2025屆河南省焦作市高三上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復數(shù)，則（）A. B.4 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由題設有，故，故，故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.-2,3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為所以,所以,因為，所以,所以.故選：C.3.半徑為4的實心球與半徑為2的實心球體積之差的絕對值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知實心球體積為，實心球體積為，所以實心球與實心球體積之差的絕對值為.故選：A.4.已知向量，，其中，若，則（）A.40 B.48 C.51 D.62〖答案〗C〖解析〗因為，，且，所以，解得或，又，所以，此時，，所以，所以.故選：C.5.已知的內角A，B，C的對邊a，b，c成等差數(shù)列，且，，則（）A.5 B. C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，，由余弦定理可得，，即，解得.故選：B.6.已知點在拋物線上，則C焦點與點之間的距離為（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因為在拋物線上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦點坐標為，故所求距離為，故選：D.7.已知a，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，故，而，所以，故選：D.8.已知當時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，所以當時，，單調遞減；時，，單調遞增，所以，又，所以的值域為，令，則，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，又當時，恒成立，所以，故實數(shù)a的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線與圓有兩個交點，則整數(shù)的可能取值有（）A.0 B. C.1 D.3〖答案〗AC〖解析〗圓即為：，故圓心，半徑為，因為直線與圓有兩個不同的交點，故，故，結合選項可知AC符合題意.故選：AC.10.已知對數(shù)函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.的定義域為 B.有解C.不存在極值點 D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，由對數(shù)函數(shù)的定義知的定義域為，故A錯誤；對于B選項，令，則，即，解得（舍去）或，故B正確；對于C選項，，則，設函數(shù)，則為增函數(shù)，令，解得，則時，，單調遞減，時，，單調遞增，且在0,1上gx<0，所以由圖象性質可知的圖象為的圖象向左平移一個單位長度得到，且兩者無交點，則f'x無零點，即不存在極值點，故C對于D選項，因為，當時，，故即，故D正確.故選：BCD.11.北京時間2024年8月12日凌晨，第33屆法國巴黎奧運會閉幕式正式舉行，中國體育代表團以出色的表現(xiàn)再次證明了自己的實力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績，也向世界展示了中國體育的蓬勃發(fā)展和運動員們頑強拼搏的精神.某校社團為發(fā)揚奧運體育精神舉辦了競技比賽，此比賽共有5名同學參加，賽后經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到該5名同學在此次比賽中所得成績的平均數(shù)為8，方差為4，比賽成績，且，則該5名同學中比賽成績的最高分可能為（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗設該5名同學在此次比賽中所得成績分別為，，，，，由題得，則，且，則，不妨設最大，對于A選項，若，則不成立，故A錯誤；對于B選項，若，則，則滿足題意，例如5位同學成績可為7，7，7，7，12，故B正確；對于C選項，若，則，則滿足題意，例如5位同學的成績可為5，7，8，9，11，故C正確；對于D選項，若，則且，則，，則可得，該方程組無正整數(shù)解，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線方程為______.〖答案〗〖解析〗由題得，所以曲線在點處的切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為.13.被10除的余數(shù)為______.〖答案〗1〖解析〗由題，因為可以被10整除，所以被10除的余數(shù)為1.14.在中，若，，三點分別在邊，，上（均不在端點上），則，，的外接圓交于一點O，稱為密克點.在梯形ABCD中，，，M為CD的中點，動點P在BC邊上（不包含端點），與的外接圓交于點Q（異于點P），則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗延長，交于點E，則由題可知為正三角形，由題設結論，，的外接圓有唯一公共點，該公共點即為題中的點Q，故點Q在的外接圓上，如上圖，又由題，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圓半徑，在中，由余弦定理，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓C：的焦距為，離心率為.（1）求C的標準方程；（2）若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點，且面積為，求t的值.解：（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標準方程為.（2）由題意設，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設直線l與x軸的交點為，又，則，故，結合，解得.16.交通強國，鐵路先行，每年我國鐵路部門都會根據(jù)運輸需求進行鐵路調圖，一鐵路線l上有自東向西依次編號為1，2，…，21的21個車站.（1）為調查乘客對調圖的滿意度，在編號為10和11兩個站點多次乘坐列車P的旅客中，隨機抽取100名旅客，得出數(shù)據(jù)（不完整）如下表所示：車站編號滿意不滿意合計102840113合計85完善表格數(shù)據(jù)并計算分析：依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，在這兩個車站中，能否認為旅客滿意程度與車站編號有關聯(lián)？（2）根據(jù)以往調圖經(jīng)驗，列車P在編號為8至14的終到站每次調圖時有的概率改為當前終到站的西側一站，有的概率改為當前終到站的東側一站，每次調圖之間相互獨立.已知原定終到站編號為11的列車P經(jīng)歷了3次調圖，第3次調圖后的終到站編號記為X，求X的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）補充列聯(lián)表如下：車站編號滿意不滿意合計102812401157360合計8515100零假設為：旅客滿意程度與車站編號無關，則，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為旅客滿意程度與車站編號有關聯(lián).（2）由題X的可能取值為，則；；；，所以X的分布列為X8101214P所以.17.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，且，.（1）僅用無刻度直尺作出四棱錐的高，寫出作圖過程并證明；（2）若平面平面，平面平面，證明：四邊形是菱形.（1）解：連接交于點H，連接，則是四棱錐的高.由于該四棱錐底面為平行四邊形，故點H為與的中點，又，，故有，，又，，平面，故平面，即為四棱錐的高.（2）（方法一）證明：以H為原點，以、的方向分別為x軸、z軸的正方向，以垂直于的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，，，，，則，，，設平面、平面的法向量分別為n1=x1,則，，故，，即，，令，解得，，所以，，因為平面平面，所以，①同理可得平面、平面的一個法向量分別為，，故，即，②聯(lián)立①②解得，因此，，故，而四邊形ABCD是平行四邊形，故四邊形ABCD是菱形.（方法二）證明：過點H作交于點E，交于點F，過點H作交于點M，交于點N，連接，因為平面，、平面，所以，，因為，、平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，平面，故平面，設平面平面，又平面，所以，所以，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；因為，、平面，所以平面，又平面，所以，因為平面，平面，故平面，平面平面，又平面，所以，所以，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；因為H為平行四邊形對角線的交點，所以，，所以，所以，又，所以，所以平行四邊形是菱形.18.已知.（1）證明：是奇函數(shù)；（2）若，證明在上有一個零點，且.證明：（1）的定義域為，.由奇函數(shù)的定義知是奇函數(shù).（2）由對稱性，不妨取，則，而.下證，設，，，，則（當且僅當，，即時取等號）.的定義域為，.由對稱性，不妨取，則，故在上單調遞增.當時，；當時，.由零點存在定理知在上有一個零點，故.19.對于一個正項數(shù)列，若存在一正實數(shù)，使得且，有，我們就稱是-有限數(shù)列.（1）若數(shù)列滿足，，，證明：數(shù)列為1-有限數(shù)列；（2）若數(shù)列是-有限數(shù)列，，使得且，，證明：.證明：（1）因為且為正項數(shù)列，故，而，，故當時，，因為，故，由累加法可得，故，故數(shù)列為1-有限數(shù)列；（2）因為且，，故.河南省焦作市2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復數(shù)，則（）A. B.4 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由題設有，故，故，故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.-2,3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為所以,所以,因為，所以,所以.故選：C.3.半徑為4的實心球與半徑為2的實心球體積之差的絕對值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知實心球體積為，實心球體積為，所以實心球與實心球體積之差的絕對值為.故選：A.4.已知向量，，其中，若，則（）A.40 B.48 C.51 D.62〖答案〗C〖解析〗因為，，且，所以，解得或，又，所以，此時，，所以，所以.故選：C.5.已知的內角A，B，C的對邊a，b，c成等差數(shù)列，且，，則（）A.5 B. C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，，由余弦定理可得，，即，解得.故選：B.6.已知點在拋物線上，則C焦點與點之間的距離為（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因為在拋物線上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦點坐標為，故所求距離為，故選：D.7.已知a，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，故，而，所以，故選：D.8.已知當時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，所以當時，，單調遞減；時，，單調遞增，所以，又，所以的值域為，令，則，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，又當時，恒成立，所以，故實數(shù)a的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線與圓有兩個交點，則整數(shù)的可能取值有（）A.0 B. C.1 D.3〖答案〗AC〖解析〗圓即為：，故圓心，半徑為，因為直線與圓有兩個不同的交點，故，故，結合選項可知AC符合題意.故選：AC.10.已知對數(shù)函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.的定義域為 B.有解C.不存在極值點 D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，由對數(shù)函數(shù)的定義知的定義域為，故A錯誤；對于B選項，令，則，即，解得（舍去）或，故B正確；對于C選項，，則，設函數(shù)，則為增函數(shù)，令，解得，則時，，單調遞減，時，，單調遞增，且在0,1上gx<0，所以由圖象性質可知的圖象為的圖象向左平移一個單位長度得到，且兩者無交點，則f'x無零點，即不存在極值點，故C對于D選項，因為，當時，，故即，故D正確.故選：BCD.11.北京時間2024年8月12日凌晨，第33屆法國巴黎奧運會閉幕式正式舉行，中國體育代表團以出色的表現(xiàn)再次證明了自己的實力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績，也向世界展示了中國體育的蓬勃發(fā)展和運動員們頑強拼搏的精神.某校社團為發(fā)揚奧運體育精神舉辦了競技比賽，此比賽共有5名同學參加，賽后經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到該5名同學在此次比賽中所得成績的平均數(shù)為8，方差為4，比賽成績，且，則該5名同學中比賽成績的最高分可能為（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗設該5名同學在此次比賽中所得成績分別為，，，，，由題得，則，且，則，不妨設最大，對于A選項，若，則不成立，故A錯誤；對于B選項，若，則，則滿足題意，例如5位同學成績可為7，7，7，7，12，故B正確；對于C選項，若，則，則滿足題意，例如5位同學的成績可為5，7，8，9，11，故C正確；對于D選項，若，則且，則，，則可得，該方程組無正整數(shù)解，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線方程為______.〖答案〗〖解析〗由題得，所以曲線在點處的切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為.13.被10除的余數(shù)為______.〖答案〗1〖解析〗由題，因為可以被10整除，所以被10除的余數(shù)為1.14.在中，若，，三點分別在邊，，上（均不在端點上），則，，的外接圓交于一點O，稱為密克點.在梯形ABCD中，，，M為CD的中點，動點P在BC邊上（不包含端點），與的外接圓交于點Q（異于點P），則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗延長，交于點E，則由題可知為正三角形，由題設結論，，的外接圓有唯一公共點，該公共點即為題中的點Q，故點Q在的外接圓上，如上圖，又由題，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圓半徑，在中，由余弦定理，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓C：的焦距為，離心率為.（1）求C的標準方程；（2）若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點，且面積為，求t的值.解：（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標準方程為.（2）由題意設，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設直線l與x軸的交點為，又，則，故，結合，解得.16.交通強國，鐵路先行，每年我國鐵路部門都會根據(jù)運輸需求進行鐵路調圖，一鐵路線l上有自東向西依次編號為1，2，…，21的21個車站.（1）為調查乘客對調圖的滿意度，在編號為10和11兩個站點多次乘坐列車P的旅客中，隨機抽取100名旅客，得出數(shù)據(jù)（不完整）如下表所示：車站編號滿意不滿意合計102840113合計85完善表格數(shù)據(jù)并計算分析：依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，在這兩個車站中，能否認為旅客滿意程度與車站編號有關聯(lián)？（2）根據(jù)以往調圖經(jīng)驗，列車P在編號為8至14的終到站每次調圖時有的概率改為當前終到站的西側一站，有的概率改為當前終到站的東側一站，每次調圖之間相互獨立.已知原定終到站編號為11的列車P經(jīng)歷了3次調圖，第3次調圖后的終到站編號記為X，求X的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）補充列聯(lián)表如下：車站編號滿意不滿意合計102812401157360合計8515100零假設為：旅客滿意程度與車站編號無關，則，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為旅客滿意程度與車站編號有關聯(lián).（2）由題X的可能取值為，則；；；，所以X的分布列為X8101214P所以.17.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，且，.（1）僅用無刻度直尺作出四棱錐的高，寫出作圖過程并證明；（2）若平面平面，平面平面，證明：四邊形是菱形.（1）解：連接交于點H，連接，則是四棱錐的高.由于該四棱錐底面為平行四邊形，故點H為與的中點，又，，故有，，又，，平面，故平