高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)教師用書第三章第五節(jié)兩角和與差的正弦余弦和正切公式

第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．公式的常用變形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對(duì)任意角α，β都成立．()(4)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：選D原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，故選D.3．設(shè)角θ的終邊過(guò)點(diǎn)(2,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C．5 D．－5解析：選A由于角θ的終邊過(guò)點(diǎn)(2,3)，因此tanθ＝eq\f(3,2)，故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(\f(3,2)－1,1＋\f(3,2))＝eq\f(1,5)，選A.4．(2017·山東高考)已知cosx＝eq\f(3,4)，則cos2x＝()A．－eq\f(1,4) B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,8) D.eq\f(1,8)解析：選D∵cosx＝eq\f(3,4)，∴cos2x＝2cos2x－1＝eq\f(1,8).5．化簡(jiǎn)：eq\f(2sinπ－α＋sin2α,cos2\f(α,2))＝________.解析：eq\f(2sinπ－α＋sin2α,cos2\f(α,2))＝eq\f(2sinα＋2sinαcosα,\f(1,2)1＋cosα)＝eq\f(4sinα1＋cosα,1＋cosα)＝4sinα.答案：4sinα6．(2017·江蘇高考)若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,6)，則tanα＝________.解析：tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq\f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq\f(7,5).答案：eq\f(7,5)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用是基礎(chǔ)，直接命題較少，主要考查三角函數(shù)公式的識(shí)記，多體現(xiàn)在簡(jiǎn)單三角函數(shù)求值中.1．已知cosα＝－eq\f(3,5)，α是第三象限角，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值為()A.eq\f(\r(2),10) B．－eq\f(\r(2),10)C.eq\f(7\r(2),10) D．－eq\f(7\r(2),10)解析：選A∵cosα＝－eq\f(3,5)，α是第三象限的角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\f(π,4)cosα－sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝eq\f(\r(2),10).2．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，則tan(α－β)的值為()A．－eq\f(2,11) B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2) D．－eq\f(11,2)解析：選A因?yàn)閟inα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).因?yàn)閠an(π－β)＝eq\f(1,2)＝－tanβ，所以tanβ＝－eq\f(1,2)，則tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值為______．解析：因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).答案：－eq\f(4＋3\r(3),10)[怎樣快解·準(zhǔn)解]三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二三角函數(shù)公式的逆用與變形用)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]主要考查對(duì)三角函數(shù)公式的熟練掌握程度，對(duì)公式結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確理解和記憶.考法(一)三角函數(shù)公式的逆用1.eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝________.解析：eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin30°－10°)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)2．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tan B＋1,則cosC＝________.解析：由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，則C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝________.解析：由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，可得eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(4\r(3),5)，∴eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4\r(3),5)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)考法(二)三角函數(shù)公式的變形用4．化簡(jiǎn)eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝________.解析：eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝eq\f(\f(1－cos70°,2)－\f(1,2),cos10°sin10°)＝eq\f(－\f(1,2)cos70°,\f(1,2)sin20°)＝－1.答案：－15．化簡(jiǎn)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sin2α的結(jié)果是________．解析：原式＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3))),2)＋eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α＝1－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α＝1－cos2α·coseq\f(π,3)－sin2α＝1－eq\f(cos2α,2)－eq\f(1－cos2α,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．注意三角函數(shù)公式逆用和變形用的2個(gè)問(wèn)題(1)公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．(2)注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．2．熟記三角函數(shù)公式的2類變式(1)和差角公式變形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanα·tanβ)．(2)倍角公式變形：降冪公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方變形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三角的變換與名的變換)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)三角函數(shù)公式中角的變換與名的變換在三角函數(shù)求值中經(jīng)?？疾?，題目難度不大，屬于中低檔題.[典題領(lǐng)悟]1．(2018·南充模擬)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，則sinβ＝________.解析：因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以α＋β∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，則sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,7)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)2．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tanβ＝eq\f(1,3)，則tan(α－β)的值為________．解析：∵tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tanβ＝eq\f(1,3)，∴tanα＝tan[(α＋β)－β]＝eq\f(tanα＋β－tanβ,1＋tanα＋β·tanβ)＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,3),1＋\f(2,5)×\f(1,3))＝eq\f(1,17)，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,17)－\f(1,3),1＋\f(1,17)×\f(1,3))＝－eq\f(7,26).答案：－eq\f(7,26)[解題師說(shuō)]1．遷移要準(zhǔn)(1)看到角的范圍及余弦值想到正弦值；看到β，α＋β，α想到湊角β＝(α＋β)－α，代入公式求值．(2)看到兩個(gè)角的正切值想到兩角和與差的正切公式；看到α＋β，β，α－β想到湊角．2．思路要明(1)角的變換：明確各個(gè)角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的拆分與組合的技巧，半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等．(2)名的變換：明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦．3．思想要有轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，恒等變形前需清楚已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．[沖關(guān)演練]1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝________.解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，∴sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)＋\f(\r(5),5)))＝eq\f(3\r(10),10).答案：eq\f(3\r(10),10)2．已知α，β均為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．解：(1)∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，從而－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又∵tan(α－β)＝－eq\f(1,3)<0，∴－eq\f(π,2)<α－β<0.∴sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10).(2)由(1)可得，cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).∵α為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(9\r(10),50).(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)解析：選Bsin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．若2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝3sin(π－θ)，則tanθ等于()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2\r(3),3) D．2eq\r(3)解析：選B由已知得sinθ＋eq\r(3)cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\f(\r(3),2).3．(2018·石家莊質(zhì)檢)若sin(π－α)＝eq\f(1,3)，且eq\f(π,2)≤α≤π，則sin2α的值為()A．－eq\f(4\r(2),9) B．－eq\f(2\r(2),9)C.eq\f(2\r(2),9) D.eq\f(4\r(2),9)解析：選A因?yàn)閟in(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)，eq\f(π,2)≤α≤π，所以cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))＝－eq\f(4\r(2),9).4．(2018·衡水調(diào)研)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，則sin2α的值為()A．－eq\f(1,18) B.eq\f(1,18)C．－eq\f(17,18) D.eq\f(17,18)解析：選C由3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，可得3(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)，又由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2)，所以1＋2sinαcosα＝eq\f(1,18)，故sin2α＝－eq\f(17,18).5．計(jì)算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：選Beq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).6．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值為()A.eq\f(6,5) B．1C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)解析：選A因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，于是f(x)的最大值為eq\f(6,5).7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值為________．解析：由已知得cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)8．(2018·貴州適應(yīng)性考試)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝eq\f(4,5)，則tan2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cosα＝eq\f(4,5)，得cosα＝－eq\f(4,5)，又α是第三象限角，所以sinα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(3,4)，故tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(24,7).答案：eq\f(24,7)9．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝________.解析：cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.答案：－110．(2018·石家莊質(zhì)檢)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(2,3)，則cosα＝________.解析：因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(5),3)，所以cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(15)－2,6).答案：eq\f(\r(15)－2,6)B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．(2018·陜西高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值為()A．－eq\f(7\r(2),10) B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),10)解析：選B由于角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，則cosα＝eq\f(4,\r(42＋－32))＝eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(－3,\r(42＋－32))＝－eq\f(3,5)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).2．設(shè)α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))的值為()A.eq\f(12,25) B.eq\f(24,25)C．－eq\f(24,25) D．－eq\f(12,25)解析：選B因?yàn)棣翞殇J角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝2×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(24,25).3．(2018·廣東肇慶模擬)已知sinα＝eq\f(3,5)且α為第二象限角，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝()A．－eq\f(19,5) B．－eq\f(5,19)C．－eq\f(31,17) D．－eq\f(17,31)解析：選D由題意得cosα＝－eq\f(4,5)，則sin2α＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25).∴tan2α＝－eq\f(24,7)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(tan2α＋tan\f(π,4),1－tan2αtan\f(π,4))＝eq\f(－\f(24,7)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,7)))×1)＝－eq\f(17,31).4．若銳角α，β滿足tanα＋tanβ＝eq\r(3)－eq\r(3)tanαtanβ，則α＋β＝________.解析：由已知可得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，即tan(α＋β)＝eq\r(3).又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)5．(2018·安徽兩校階段性測(cè)試)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2eq\r(2)cos2α，則sin2α＝________.解析：由已知得eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)＝2eq\r(2)(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)，所以cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝eq\f(1,4)，由cosα＋sinα＝0得tanα＝－1，因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＋sinα＝0不滿足條件；由cosα－sinα＝eq\f(1,4)，兩邊平方得1－sin2α＝eq\f(1,16)，所以sin2α＝eq\f(15,16).答案：eq\f(15,16)6．(2018·廣東六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))的值．解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(1,2).(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ)．因?yàn)閏osθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(24,25)，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(7,25)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq\f(17\r(2),50).7．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求cosβ的值．解：(1)因?yàn)閟ineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2)，兩邊同時(shí)平方，得sinα＝eq\f(1,2).又eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(3),2).(2)因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π，所以－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又由sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，得cos(α－β)＝eq\f(4,5).所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(4\r(3)＋3,10).C級(jí)——重難題目自主選做已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．解：(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，又由(1)知sin2α＝eq\f(1,2)，∴cos2α＝－eq\f(\r(3),2).∴tanα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－2×eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq\r(3).(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)——保分題目巧做快做1.計(jì)算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的結(jié)果為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：選A－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．(2018·陜西高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值為()A．－eq\f(7\r(2),10) B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),10)解析：選B由于角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，則cosα＝eq\f(4,5)，sinα＝－eq\f(3,5)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).3.已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A.eq\f(1,18) B.eq\f(17,18)C.eq\f(8,9) D.eq\f(\r(2),9)解析：選B由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)兩邊平方，得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18).4．計(jì)算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：選Beq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).5.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,7)，那么sin2α＋cos2α的值為()A．－eq\f(1,5) B.eq\f(7,5)C．－eq\f(7,5) D.eq\f(3,4)解析：選A由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,7)，知eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(1,7)，∴tan2α＝－eq\f(3,4).∵2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sin2α＝eq\f(3,5)，cos2α＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＋cos2α＝－eq\f(1,5).6．(2018·貴州適應(yīng)性考試)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝eq\f(4,5)，則tan2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cosα＝eq\f(4,5)，得cosα＝－eq\f(4,5)，又α是第三象限角，所以sinα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(3,4)，故tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(24,7).答案：eq\f(24,7)7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝________.解析：cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.答案：－18.(2018·洛陽(yáng)第一次統(tǒng)一考試)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝________.解析：依題意得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2－1＝－eq\f(7,8).答案：－eq\f(7,8)9．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝eq\f(1,2)，求tan2α和sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))的值．解：∵tanα＝eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)，且eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,2)，即cosα＝2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5).∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝sin2αcoseq\f(π,3)＋cos2αsineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4＋3\r(3),10).10．(2018·廣東六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))的值．解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(1,2).(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ)．因?yàn)閏osθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(24,25)，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(7,25)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq\f(17\r(2),50).B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，cos2α＝eq\f(7,25)，則sinα＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選C由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)得sinα－cosα＝eq\f(7,5).①由cos2α＝eq\f(7,25)得cos2α－sin2α＝eq\f(7,25)，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝eq\f(7,25).②由①②可得cosα＋sinα＝－eq\f(1,5).③由①③可得sinα＝eq\f(3,5).2.(2018·福州質(zhì)檢)已知m＝eq\f(tanα＋β＋γ,tanα－β＋γ)，若sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2α＋γ))＝3sin2β，則m＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,2) D．2解析：選D設(shè)A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，則2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，因?yàn)閟in[2(α＋γ)]＝3sin2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝3(sinAcos B－cosAsinB)，即2cosAsin B＝sinAcosB，所以tanA＝2tanB，所以m＝eq\f(tanA,tanB)＝2，故選D.3.(2017·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則cos(α－β)＝________.解析：因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2×\b