第04講中心對稱與中心對稱圖形（原卷版）

第04講中心對稱與中心對稱圖形知識點中心對稱（兩個圖形）1.概念把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱；2.性質(zhì)（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3.判定如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。4.作圖步驟：連接原圖形上所有的特殊點和對稱中心。將以上所連線段延長找對稱點，使得特殊點與對稱中心的距離和對稱點與對稱中心的距離相等。將對稱點按原圖形的形狀順次連接起來，即可得出關(guān)于中心對稱的圖形中心對稱圖形（一個圖形）把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心?？键c剖析考點一：中心對稱圖形【典例1】（2023秋?寧津縣期中）下列圖形中，中心對稱圖形是（）A． B． C． D．【變式11】（2023秋?遼寧期中）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式12】（2023?鹽城）下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．【變式13】（2023秋?利州區(qū)期中）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．考點二：中心對稱的性質(zhì)【典例2】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△A′B'C'關(guān)于O成中心對稱，下列結(jié)論中不成立的是（）A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B' C．點B的對稱點是B′ D．BC∥B'C'【變式21】（2022秋?邯山區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于點O成中心對稱，則下列結(jié)論不成立的是（）A．點A與點A'是對稱點 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'【變式22】（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于點O成中心對稱，下列結(jié)論中不成立的是（）A．OB＝OB' B．∠ACB＝∠A'B'C' C．點A的對稱點是點A' D．BC∥B'C'【變式23】（2023春?南召縣期末）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O成中心對稱，有以下結(jié)論：①點A與點A′是對稱點；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正確結(jié)論的序號為．考點三：利用中心對稱的性質(zhì)找對稱中心【典例3】（2023春?渭南期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC經(jīng)過中心對稱變換得到△A′B′C′，那么對稱中心的坐標為（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【變式31】（2023春?高碑店市期末）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于某點成中心對稱，則其對稱中心是（）A．點P B．點Q C．點M D．點N【變式32】（2022?市南區(qū)一模）如圖，以某網(wǎng)格線所在直線建立平面直角坐標系，將△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°得到△DEF，已知點A（2，﹣1），點P的坐標為（）A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【變式33】（2023春?常德期中）如圖所示，△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O中心對稱，但點O不慎被涂掉了．（1）請你找到對稱中心O的位置；（2）連接線段BC′和線段B′C，試判斷四邊形BC′B′C的形狀，并說明理由．考點四：利用中心對稱的性質(zhì)求邊長長度【典例4】（2023秋?豐滿區(qū)校級期中）如圖，BO是等腰三角形ABC的底邊的中線，AC＝2，，△PQC與△BOC關(guān)于點C成中心對稱，連接AP，則AP的長是（）A．4 B． C． D．【變式41】（2022秋?廣宗縣期末）如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，則BB′的長為（）A．4 B． C． D．【變式42】（2022春?相城區(qū)校級期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，將△BOC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，則菱形ABCD的邊長是（）A．3 B．4 C． D．【變式43】（2023秋?前郭縣期中）如圖，△AOB與△COD關(guān)于點O成中心對稱，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，則AD的長為．考點五：利用中心對稱的性質(zhì)求點坐標【典例5】（2021秋?黃石期末）如圖，線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，若點A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點C的坐標為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【變式51】（2022?市南區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'關(guān)于D（﹣1，0）成中心對稱．已知點A的坐標為（﹣3，﹣2），則點A'的坐標是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）【變式52】（2023春?市南區(qū)校級月考）如圖，將△ABC繞點C（0，1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點A的坐標為（a，b），則點A′的坐標為．考點六：利用中心對稱的性質(zhì)求面積【典例6】（2022春?綏寧縣期中）如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個正方形的對角線交點，若把這樣的n個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為．【變式61】（2022秋?福山區(qū)期末）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為9，小正方形地磚面積為2，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為．【變式62】（2022秋?烏魯木齊縣校級期中）如圖，正方形邊長為a，則陰影部分面積為．【變式63】（2022秋?寶山區(qū)期末）如圖，已知點O是矩形ABCD的對稱中心，E、F分別是邊AD、BC上的點，且關(guān)于點O中心對稱，如果矩形的面積是22，那么圖中陰影部分的面積是．考點七：利用中心對稱的性質(zhì)作圖【典例7】（2022春?歷城區(qū)期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求解答下列問題：（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于坐標原點O成中心對稱，則B1的坐標為．（2）△A1B1C1的面積為．（3）將△ABC繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，其對應(yīng)點分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為．【變式71】（2023春?柯橋區(qū)月考）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求解答下列問題：（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于坐標原點O成中心對稱，則B1的坐標為；（2）△A1B1C1的面積為．【變式72】（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）有一塊方角形鋼板如圖所示，如何用一條直線將其分為面積相等的兩部分．【變式73】（2023春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）請畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點成中心對稱，并寫出點A1，B1，C1的坐標．（2）求△A1B1C1的面積？過關(guān)檢測一．選擇題（共7小題）1．（2022秋?綿陽期末）如圖的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖的是（）A．B．C．D．2．（2022?徐州一模）已知正方形的對稱中心在坐標原點，頂點A、B、C、D按逆時針依次排列，若A點的坐標為（3，5），則點B與點C的坐標分別為（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）3．（2021秋?柳江區(qū)期中）如圖，將正方形ABCD繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，點B的坐標是（）A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1）4．（2022秋?沂源縣期末）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O成中心對稱，則下列結(jié)論不成立的是（）A．點A與點A′是對稱點 B．BO＝B′O C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′5．（2023春?內(nèi)江期末）如圖，△ADE與△CDB關(guān)于點D成中心對稱，連結(jié)AB，以下結(jié)論錯誤的是（）A．AD＝CD B．∠C＝∠E C．AE＝CB D．S△ADE＝S△ADB6．（2023?大興區(qū)一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J是網(wǎng)格線交點，△ABC與△DEF關(guān)于某點成中心對稱，則其對稱中心是（）A．點G B．點H C．點I D．點J7．（2023秋?德城區(qū)期中）在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標系叫做極坐標系．如圖，在平面上取定一點O稱為極點；從點O出發(fā)引一條射線Ox稱為極軸；線段OP的長度稱為極徑，點P的極坐標就可以用線段OP的長度以及從Ox轉(zhuǎn)動到OP的角度（規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動角度為正）來確定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，則點P關(guān)于點O成中心對稱的點Q的極坐標表示不正確的是（）A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣450°） C．Q（3，600°） D．（3，﹣120°）二．填空題（共5小題）8．（2023春?建平縣期末）如圖，△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，，AE＝3，∠D＝90°，則AC＝．9．（2023春?青岡縣期末）如圖，△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，AG為△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，則S△DEC＝．10．（2022秋?萊州市期末）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC，請你找出格紙中所有與△ABC成中心對稱且也以格點為頂點的三角形共有個；（不包括△ABC本身）11．（2023秋?容縣期中）如圖，直線a、