2024屆江蘇省無錫市江陰某校高三5月高考模擬數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市江陰某校2024屆高三5月高考模擬數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以，故選：A．2.在下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)知道，定義域為，上單調(diào)遞增，非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；奇函數(shù)且在單調(diào)遞增，故B正確；為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故C錯誤；為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：B．3.在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和，則（）A.16 B.15 C.14 D.13〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，則，可得，所以.故選：D．4.設(shè)是三個不同平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，，則由平面平行的性質(zhì)定理：得；但當，時，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的兩條側(cè)棱所在直線，是確定的平面，另兩個側(cè)面所在平面分別為，此時符合條件，而相交，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得圖象關(guān)于軸對稱則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗關(guān)于軸對稱，則，又因為，則當時，.故選：C.6.設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由等差數(shù)列的前項和公式，可得，可得，又由且，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.7.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側(cè)面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)為圓錐高，為圓錐母線長以為球心，半徑為4的球與圓錐側(cè)面相切，則，在中，，可得，且，則，解得，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：C.8.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P.已知平面內(nèi)點，點，，，點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點P，則下列結(jié)論錯誤是（）A. B.P的坐標為C.B的坐標為 D.在方向上的投影向量為〖答案〗D〖解析〗C選項，因為，所以，解得，因為，所以，故，所以，C正確；B選項，，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，則，設(shè)，則，所以，解得，則P的坐標為，B正確；A選項，，故，A正確；D選項，在方向上的投影向量為，D錯誤.故選：D.二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)為復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則 D.“＂是“＂的充分不必要條件〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，對于選項A：因為，所以，且，所以，故A正確；對于選項B：因為，則，所以，故B正確；對于選項C：若，例如，滿足，但，，即，故C錯誤；對于選項D：若，則都是實數(shù)，且，即充分性不成立；若，例如，且，但不是實數(shù)，無法比較大小，即必要性不成立；綜上所述：“＂是“＂的充分不必要條件，故D正確．故選：ABD.10.某校團委為泙價5個社團暑期開展活動的情況，在各社團中分別抽取部分社員進行調(diào)查．若各社團抽取的社員人數(shù)的平均數(shù)為8，方差為4，則各社團被抽取的社員人數(shù)的最大值可能為（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗因為，則，且，則，不妨設(shè)最大，①若，則不成立，故A錯誤；②若，例如，滿足題意，故B正確；③若，例如，滿足題意，故C正確；④若，則，可得，可知該方程組無正整數(shù)解，故D錯誤；故選：BC．11.在平面四邊形中，，將沿折起，使到達點的位置．已知三棱錐的外接球的球心恰是的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.與平面所成的角相等B.C.二面角的大小可能為D.若，則球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，取的中點，因為，所以點是的外心，連接，則平面，因為是的中點，所以，所以平面，點是是的中點，，所以，又，所以，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因為，，，平面，所以平面，平面，所以，做，交于點，，平面，所以平面，平面，所以，所以即為的平面角，若，則，而在直角三角形中，斜邊，這是不可能的，故C錯誤；對于D，若，則，，所以，外接球半徑，，故D正確故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某校有4名同學到三個社區(qū)參加新時代文明實踐宣傳活動，要求每名同學只去1個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名同學，則甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的概率________．〖答案〗〖解析〗先將4名同學中的2名同學看作一組，選法有種，另外兩組各1人，分配到三個社區(qū)，則總分法有種，其中甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的分法有種，則甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的概率為．13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為________．(若，則)〖答案〗〖解析〗依題可知，，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多為．14.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)，，則，兩點間的曼哈頓距離已知，點在圓上運動，若點滿足，則的最大值為_________．〖答案〗〖解析〗由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點，則，故點的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求的值;（2）是否存在實數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說明理由.解：（1），則，故曲線在處的切線為，即，當時，此時切線為，不符合要求當時，令，有，令，有，故，即，故.（2），①當時，在上單調(diào)遞增，的最大值是，解得，舍去;②當時，由，得，當，即時，時，時，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，又在上的最大值為;當，即時，在上單調(diào)遞增，，解得，舍去.綜上所述，存在符合題意，此時.16.某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務水平，現(xiàn)對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．（1）若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標為A，否則該組標為B，記詢問的某組被標為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標為B的概率，試求的最大值及此時m的值．解：（1）因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標為B的概率，所以，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當時，5組中恰有3組被標為B的概率最大，且的最大值為．17.如圖，在平行六面體中，，，，，點P滿足．（1）證明：O，P，三點共線；（2）求直線與平面PAB所成角的正弦值．（1）證明：，所以，而，所以，即O，P，三點共線．（2）解：連接，，，所以，，，，，由余弦定理得，同理可得，．又為BD的中點，，．，，即．如圖，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，由（1）可得，P為線段三等分點，所以，，，，設(shè)平面PAB的法向量為，則令，則，．設(shè)直線與平面PAB所成角為，則，直線與平面PAB所成角的正弦值為．18.已知橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，滿足.（1）求的平分線所在的直線的方程；（2）在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異的兩點，若存在，請找出這兩點；若不存在請說明理由；（3）已知雙曲線與橢圓有共同的焦點，且雙曲線與橢圓相交于，若四邊形的面積最大時，求雙曲線的標準方程.解：（1）設(shè)的平分線與軸交于點，由，則，由，有，故，故，則，解得，故，由角平分線的性質(zhì)可得，所以，解得，故，則有，即直線的方程為；（2）假設(shè)存在兩點關(guān)于直線對稱，則，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，即，所以的中點坐標為，因為的中點在直線，所以，所以，所以的中點坐標為，與點重合，矛盾，所以不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點；（3）由題意知，，設(shè)與橢圓共焦點的雙曲線的標準方程為，設(shè)它們的一個交點坐標為，它們的交點為頂點的四邊形面積記，所以，當且僅當取得等號，因為，所以，所以，所以，所以雙曲線的標準方程為.19.已知數(shù)列，記集合.（1）若數(shù)列為，寫出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；（3）若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．解：（1）由題意可得，，，所以.（2）假設(shè)存在，使得，則有，由于與的奇偶性相同，與奇偶性不同，又，，所以中必有大于等于奇數(shù)因子，這與無以外的奇數(shù)因子矛盾，故不存在，使得.（3）首先證明時，對任意的都有，因為，由于與均大于且奇偶性不同，所以為奇數(shù)，對任意的都有，其次證明除形式以外的數(shù)，都可以寫成若干個連續(xù)正整數(shù)之和，若正整數(shù)，其中，則當時，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，此時結(jié)論成立，當時，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，此時結(jié)論成立，對于數(shù)列，此問題等價于數(shù)列其相應集合中滿足有多少項，由前面證明可知正整數(shù)不是中的項，所以的最大值為.江蘇省無錫市江陰某校2024屆高三5月高考模擬數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以，故選：A．2.在下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)知道，定義域為，上單調(diào)遞增，非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；奇函數(shù)且在單調(diào)遞增，故B正確；為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故C錯誤；為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：B．3.在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和，則（）A.16 B.15 C.14 D.13〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，則，可得，所以.故選：D．4.設(shè)是三個不同平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，，則由平面平行的性質(zhì)定理：得；但當，時，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的兩條側(cè)棱所在直線，是確定的平面，另兩個側(cè)面所在平面分別為，此時符合條件，而相交，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得圖象關(guān)于軸對稱則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗關(guān)于軸對稱，則，又因為，則當時，.故選：C.6.設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由等差數(shù)列的前項和公式，可得，可得，又由且，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.7.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側(cè)面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)為圓錐高，為圓錐母線長以為球心，半徑為4的球與圓錐側(cè)面相切，則，在中，，可得，且，則，解得，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：C.8.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P.已知平面內(nèi)點，點，，，點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點P，則下列結(jié)論錯誤是（）A. B.P的坐標為C.B的坐標為 D.在方向上的投影向量為〖答案〗D〖解析〗C選項，因為，所以，解得，因為，所以，故，所以，C正確；B選項，，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，則，設(shè)，則，所以，解得，則P的坐標為，B正確；A選項，，故，A正確；D選項，在方向上的投影向量為，D錯誤.故選：D.二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)為復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則 D.“＂是“＂的充分不必要條件〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，對于選項A：因為，所以，且，所以，故A正確；對于選項B：因為，則，所以，故B正確；對于選項C：若，例如，滿足，但，，即，故C錯誤；對于選項D：若，則都是實數(shù)，且，即充分性不成立；若，例如，且，但不是實數(shù)，無法比較大小，即必要性不成立；綜上所述：“＂是“＂的充分不必要條件，故D正確．故選：ABD.10.某校團委為泙價5個社團暑期開展活動的情況，在各社團中分別抽取部分社員進行調(diào)查．若各社團抽取的社員人數(shù)的平均數(shù)為8，方差為4，則各社團被抽取的社員人數(shù)的最大值可能為（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗因為，則，且，則，不妨設(shè)最大，①若，則不成立，故A錯誤；②若，例如，滿足題意，故B正確；③若，例如，滿足題意，故C正確；④若，則，可得，可知該方程組無正整數(shù)解，故D錯誤；故選：BC．11.在平面四邊形中，，將沿折起，使到達點的位置．已知三棱錐的外接球的球心恰是的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.與平面所成的角相等B.C.二面角的大小可能為D.若，則球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，取的中點，因為，所以點是的外心，連接，則平面，因為是的中點，所以，所以平面，點是是的中點，，所以，又，所以，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因為，，，平面，所以平面，平面，所以，做，交于點，，平面，所以平面，平面，所以，所以即為的平面角，若，則，而在直角三角形中，斜邊，這是不可能的，故C錯誤；對于D，若，則，，所以，外接球半徑，，故D正確故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某校有4名同學到三個社區(qū)參加新時代文明實踐宣傳活動，要求每名同學只去1個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名同學，則甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的概率________．〖答案〗〖解析〗先將4名同學中的2名同學看作一組，選法有種，另外兩組各1人，分配到三個社區(qū)，則總分法有種，其中甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的分法有種，則甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的概率為．13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為________．(若，則)〖答案〗〖解析〗依題可知，，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多為．14.“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)，，則，兩點間的曼哈頓距離已知，點在圓上運動，若點滿足，則的最大值為_________．〖答案〗〖解析〗由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點，則，故點的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求的值;（2）是否存在實數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說明理由.解：（1），則，故曲線在處的切線為，即，當時，此時切線為，不符合要求當時，令，有，令，有，故，即，故.（2），①當時，在上單調(diào)遞增，的最大值是，解得，舍去;②當時，由，得，當，即時，時，時，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，又在上的最大值為;當，即時，在上單調(diào)遞增，，解得，舍去.綜上所述，存在符合題意，此時.16.某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務水平，現(xiàn)對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．（1）若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標為A，否則該組標為B，記詢問的某組被標為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標為B的概率，試求的最大值及此時m的值．解：（1）因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標為B的概率，所以，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當時，5組中恰有3組被標為B的概率最大，且的最大值為．17.如圖，在平行六面體中，，，，，點P滿足．（1）證明：O，P，三點共線；（2）求直線與平面PAB所成角的正弦值．（1）證明：，所以，而，所以，即O，P，三點共線．（2）解：連接，，，所以，，，，，由余弦定理得，同理可得，．又為B