為坐標原點，EC，ED，EB分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面EBC的法向量為，易得，設(shè)平面BCF的法向量為，因為，得，取，可得，設(shè)二面角的平面角大小為，由圖易知，二面角為鈍角，則，故二面角的余弦值為.18.如圖所示，已知雙曲線與拋物線有相同的焦點F，它們在第一象限內(nèi)的交點為M.（1）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；（2）若雙曲線的焦距為其實軸長的2倍，求點M到雙曲線兩個焦點的距離之和.解：（1）因為拋物線，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為；（2）設(shè)雙曲線的方程為，則，，∴，，∴雙曲線的方程為；由，可得或(舍去)所以，由拋物線的定義可知，由雙曲線的定義可知，點M到左焦點的距離為7，∴點M到雙曲線兩個焦點的距離之和為.19.射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，為透視中心，平面內(nèi)四個點經(jīng)過中心投影之后的投影點分別為．對于四個有序點，定義比值叫做這四個有序點的交比，記作．（1）證明：；（2）已知，點為線段的中點，，求．（1）證明：在、、、中，，，所以，又在、、、中，，，所以，又，，，，所以，所以.（2）解：由題意可得，所以，即，所以，又點為線段的中點，即，所以，又，則，，設(shè)，且，由，所以，即，解得①，在中，由正弦定理可得②，在中，由正弦定理可得③，且，②③得，即④由①④解得，（負值舍去），即，所以.湖北省黃岡市學海園大聯(lián)考2024屆高三信息預(yù)測（一模）數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某企業(yè)舉辦冬季趣味運動會，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(單位：個)分別是、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將這10個數(shù)據(jù)從小大大排列為，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故選：C.2.鞋匠刀形是一種特殊的圖形，古希臘數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)該圖形有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如圖是一個鞋匠刀形.若，，點在以為直徑的半圓弧上，以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系（在第一象限），則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則A-2,0、、B4,0，則中點為1,0，且，則以為直徑的半圓弧的方程為，令，有，又，故，即，則.故選：A.3.若5個正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)5個正數(shù)組成數(shù)列，則，則，解得.故選：D.4.下列說法中正確的是（）A.沒有公共點的兩條直線是異面直線B.若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則C.若平面α，β，γ滿足，，則D.已知a，b是不同直線，α，β是不同的平面.若，，，則〖答案〗D〖解析〗對A，沒有公共點的兩條直線是異面直線或平行直線，故A錯誤；對B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則a，b可以平行、相交或異面，故B錯誤；對C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直，故C錯誤；對D，兩個平面垂直等價于這兩個平面的垂線垂直，故D正確.故選：D.5.天文專家表示，“十五的月亮十四圓”這種現(xiàn)象比較罕見.21世紀這100年中，這種情況僅會出現(xiàn)6次，其中一次是2020年的8月3日（農(nóng)歷六月十四），下一次則要等到2037年．若某同學計劃從這6次“十四月圓”中隨機選取3次，研究其發(fā)生的時間，則其中至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，從這6次“十四月圓”中隨機選取3次，基本事件的總數(shù)為種，其中不包含2020年與2037年這兩次所包含的基本事件有種，所以至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為.故選：D.6.已知一個玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長為1，現(xiàn)有一個半徑為的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以軸截面拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸建立平面直角坐標系，當玻璃球能夠與杯底接觸時，該玻璃球的軸截面的方程為．因為拋物線的通徑長為1，則拋物線的方程為，代入圓的方程消元得：，所以原題等價于方程在上只有實數(shù)解．因為由，得或，所以需或，即或．因為，所以，故選：C．7.已知，則（）A. B. C. D.-〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.8.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當時，，此時截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為，高為的圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點，，平面截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在圓錐中，，，易知，由圓錐的幾何性質(zhì)可知，平面，因為平面，則，所以，，則，圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，因為是母線上一點，，則，,，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，且，所以，，所以，，故該圓錐曲線的離心率為，故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.若函數(shù)的最小值為，則（）A.當時，的圖象關(guān)于點對稱B.當時，C.存在實數(shù)與，使得D.當時，將曲線向左平移個單位長度，得到曲線〖答案〗BCD〖解析〗由題意，A項，當時，，當即時，函數(shù)關(guān)于對稱，∴的圖象關(guān)于點對稱，所以A錯誤．B項，當時，，則，所以B正確．C項，當時，，，此時，所以C正確．D項，當時，，將曲線向左平移個單位長度，得到曲線，因為，所以D正確．故選：BCD10.以下結(jié)論中,正確的是（）A.若復(fù)數(shù),則B.若復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為C.已知復(fù)數(shù),其中,,則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為D.五名學生按任意次序站成一排,則和站兩端的概率為〖答案〗BC〖解析〗對于A,由,得,,故A錯誤;對于B,可以看作復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到的距離為,故復(fù)數(shù)對應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以點為圓心,以為半徑的圓,故當點運動到與軸的交點,且向上的位置時,此時最大,最大值為,故B正確;對于C,在中,,,因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,此時有共組,所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為,故C正確;對于D,首先將和排兩端共有種情況,再將其余三人全排列共有種情況,所以共有種情況,因為五名學生按任意次序站成一排,共有種情況,故和站兩端的概率為,選項D錯誤.故選:BC.11.已知，，，則滿足關(guān)系式的函數(shù)可以為（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由于，所以．由于，所以，因此，所以．因為，所以，又，所以．選項A：若，則，，不滿足，所以A選項錯誤；選項B：若，易知在R上單調(diào)遞增，所以，滿足題意，故B選項正確；選項C：若，則上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，但由于，所以，滿足題意，故C選項正確；選項D：若，則，而在上單調(diào)遞增，，所以，滿足題意，故D選項正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則__________．〖答案〗〖解析〗因為，又，所以．13.如圖，高度均為3的封閉玻璃圓錐和圓柱容器內(nèi)裝入等體積的水，此時水面高度均為，若，記圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，則________.〖答案〗〖解析〗如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)為水面，O為圓錐底面中心，為水面中心，則，則∽，故，故圓錐內(nèi)水的體積為，圓柱內(nèi)水的體積為，由，得，故.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程的根就是函數(shù)的零點r，取初始值處的切線與x軸的交點為在處的切線與x軸的交點為，一直這樣下去，得到，它們越來越接近r.若，則用牛頓法得到的r的近似值約為___________（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.〖答案〗〖解析〗由，，所以在處的切線方程為：，令，可得：，所以在處的切線方程為：，令.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知時，直線為曲線的切線，求實數(shù)的值．解：（1）．令，得或．若，則當時，；當時，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若時，，在上單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）當時，，設(shè)切點，則切線方程為，因為切線過原點，故，即，解得或，所以或.16.2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行，會議再次強調(diào)要提振新能源汽車消費.發(fā)展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經(jīng)過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.（1）求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；（2）求離散型隨機變量的分布列與期望.解：（1）記事件為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號新能源汽車參加續(xù)航測試的得分為分”，則，，記事件為“該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格”，則，則該