2025屆廣西欽州市示范性高中高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西欽州市示范性高中2025屆高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故選：C.2.下列四個(gè)命題中，是真命題的為（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使〖答案〗C〖解析〗由于對(duì)任意，都有，因而有，故A為假命題．由于，當(dāng)x=0時(shí)，不成立，故B為假命題．由于，當(dāng)x=-1時(shí)，，故C為真命題．由于使成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3，故D是假命題．故選：C.3.若都為非零向量，且，，則向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，即，化?jiǎn)得，所以．所以．因?yàn)?，所以．故選：D．4.下列命題中正確的是()A.一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)B.對(duì)一組數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)?，其中，則平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生改變C.有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30D.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)是3，中位數(shù)是，眾數(shù)等于中位數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)?，其中，則平均數(shù)增加C，標(biāo)準(zhǔn)差不變，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則，故D正確．故選：D．5.已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗A〖解析〗∵點(diǎn)，，∴，又∵動(dòng)點(diǎn)滿足，∴點(diǎn)的軌跡方程是射線：（），故選A.6.函數(shù)圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)A，C不滿足；當(dāng)時(shí)，，即有，選項(xiàng)D不滿足，B符合題意.故選：B.7.2020年12月4日，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉教授等人成功構(gòu)建76個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”（命名為“九章”是為了紀(jì)念中國(guó)古代最早的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》），求解數(shù)學(xué)算法高斯玻色取樣只需200秒，而目前世界最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)要用6億年，這一突破使我國(guó)成為全球第二個(gè)實(shí)現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國(guó)家．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上衰二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體（如圖）”，下底面寬丈，長(zhǎng)丈，上棱丈，與平面平行．與平面的距離為1丈，則它的體積是（）A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈〖答案〗B〖解析〗如圖，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，過(guò)作，交于，交于，過(guò)作，交于，交于，所以，，且四邊形與四邊形都是矩形；所以它的體積（立方丈），故選：B.8.若，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一：由，，消去得到，令，，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為．當(dāng)時(shí)，，不成立，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.綜上所述：的最大值為．方法二：由，，可消去得到，則，令，，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若函數(shù)則（）A.的最小正周期為10 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗AD〖解析〗，A正確.因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D正確.若，則，由的圖象可知，在上有最大值，沒(méi)有最小值，C錯(cuò)誤.故選：AD.10.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)時(shí)，C.以線段為直徑的圓與直線相切D.當(dāng)最小時(shí)，切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，依題意可設(shè)直線的方程為，，，，則，，聯(lián)立，消整理得，則，代入得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故A正確；對(duì)于B，結(jié)合A可得，，由，得，解得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，則，，，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取，則可設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，解得，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，，即切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對(duì)稱，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.函數(shù)奇函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，，∴ω＝2，對(duì)于A選項(xiàng)，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，故A正確，，將函數(shù)的圖象平移后得到函數(shù)的圖象，則，對(duì)于B選項(xiàng)，由，得到的對(duì)稱軸為，顯然不是其對(duì)稱軸，故，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)顯然不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，，的遞增區(qū)間即的遞減區(qū)間，令，解得，故的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有,解得：，所以.13.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P（1，2），則___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以，所以.14.某學(xué)校圍棋社團(tuán)組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手，段位越高水平越高，已知高二每個(gè)段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強(qiáng)一些，比賽共三局，每局雙方各派一名選手出場(chǎng)，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對(duì)方選手的出場(chǎng)順序．則第一局比賽高一獲勝的概率為______，在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)為高一出場(chǎng)選手，為高二出場(chǎng)選手，其中表示段位，則第一局比賽中，共有，共9個(gè)基本事件，其中高一能取得勝利的基本事件為，，，共3個(gè)，所以第一局比賽高一獲勝的概率為，在一場(chǎng)三局比賽中，共有不同種安排方法，其中高一能獲勝的安排方法為，，，，，，共6種，故在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）D是線段上的點(diǎn)，且，，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，所以，?（2）設(shè)，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，，，在中，由正弦定理可知，即，即，化?jiǎn)可得，即，,所以.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無(wú)極值，不合題意，所以的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過(guò)棱的中點(diǎn)E作于點(diǎn)，連接．（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如圖，因兩兩垂直，故可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，P0,0,1，，D∴，．由（1）可知，可看成平面的一個(gè)法向量，可看成平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的所成角為，∴，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．18.在一場(chǎng)乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過(guò)抽簽兩兩對(duì)陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來(lái)，“勝區(qū)”的兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者晉級(jí)最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣丁；①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對(duì)陣，勝者晉級(jí)，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）①記“甲獲得第四名”為事件，則；②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)次為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為2，3，4，連敗兩局：，可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；負(fù)勝負(fù)；勝負(fù)負(fù)；，；故的分布列如下：234故數(shù)學(xué)期望；（2）“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率，在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為，由，且所以時(shí)，，“雙敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；時(shí)，，“單敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；時(shí)，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.19.牛頓（1643－1727）給出了牛頓切線法求方程的近似解：如圖設(shè)是y=fx的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過(guò)點(diǎn)x0,fx0作曲線y=fx的切線，與軸的交點(diǎn)為橫坐標(biāo)為，稱為的1次近似值，過(guò)點(diǎn)x1,fx1作曲線y=fx的切線，與軸的交點(diǎn)為橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值．一般地，過(guò)點(diǎn)作曲線y=fx的切線，與軸的交點(diǎn)為橫坐標(biāo)為，就稱為的次近似值，稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．（1）若的零點(diǎn)為，，請(qǐng)用牛頓切線法求的2次近似值；（2）已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，數(shù)列為的牛頓數(shù)列，數(shù)列滿足，且．（?。┰O(shè)，求的〖解析〗式；（ⅱ）證明：（1）解：，所以當(dāng)，所以當(dāng)，所以的2次近似值為.（2）（?。┙猓阂?yàn)槎魏瘮?shù)有兩個(gè)不等實(shí)根,所以不妨設(shè)，則，因?yàn)樗运栽跈M坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為令則即，所以.（?、。┳C明：由（?。┲?，所以.因?yàn)樗运?令則，又所以，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列..令，則當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以，即因?yàn)樗约?.廣西欽州市示范性高中2025屆高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故選：C.2.下列四個(gè)命題中，是真命題的為（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使〖答案〗C〖解析〗由于對(duì)任意，都有，因而有，故A為假命題．由于，當(dāng)x=0時(shí)，不成立，故B為假命題．由于，當(dāng)x=-1時(shí)，，故C為真命題．由于使成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3，故D是假命題．故選：C.3.若都為非零向量，且，，則向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以，即，化?jiǎn)得，所以．所以．因?yàn)?，所以．故選：D．4.下列命題中正確的是()A.一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)B.對(duì)一組數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)椋渲?，則平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生改變C.有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30D.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)是3，中位數(shù)是，眾數(shù)等于中位數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)?，其中，則平均數(shù)增加C，標(biāo)準(zhǔn)差不變，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則，故D正確．故選：D．5.已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗A〖解析〗∵點(diǎn)，，∴，又∵動(dòng)點(diǎn)滿足，∴點(diǎn)的軌跡方程是射線：（），故選A.6.函數(shù)圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)A，C不滿足；當(dāng)時(shí)，，即有，選項(xiàng)D不滿足，B符合題意.故選：B.7.2020年12月4日，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉教授等人成功構(gòu)建76個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”（命名為“九章”是為了紀(jì)念中國(guó)古代最早的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》），求解數(shù)學(xué)算法高斯玻色取樣只需200秒，而目前世界最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)要用6億年，這一突破使我國(guó)成為全球第二個(gè)實(shí)現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國(guó)家．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上衰二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”意思為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體（如圖）”，下底面寬丈，長(zhǎng)丈，上棱丈，與平面平行．與平面的距離為1丈，則它的體積是（）A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈〖答案〗B〖解析〗如圖，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，過(guò)作，交于，交于，過(guò)作，交于，交于，所以，，且四邊形與四邊形都是矩形；所以它的體積（立方丈），故選：B.8.若，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一：由，，消去得到，令，，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為．當(dāng)時(shí)，，不成立，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.綜上所述：的最大值為．方法二：由，，可消去得到，則，令，，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若函數(shù)則（）A.的最小正周期為10 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗AD〖解析〗，A正確.因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D正確.若，則，由的圖象可知，在上有最大值，沒(méi)有最小值，C錯(cuò)誤.故選：AD.10.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)時(shí)，C.以線段為直徑的圓與直線相切D.當(dāng)最小時(shí)，切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，依題意可設(shè)直線的方程為，，，，則，，聯(lián)立，消整理得，則，代入得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故A正確；對(duì)于B，結(jié)合A可得，，由，得，解得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，則，，，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取，則可設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，解得，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，，即切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對(duì)稱，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.函數(shù)奇函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，，∴ω＝2，對(duì)于A選項(xiàng)，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，故A正確，，將函數(shù)的圖象平移后得到函數(shù)的圖象，則，對(duì)于B選項(xiàng)，由，得到的對(duì)稱軸為，顯然不是其對(duì)稱軸，故，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)顯然不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，，的遞增區(qū)間即的遞減區(qū)間，令，解得，故的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有,解得：，所以.13.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P（1，2），則___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以，所以.14.某學(xué)校圍棋社團(tuán)組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手，段位越高水平越高，已知高二每個(gè)段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強(qiáng)一些，比賽共三局，每局雙方各派一名選手出場(chǎng)，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對(duì)方選手的出場(chǎng)順序．則第一局比賽高一獲勝的概率為______，在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)為高一出場(chǎng)選手，為高二出場(chǎng)選手，其中表示段位，則第一局比賽中，共有，共9個(gè)基本事件，其中高一能取得勝利的基本事件為，，，共3個(gè)，所以第一局比賽高一獲勝的概率為，在一場(chǎng)三局比賽中，共有不同種安排方法，其中高一能獲勝的安排方法為，，，，，，共6種，故在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）D是線段上的點(diǎn)，且，，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所以，?（2）設(shè)，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，，，在中，由正弦定理可知，即，即，化?jiǎn)可得，即，,所以.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無(wú)極值，不合題意，所以的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過(guò)棱的中點(diǎn)E作于點(diǎn)，連接．（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如圖，因兩兩垂直，故可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，P0,0,1，，D∴，．由（1）可知，可看成平面的一個(gè)法向量，可看成平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的所成角為，∴，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．18.在一場(chǎng)乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過(guò)抽簽兩兩對(duì)陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來(lái)，“