2020～2021南通市海門區(qū)高三年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷及答案

海門2020?2021學(xué)年第一學(xué)期期末測試

高二數(shù)學(xué)

注意事項

考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求：

1.本試卷共5頁，包括單項選擇題（第1?8題）、多選題（第9?12題）、填空題（第13?

16題）和解答題（第17?22題）四部分。本次考試滿分為150分，考試時間為120分鐘。

考試結(jié)束后，請將答題卡交回。

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、考試號、考位號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫

在答題卡上。

3.請認(rèn)真核對答題卡表頭規(guī)定填寫或填涂的項目是否準(zhǔn)確。

4.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案。作答填空題和解答題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫

在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。

一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.已知集合A={R%2一無一2＜。},3={%卜AB=A,則實數(shù)根的取

值范圍為（）

A.（2,+8）B.（-1,2）C.[2,+8）D.（-1,2]

【答案】C

2已知復(fù)數(shù)Z=（l+2/）（2-。（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面

內(nèi)對應(yīng)的點為（）

A.（3,4）B.（3,-4）C.（4,3）D.（4,-3）

【答案】D

3.““〈I”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

4.2021年春節(jié)臨近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人數(shù)激增，為防控需要，南通

市某醫(yī)院呼吸科準(zhǔn)備從5名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選派3人前往3個隔離點進行

核酸檢測采樣工作，則選派的三人中至少有1名女醫(yī)生的概率為()

235152

A.—B.—C.—D.-

2814567

【答案】A

5.若(父+之］的二項式展開式中17項的系數(shù)為15,則〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

6.已知向量滿足忖=2,b=(l,l),Qb=-2,則cos<”,。+b>=()

A.1B.-1C.變D.一也

2222

【答案】C

7.已知函數(shù)若曲線>=/(%)在點處的切線與直線

丁=2%平行:，貝ija=()

A.-2B.-2或-1C.-1或2D.-1

【答案】A

解：/'(x)=2xe'“T+die3?—a

⑴=2e"M+ae“M-a=2

令名(4=(4+2)六_“_2

g(-l)=l-(-l)-2=0,a=-1可取但此時在點處的錘子數(shù)學(xué)切線為

y=2x,故舍去.

g(-2)=0+2-2=0,。=一2可取，選A.

8.已知實數(shù)A,滿足把q=§=--—,b>1,則a,b,c的大小關(guān)系為()

eaeec

A.a>b>cB.a>c>hC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

卜r*

解：b>l,:.—>0,--->0,.?.(?<(),

ebec

而?！?力>1,「.c最小

令/(%)==，，。)=二=o，％=i

ee

了⑴在(F,l),(l,+8)

\nab,八pm,

---=—>0,/.Intz>0,即a>l

ee

aInab

>:.b>a>c

7eaeh

綜上：Z?>a>c.選D.

二、多項選擇題：(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每個小題給出的

四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對得2分，有

選錯的得0分。)

X

9.某同學(xué)在研究函數(shù)/(?MLyCreR)時，給出下面幾個結(jié)論中正確的有()

1+國

人./(%)的圖象關(guān)于點(-1,1)對稱BJ(%)是單調(diào)函數(shù)

C./(%)的值域為(-1,1)D.函數(shù)g(尤)=/(%)-%有且只有一個零點

【答案】BCD

10.南通某大型汽車配件廠為提高對汽車配件生產(chǎn)的質(zhì)量產(chǎn)品要求，對現(xiàn)有某種

型號產(chǎn)品進行抽檢，由抽檢結(jié)果可知，該型號汽車配件質(zhì)量指標(biāo)J服從正態(tài)分布

N(200,224),則()

A.尸(185.03<J<200)=0.6826

B.P(200<^<229.94)=0.4772

C.尸(185.03<]<229.94)=0.9544

D.任取10000件該型號配件，其質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(185.03,229.94)內(nèi)件數(shù)約為

8185件.

(附：V224?14.97?若JN(〃Q2),

貝ijP(忻一“<°)=().6826,尸(除一”<2cr)=0.9544)

【答案】BD

11.已知函數(shù)〃%)=sin(s+0)(Q〉0,附<5),其圖象相鄰兩條對稱軸之間

的距離為四，且直線x=-2是其中一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是()

412

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為3

B.函數(shù)/(%)在區(qū)間「二二]上單調(diào)遞增

612

C.點-昔,0是函數(shù)圖象的一個對稱中心

D.將函數(shù)八％)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得

到的圖象向左平移二個單位長度，可得到g(%)=sin2x的圖象

【答案】AC

解：相鄰兩對稱軸間的距離叼

.?.3=工即T=工，A正確

242

2471

T=—=—,:.co=4,/(%)=sin(4%+0)

CD2

%=-三是一條對稱軸，:.--+(p=—+k7r,(P=三九+k冗，keZ

1232

71兀

時行，(0=----/(x)=sin4x----

6I6

71兀

了(%)在,B錯

6512

“冗,71k7T5冗

4%----=K7T,X二一，左GZ,攵=一1時,X—,

624424

--工方,。］是一個對稱中心，C對

I24)、

/(x)圖象上所有點橫坐標(biāo)伸長為錘子數(shù)學(xué)原來的2倍變?yōu)閟in2%-￡

16

再向左平移工個單位變?yōu)閟in2x+—71I-7-1=sin|2x+~7Csin2x,D錯

66667

選AC.

.,14/—

12.已知正數(shù)a,b滿足一+—=J^,貝lj()

ab

A.M+'-的最小值為2B.M的最小值為4

ab

C.a+4。的最小值為8D.4a+Z?的最小值為8

【答案】BD

(-Jab)2>4,即

aZ?+—1=—,A錯，B對

l"人ni4

/?+4tz=(V^)3>23=8,D對

。=1乃=4時錘子數(shù)學(xué)滿足已+:=而

ab

此時a+4〃=17>8,C錯

選BD.

三、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的

相應(yīng)位置。)

13.若數(shù)列｛%｝滿足：%+%+|=2〃+1，4=1,則%021=-

【答案】2021

14.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足.f(l—x)=/(l+x).若/⑴=2,貝IJ

/⑴+/(2)+〃3)++/(2021)=.

【答案】1

2222

15.設(shè)橢圓6：點+￡=1(。>6>())與雙曲線。2言一]=1(加>0,〃>())的公共焦

點為耳，鳥，將G，G的離心率記為弓,2，點A是在第一象限的公共點，若

22

點A關(guān)于c2的一條漸近線的對稱點為耳，則4+*4=.

e\e2

【答案】4

解A￡+AF2-2aAF]=a+m

AF｝-AF2=2mAF-,=a—m

A￡關(guān)于漸近線對稱，設(shè)錘子數(shù)學(xué)中點為M

則是中位線，OMAF2

OM±AFi,AF1±AF2

AF^+AF^=4c2

:.(a+m)2+(a-m)2=4c2,/.a1+nr=2c2

222

22222a+2m4cA

~+~~~+-------2----==4?

e；c~ccc

16.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角

形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”.

如圖，三棱柱ABC-AgG為一個“塹堵”，底面AA3C是

以A8為斜邊的直角三角形，且AB=5,AC=3,點尸在

棱BB］上,且PCJLPG，當(dāng)AAPq的面積取最小值時，三

棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

【答案】45不

解：法一：由“塹堵”的錘子數(shù)學(xué)定義可知，AABC為直角三角形，故

BC=」AB。-AC。=4,

易知AC_LPC；,又PCLPQ,所以PC；_L平面APC,于是得AP_LPC；

設(shè)B4=z,BP=t,則B/=zT,

貝1」4尸=14牙+5產(chǎn)=j25+7,PQ=JgC：+g尸=J16+(z-I,

AC,=Jg+cc：=79+z2,

由APLPG，得9+Z2=25+〃+16+(ZT)2,整理得Z=/+3,

所以尸G?=16+(z-r)*2=16+^-

所以S2為代=*6+料25+/)=2》+小等

22,41+2『拳=18,當(dāng)且僅當(dāng)『=誓，即1=2逐時AA7Y；的錘子數(shù)學(xué)面積

取得最小值18,止匕時AP=j25三訴甫=3石，

設(shè)三棱P-ABC錐的外接球半徑為R,由圖可知，線段AP為外接球的直徑

故所求外接球的表面積S=4^-x一=45%.

4

法二：令4PCB=e=4C\PB、,

則c/=±,CP=^—,不二

sin(9cos。v(cos6Jvcos_0

又因為AC_L平面CBgC，所以AC_LC/,

又CP上GP,所以G尸，平面AC尸，所以NC『A=90。,

-I14

AAPG的面積氏因"/尸"在前

二產(chǎn)「上呸?尸5]-J卜京值+碼*)

=J164+100+64tan261,當(dāng)且僅當(dāng)=64tan?6時,5?.取最小值，

Vtair。tan*MPC,

此時tan。=且，AP=」9+—^=J25+I6tan2°=35

2Vcos2^

在三棱錐尸-ABC中，因為NACP=NAB尸=90。,

取AP中點為O,則OC=O3=」"=Q4=OP,故O為三棱錐尸-ABC的錘子數(shù)

2

學(xué)外接球的球心，所以”為外接球直徑，5.球O=4成2=九4產(chǎn)=45乃.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟。

123nn

17.已知數(shù)列｛%｝滿足-----+------+------H--------------——

2。1—52a之一52a3—52an-53

1

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列.＞的前〃項和為7＞求卻

J

111+.??+1n.

解?(1)-----+------+------2a-5-3?

械2q-52a2-52a.-5

123〃—1_〃—1ZTX

〃N2時，--—+——+—2M-5=亍°

2%—52a2—52a3—5

n13/1+6

①-②=------=-=>?,=（北2）

2an-53”2

在①式中，令〃=1=>——-——=-=>(2=4,也滿足上式

2a,-53

3?+5

a=------

"2

⑵—14411

3HF53nF8-(3〃+5)(3/7+8)-3(3〃+53n+8

4%zz

22

_4111111411n

-381111143n+53〃+83183H+8j2(3n+8)

18.在平面四邊形ABC。中，已知A5=2遙，AO=3,

7T

/ADB=2/ABD，ABCD=—

3

(1)求BD;

解:

ADAB32屈V6

(1)--------=---------=---------=----------=cosZABD=—

sin/AB。sinZADBsmZABDsin2NAB。3

2

:.smZABD=—,cosZADfi=cos2ZABZ)=l-/—|=|,sinZAQB=2V2

333

"的Xin(W+ZA網(wǎng)4xg+率苧=竽

在AABD中由錘子數(shù)學(xué)正弦定理得半=2=BD=5.

5V3V3

93

(2)設(shè)3C=%,CD=y,

x2+y2-2xy-=25=>x2+y2-AY=25(x+y)2-3xy=25

2

%+y；

(%+爐—25=3-W3-=(%+?<2510

.?.△38的周長的最大值為10+5=15.

jr\

19.如圖1,在直角梯形A3CO中，ADI1BC,/BAD=-,AB=BC=—AD=a,E

22

是A。的中點，O是AC與3石的錘子數(shù)學(xué)交點，將A48E沿3七折起到圖2中

A4,B石的位置，得到四棱錐A-3C。石.

（1）證明：CD_L平面A。。；（2）當(dāng)平面ABEL平面5CDE時，四棱錐村一BCDE的

體積為360,求。的值.

圖1圖2

解：（1）證明：原直角梯形中A。BC,

BC=-AD,E為A。的中點

2

:.DE=-AD,BC=DE,四邊形BCQE為平行四邊形

2

AB=BC=AE,AE=BC,/BAD=90。,

.??四邊形ABC石為正方形

/.AOA.BE,AC±CD

在翻折過后的錘子數(shù)學(xué)圖形中，BEA.A.O,BEA.CO

而C￡>BE,CDLA.O,CDICO,A.O8=0

.,.CO_L平面A"

(2)當(dāng)平面平面BCL出時，平面AB石平面BCDE=BE

AOu平面A3￡，AOkBE,.?.40_1平面3。。石，A]O=^a

1

_BCD￡=—■a--^-a=36A/2,/=216=。=6.

32

20.甲、乙兩人組成“龍隊”代表班級參加學(xué)校體育節(jié)的足球射門比賽活動，每

輪活動由甲、乙兩人各射門一次，在一輪活動中，如果兩人都射中，則“龍隊”

得3分；如果只有一個人射中，則“龍隊”得1分；如果錘子數(shù)學(xué)兩人都沒射中,

則“龍隊”得0分.已知甲每輪射中的概率是士，乙每輪射中的概率是N；每輪

43

活動中甲、乙射中與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.

(1)假設(shè)“龍隊”參加兩輪活動，求：“龍隊”至少射中3個的概率；

(2)①設(shè)“龍隊”兩輪得分之和為X,求X的分布列；

②設(shè)“龍隊”〃輪得分之和為X",求X”的期望值.

(參考公式E(x+r)=￡x+Ey)

31?，3191A5

解：(1)兩輪活動射中3個概率為C；x±x±x±X-+-X-\=—

~43(43312

兩輪活動射中4個的概率為士3x4?x±3x±?=L1

43434

二“龍隊”至少射中3個概率為尸=9+工=§=2.

124123

（2）①X的所有可能取值為6,4,3,2,1,0

(32?1532111

—X—二一p(X=4)=—，P(X=3)=C*x-x-x-x-=—

(43)122434312

(3121Y25

P(X=2)=—x—H--X—=----

(4334)144

11<312n5

P(X=1)=C；x—x—x—x—H——x—

43(4334)72

(11V1

P(X=O)=-x-

(43J144

???X的分布列如下:

X012346

152515]_

P

144五144124

15193

②一輪得分X1的期望為」?xO+2xl+Lx3=/

11212212

???〃輪得分和X”的期望E（X?）=—

丫3

21.已知函數(shù)/（力=1—

（1）討論/（X）的單調(diào)性；

(2)若對任意xe［0,+oo),-sinx恒成立，求a的錘子數(shù)學(xué)取值范圍.

解：(1)八%)=；%2—。

當(dāng)aWO時，/r(x)>0,/(%)在R上單調(diào)遞增

當(dāng)a〉0時，令,1(%)=0=>%=±j2a

且當(dāng)％時，/'(無)>0,f(x);當(dāng)一時，f'(x)<0,/(x)；

當(dāng)%〉\［2a時，/'(%)>0，f(x).

r3_

(2)-----ar+sin%20在［0,+00)上怛成立

6

/I

令尸(x)=-----ar+sinx,F(x)>F(0),F'(x)=—x2-a+cosx

62

.?.7'(0)之0=l-aN0,a<\(必要性)

下證充分性，當(dāng)aWl時,F(x)>------%+sin%

6

令g(x)-%+sinx,^'(%)=—%2-1+co