2025屆浙江省數(shù)海漫游高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省數(shù)海漫游2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合合題目要求的.1.()A.0 B.1 C.2024 D.2025〖答案〗A〖解析〗令,則,所以.故選:A.2.已知,,則()A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為,且,所以.故選:C.3.已知長方體中,,則四面體的體積是()A. B.16 C. D.32〖答案〗A〖解析〗如圖所示:可知四面體即為長方體中去掉4個全等的三棱錐,所以四面體的體積為.故選:A.4.設(shè),是單位向量,則的最小值是()A. B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗設(shè),的夾角為,因,則,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以的最小值是1.故選:D.5.天上有三顆星星,地上有四個孩子.每個孩子向一顆星星許愿,如果一顆星星只收到一個孩子的愿望,那么該愿望成真,若一顆星星收到至少兩個孩子的愿望,那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真,則至少有兩個孩子愿望成真的概率是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四個孩子向三顆星星許愿,一共有種可能的許愿方式.由于四個人選三顆星星,那么至少有一顆星星被兩個人選,這兩個人愿望無法實現(xiàn),至多只能實現(xiàn)兩個人的愿望,所以至少有兩個孩子愿望成真,只能是有兩顆星星各有一個人選,一顆星星有兩個人選,可以先從四個孩子中選出兩個孩子,讓他們共同選一顆星星,其余兩個人再選另外兩顆星,有種情況,所以所求概率為.故選:C.6.若數(shù)列滿足:對于任意正整數(shù)n,,則稱,互為交錯數(shù)列.記正項數(shù)列的前n項和為,已知1,,成等差數(shù)列,則與數(shù)列互為交錯數(shù)列的是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由1,,成等差數(shù)列,可得,,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,由,可得,上面兩式相減可得,化為,由,即有,是3為首項,2為公差的等差數(shù)列,可得,對A,,,與數(shù)列不互為交錯數(shù)列,故A選項錯誤;對B,由,可得,與數(shù)列不互為交錯數(shù)列,故B選項錯誤;對C,由,,與數(shù)列不互為交錯數(shù)列,故C選項錯誤;對D,由可得,與數(shù)列互為交錯數(shù)列,故D正確.故選:D.7.已知,分別為橢圓C:的左右焦點,過的一條直線與C交于A,B兩點,且,,則橢圓長軸長的最小值是()A. B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè),則,,,由,可得,則,有,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.則橢圓長軸長的最小值是.故選:B.8.已知,則()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為,整理可得,則,如圖所示:且當(dāng)2-1可知:與有3個交點,依次為,可知的解集為,即,此時,可得,則,即,整理可得,注意到20可知與有3個交點,依次為,則不等式的解集為,即;對比選項可知:一定成立的只有選項D.故選:D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中,且AC:,則直線AB方程可能為()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,直線斜率為2,有,則.依題意有或,當(dāng)時,,即,解得,即直線的斜率為-3,C選項中的直線斜率符合;當(dāng)時,,即,解得,即直線的斜率為,B選項中的直線斜率符合.故選:BC.10.已知模長均為1的復(fù)數(shù),滿足,則()A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設(shè),,因為,所以,,因為復(fù)數(shù),的模長均為1,所以,,所以,即且,所以,故選項正確;所以,故選項正確;因為,所以,故選項錯誤;又,故選項正確.故選:.11.如圖,小黃家的墻上固定了一盞圓錐(截面為等腰直角三角形)形狀的燈,燈光可以照亮的部分是個無限大的圓臺,其截面的邊界分別垂直于PA,PB.已知墻與地板垂直,燈向上或向下轉(zhuǎn)動的極限均為45°(即AB可以繞O點順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)45°).若地板和墻都充分大,則燈光照在地板上的邊界的可能形狀有()A.橢圓 B.雙曲線的一支C.拋物線 D.一條直線〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意,燈光可以照亮的部分是個無限大的圓臺,該問題可以轉(zhuǎn)化為用平面截圓臺,所得的截面問題,若固定燈不動,則只考慮地板從旋轉(zhuǎn)到,設(shè),則根據(jù)圓錐曲線的定義,有:截面與圓臺軸平行時,截得雙曲線的一支;截面與圓臺的母線平行時,截得拋物線;截面不可能只與圓臺側(cè)面相交,不能截得橢圓;截面不可能與圓臺側(cè)面相切,不能截得直線.故選:BC.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列,,,構(gòu)成等比數(shù)列,則的值是______.(任寫出一個即可)〖答案〗1或(任寫一個即正確)〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為,由,,構(gòu)成等比數(shù)列,則有,即,解得或,時,;時,.故〖答案〗為:1或(任寫一個即正確).13.已知a,b,,二次函數(shù)有零點,則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因為a,b,,設(shè),則,二次函數(shù)fx則,可得,設(shè),顯然,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,則,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,即,所以的最小值是.14.若兩個體積相等的圓錐底面半徑之比為2,則它們表面積之比的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)兩個圓錐的底面半徑分別為,高分別為,由題意可知:,可得,則它們表面積之比為,令,則,表面積之比為,設(shè),可知關(guān)于x的方程有正根,即關(guān)于t的方程在有根,設(shè),若,即時,,不合題意;若,即時,則,因為,且,則,可得,解得;綜上所述:x的取值范圍為.所以表面積之比的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四面體ABCD中,P是內(nèi)部或邊界上一點,滿足,.(1)證明:當(dāng)取最小值時,;(2)設(shè),求的取值范圍.(1)證明:如圖:取中點,中點,連接,則,.因為,,所以三點共線.又四面體為正四面體,所以,當(dāng)為中點時,,此時取得最小值.又,所以.(2)解:易知,.所以,,,故().根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時,有最小值,為;當(dāng)或時,有最大值,為.故的取值范圍為:16.設(shè),函數(shù).(1)若,討論的單調(diào)性;(2)求的最大值.解:(1)令,且,解得,可知的定義域為,且,因為,且,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,;可知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.(2)由(1)可知:的定義域為,且,若,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以的最大值為;若,令,解得或;令,解得或;可知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,且,所以的最大值為;綜上所述:若,的最大值為;若,的最大值為.17.隨著疫情防控政策的優(yōu)化,國內(nèi)演唱會市場迅速升溫,一眾熱門歌手的演唱會現(xiàn)場更是“一座難求”.小林是林俊杰的粉絲,他很想?yún)⑴c林俊杰“JJ20”世界巡回演唱會-杭州站.主辦方被小林的真誠打動,特為小林開辟了一個搶票通道,共100人從該通道參與搶票,每個人能搶到票的概率均,且搶票結(jié)果相互獨(dú)立(1)為保證該搶票通道不會出現(xiàn)故障(不存在搶到票卻沒有座位的人),主辦方至少要為該通道預(yù)留多少張票;(2)由于主辦方非常喜歡小林創(chuàng)立的數(shù)海漫游微信公眾號,于是允許多個人幫小林一同搶票,但如果存在兩個人都幫小林搶到了票(包括小林自己),則小林因為“一人多票”,無法觀看演出.那么,你建議小林額外找?guī)讉€人幫他一起搶票呢?請說明理由.解:(1)因為這100人均有可能搶到票,若要保證該搶票通道不會出現(xiàn)故障,所以主辦方至少要為該通道預(yù)留100張票.(2)若小林額外找個人幫他一起搶票,則搶到票的概率為,可得,令,解得;令,解得;令,解得;即,所以小林額外找18或19個人幫他一起搶票.18.已知P為雙曲線C:上一點,O為坐標(biāo)原點,線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切.(1)若點P是直線與圓的交點,求a;(2)求的取值范圍.解:(1)聯(lián)立方程:,解得或,即點為或,將點代入雙曲線C:可得,解得,所以.(2)先證:在雙曲線上一點處的切線方程為.因為點在雙曲線上,則,顯然直線過點,即,,聯(lián)立方程,消去y可得,即,則,解得,所以在雙曲線上一點處的切線方程為.設(shè),,則,可得線段OP的垂直平分線為,即,設(shè)直線與雙曲線C切于點x1,y1則,即,且,即,整理可得,又因為在雙曲線C上,則,即,可得,解得(舍負(fù)),則,令,則,可得,令,則關(guān)于x的方程有正根,即關(guān)于t的方程在內(nèi)有根,設(shè),若,即,則,不合題意;若,即,則f1=x2-2x>0若,即,則,解得;綜上所述:,則,即.19.設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且各項均為正整數(shù),數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前n項和為.若存在正整數(shù),使得,則稱為數(shù)列的信息熵.(1)已知存在正整數(shù),滿足,,2,…,,,①求(用含的表達(dá)式表示);②證明:數(shù)列的信息熵小于2;(2)請寫出,,,四個表達(dá)式的大小關(guān)系,并說明理由.(1)①解:由,兩式相減得:,所以,.由,所以.所以,,,…,,,以上各式相乘得:.②證明:當(dāng)時,;而當(dāng)時,,所以,所以兩式相減,得:,所以數(shù)列的信息熵小于2.(2)解:因為,,,所以:,.所以,當(dāng)時,,,,,因為,故猜測:.證明如下:設(shè)(),則(),由;由.所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,所以()即(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)首先:易知,所以,故.則.又,所以,所以則,因為,所以即.所以,得證.所以:.浙江省數(shù)海漫游2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合合題目要求的.1.()A.0 B.1 C.2024 D.2025〖答案〗A〖解析〗令,則,所以.故選:A.2.已知,,則()A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為,且,所以.故選:C.3.已知長方體中,,則四面體的體積是()A. B.16 C. D.32〖答案〗A〖解析〗如圖所示:可知四面體即為長方體中去掉4個全等的三棱錐,所以四面體的體積為.故選:A.4.設(shè),是單位向量,則的最小值是()A. B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗設(shè),的夾角為,因,則,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以的最小值是1.故選:D.5.天上有三顆星星,地上有四個孩子.每個孩子向一顆星星許愿,如果一顆星星只收到一個孩子的愿望,那么該愿望成真,若一顆星星收到至少兩個孩子的愿望,那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真,則至少有兩個孩子愿望成真的概率是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四個孩子向三顆星星許愿,一共有種可能的許愿方式.由于四個人選三顆星星,那么至少有一顆星星被兩個人選,這兩個人愿望無法實現(xiàn),至多只能實現(xiàn)兩個人的愿望,所以至少有兩個孩子愿望成真,只能是有兩顆星星各有一個人選,一顆星星有兩個人選,可以先從四個孩子中選出兩個孩子,讓他們共同選一顆星星,其余兩個人再選另外兩顆星,有種情況,所以所求概率為.故選:C.6.若數(shù)列滿足:對于任意正整數(shù)n,,則稱,互為交錯數(shù)列.記正項數(shù)列的前n項和為,已知1,,成等差數(shù)列,則與數(shù)列互為交錯數(shù)列的是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由1,,成等差數(shù)列,可得,,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,由,可得,上面兩式相減可得,化為,由,即有,是3為首項,2為公差的等差數(shù)列,可得,對A,,,與數(shù)列不互為交錯數(shù)列,故A選項錯誤;對B,由,可得,與數(shù)列不互為交錯數(shù)列,故B選項錯誤;對C,由,,與數(shù)列不互為交錯數(shù)列,故C選項錯誤;對D,由可得,與數(shù)列互為交錯數(shù)列,故D正確.故選:D.7.已知,分別為橢圓C:的左右焦點,過的一條直線與C交于A,B兩點,且,,則橢圓長軸長的最小值是()A. B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè),則,,,由,可得,則,有,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.則橢圓長軸長的最小值是.故選:B.8.已知,則()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為,整理可得,則,如圖所示:且當(dāng)2-1可知:與有3個交點,依次為,可知的解集為,即,此時,可得,則,即,整理可得,注意到20可知與有3個交點,依次為,則不等式的解集為,即;對比選項可知:一定成立的只有選項D.故選:D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中,且AC:,則直線AB方程可能為()A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,直線斜率為2,有,則.依題意有或,當(dāng)時,,即,解得,即直線的斜率為-3,C選項中的直線斜率符合;當(dāng)時,,即,解得,即直線的斜率為,B選項中的直線斜率符合.故選:BC.10.已知模長均為1的復(fù)數(shù),滿足,則()A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設(shè),,因為,所以,,因為復(fù)數(shù),的模長均為1,所以,,所以,即且,所以,故選項正確;所以,故選項正確;因為,所以,故選項錯誤;又,故選項正確.故選:.11.如圖,小黃家的墻上固定了一盞圓錐(截面為等腰直角三角形)形狀的燈,燈光可以照亮的部分是個無限大的圓臺,其截面的邊界分別垂直于PA,PB.已知墻與地板垂直,燈向上或向下轉(zhuǎn)動的極限均為45°(即AB可以繞O點順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)45°).若地板和墻都充分大,則燈光照在地板上的邊界的可能形狀有()A.橢圓 B.雙曲線的一支C.拋物線 D.一條直線〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意,燈光可以照亮的部分是個無限大的圓臺,該問題可以轉(zhuǎn)化為用平面截圓臺,所得的截面問題,若固定燈不動,則只考慮地板從旋轉(zhuǎn)到,設(shè),則根據(jù)圓錐曲線的定義,有:截面與圓臺軸平行時,截得雙曲線的一支;截面與圓臺的母線平行時,截得拋物線;截面不可能只與圓臺側(cè)面相交,不能截得橢圓;截面不可能與圓臺側(cè)面相切,不能截得直線.故選:BC.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列,,,構(gòu)成等比數(shù)列,則的值是______.(任寫出一個即可)〖答案〗1或(任寫一個即正確)〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為,由,,構(gòu)成等比數(shù)列,則有,即,解得或,時,;時,.故〖答案〗為:1或(任寫一個即正確).13.已知a,b,,二次函數(shù)有零點,則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因為a,b,,設(shè),則,二次函數(shù)fx則,可得,設(shè),顯然,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,則,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,即,所以的最小值是.14.若兩個體積相等的圓錐底面半徑之比為2,則它們表面積之比的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)兩個圓錐的底面半徑分別為,高分別為,由題意可知:,可得,則它們表面積之比為,令,則,表面積之比為,設(shè),可知關(guān)于x的方程有正根,即關(guān)于t的方程在有根,設(shè),若,即時,,不合題意;若,即時,則,因為,且,則,可得,解得;綜上所述:x的取值范圍為.所以表面積之比的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四面體ABCD中,P是內(nèi)部或邊界上一點,滿足,.(1)證明:當(dāng)取最小值時,;(2)設(shè),求的取值范圍.(1)證明:如圖:取中點,中點,連接,則,.因為,,所以三點共線.又四面體為正四面體,所以,當(dāng)為中點時,,此時取得最小值.又,所以.(2)解:易知,.所以,,,故().根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時,有最小值,為;當(dāng)或時,有最大值,為.故的取值范圍為:16.設(shè),函數(shù).(1)若,討論的單調(diào)性;(2)求的最大值.解:(1)令,且,解得,可知的定義域為,且,因為,且,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,;可知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.(2)由(1)可知:的定義域為,且,若,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以的最大值為;若,令,解得或;令,解得或;可知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,且,所以的最大值為;綜上所述:若,的最大值為;若,的最大值為.17.隨著疫情防控政策的優(yōu)化,國內(nèi)演唱會市場迅速升溫,一眾熱門歌手的演唱會現(xiàn)場更是“一座難求”.小林是林俊杰的粉絲,他很想?yún)⑴c林俊杰“JJ20”世界巡回演唱會-杭州站.主辦方被小林的真誠打動,特為小林開辟了一個搶票通道,共100人從該通道參與搶票,每個人能搶到票的概率均,且搶票結(jié)果相互獨(dú)立(1)為保證該搶票通道不會出現(xiàn)故障(不存在搶到票卻沒有座位的人),主辦方至少要為該通道預(yù)留多少張票;(2)由于主辦方非常喜歡小林創(chuàng)立的數(shù)海漫游微信公眾號,于是允許多個人幫小林一同搶票,但如果存在兩個人都幫小林搶到了票(包括小林自己),則小林因為“一人多票”,無法觀看演出.那么,你建議小林額外找?guī)讉€人幫他一起搶票呢?請說明理由.解:(1)因為這100人均有可能搶到票

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