第02講等腰三角形中易漏解或多解的問題（拓展提升）（原卷版）

第02講等腰三角形中易漏解或多解的問題（拓展提升）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)2.當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)3.求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)4.三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，1.求等腰三角形的周長，要先考慮三角形的三邊是否能構(gòu)成三角形.2.等腰三角形中，底和腰不明確時(shí)，要分類討論，是多解問題.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)例題：已知一個(gè)等腰三角形的三邊長分別為，，，且為腰長．求這個(gè)等腰三角形的周長．【解析】①當(dāng)時(shí)，解得，則這個(gè)等腰三角形三條邊長分別為3、3、4，能構(gòu)成三角形，此時(shí)這個(gè)等腰三角形的周長為；②當(dāng)時(shí)，解，則這個(gè)等腰三角形三條邊長分別為1、2、1，不能構(gòu)成三角形（舍去）．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長為10．【變式訓(xùn)練】1．已知等腰三角形的兩邊長分別是，，若，滿足，那么它的周長是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【解析】，，，，，解得：，，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，故選：C．2．等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或【答案】D【解析】當(dāng)為腰長時(shí)，∵等腰的周長為20，∴的底邊長為：，∴“優(yōu)美比”為；當(dāng)為底邊長時(shí)，的腰長為：，∴“優(yōu)美比”為；故選D．考點(diǎn)二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是．【答案】或【解析】當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)，則底角為，當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，則底角為，故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為，那么其余的兩個(gè)角的度數(shù)是______．【答案】，或，【解析】①當(dāng)是頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：；②當(dāng)是底角時(shí)，則有：頂角為；故答案為：，或，．2．如圖，在中，，，點(diǎn)P在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是________．【答案】或或【解析】①如圖1，點(diǎn)P在上時(shí)，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點(diǎn)P在上時(shí)，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．考點(diǎn)三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：如圖，在長方形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，若△APE是腰長為的等腰三角形，則的長為．【答案】或或【解析】，為的中點(diǎn)，，四邊形是長方形，，，，有三種情況：，作的垂直平分線，交于，此時(shí)在的垂直平分線上，即，則，，即此種情況不存在；當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：；當(dāng)時(shí)，有和兩種情況，過作于，由勾股定理得：，即；，所以的長是或或，故答案為：或或．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，已知：，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為．【答案】或或【解析】在中，，由勾股定理得：，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，如圖所示，，則，即，當(dāng)時(shí)，如圖所示，，則，當(dāng)時(shí)，如圖所示，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得，，綜上所述：的值為或或，故答案為：或或．2．在中，，，，D是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若是等腰三角形，則的長度是．【答案】9或或3【解析】①如圖1，若是等腰三角形，當(dāng)是底邊時(shí)D在的延長線上，，，是直角三角形，，，，，，，．圖1②如圖2，當(dāng)為腰時(shí)，為另一個(gè)腰，所以，是直角三角形，，，，，．圖2③如圖3，當(dāng)是腰，為底時(shí)，，，，，，，，．圖3故答案為：9或或3考點(diǎn)四、三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：在中，，邊上的中線把三角形的周長分成和的兩部分，求三角形各邊的長．【解析】如圖，

∵是邊上的中線，即，∴，若，則，又∵，聯(lián)立方程組:,解得：，三邊能夠組成三角形；若，則，又∵，聯(lián)立方程組,解得：，三邊能夠組成三角形；∴三角形的各邊長為或．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】如圖1，三角形是銳角三角形時(shí)，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時(shí)，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．2．在中，，是邊上的高，，則．【答案】或/或【解析】如圖，當(dāng)在內(nèi)時(shí)

如圖，當(dāng)在外時(shí)

故答案為或過關(guān)檢測一、選擇題1．若等腰三角形有一個(gè)角是，則它的底角是（

）A． B． C．或 D．或2．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．一個(gè)等腰三角形的周長為，只知其中一邊的長為，則這個(gè)等腰三角形的腰長為（

）A． B． C． D．或4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．17 B．13 C．13或17 D．以上答案均不對(duì)二、填空題5．已知等腰三角形的一個(gè)外角是，則其底角的度數(shù)為．6．如圖，B是射線上動(dòng)點(diǎn)，，若為等腰三角形，則的度數(shù)可能是．7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若以為腰作等腰三角形，則在軸上滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)是8．在中，，點(diǎn)在邊上，若直線將分割成一個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰三角形，則的度數(shù)是．三、解答題9．如圖，中，，，，若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，求的面積．(2)當(dāng)為何值時(shí)，把的面積分成相等的兩部分，并求出此時(shí)的長；(3)當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？10．定義：如果1條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個(gè)三角形的“三等腰線”．如圖（1），是的“