專題11等腰三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題1.1等腰三有形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】全等三角形的判定與性質(zhì)（知識(shí)回顧）1.判定定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等.（AAS）2.判定三角形全等的一般思路已知兩邊找夾角→SAS已知兩邊找第三邊→SSS已知一邊一角邊為角的對邊→找任意一角→AAS已知一邊一角邊為角的鄰邊找角的另一鄰邊→SAS已知一邊一角邊為角的鄰邊找角的另一鄰角→ASA已知一邊一角邊為角的鄰邊找邊的對角→AAS已知兩角找夾邊→ASA已知兩角找角的對邊→AAS3.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.特別提醒1.證明兩個(gè)三角形全等需要三個(gè)條件，三個(gè)條件中至少有一組對應(yīng)邊相等.2.證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，對應(yīng)頂點(diǎn)必須寫在對應(yīng)的位置上.3.“全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”是證明線段相等、角相等的重要依據(jù).【知識(shí)點(diǎn)二】等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論1.性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.2.推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及低邊上的高線互相重合（簡寫成“三線合一”）.3.對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線（或低邊上的高線、底邊上的中線）所在的直線是它的對稱軸.等腰三角形中特殊線段的性質(zhì)（1）等腰三角形兩底角的平分線相等；（2）等腰三角形兩腰上的中線相等；（3）等腰三角形兩腰上的高線相等；特別提醒適用條件：必須在同一三角形中.作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時(shí)可省去三角形全等的證明，因而更簡便.【知識(shí)點(diǎn)三】等邊三角形的性質(zhì)定理（1）等邊三角形內(nèi)角的性質(zhì)定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.（2）等邊三角形的其他性質(zhì)①等邊三角形的三條邊都相等；②等邊三角形是軸對稱圖形，他有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；③等邊三角形各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等.特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角行，所以；1.任意兩邊都可以作為腰；2.任意一個(gè)角都可以作為頂角；3.任意一邊上都“三線合一”.【知識(shí)點(diǎn)四】等腰三角形的判定定理1.判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角行（簡寫成“等角對等邊”）.2.等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理的異同相同點(diǎn)：使用的前提都是“在同一個(gè)三角形中”.不同點(diǎn)：有三角形的兩邊相等，得到它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.特別提醒“等角對等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過程中，經(jīng)常通過計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系的到角相等，從而得到所對的邊相等.【知識(shí)點(diǎn)五】反證法1.概念在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.2.用反證法證明結(jié)論的一般步驟設(shè)：假設(shè)結(jié)論的反面是正確的.歸謬：從假設(shè)出發(fā)，通過演繹推理，推導(dǎo)出與基本事實(shí)、已有定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)果.定論：由矛盾說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原結(jié)論正確.用反證法證明時(shí)，否定的是命題的結(jié)論，而不是否定已知條件.特別解讀適合用反證法證明得命題類型：1.結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題；2.唯一性命題；3.結(jié)論以“至多”“至少”等形式敘述的命題.【知識(shí)點(diǎn)六】等邊三角形的判定定理1.判定定理1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形2.判定定理2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖：三角形思路1三邊相等等邊三角形三角形思路2三角相等等邊三角形三角形等腰三角形等腰三角形有一個(gè)角等于等邊三角形三角形等腰三角形等腰三角形60°等邊三角形三角形的判定等腰三角形有一個(gè)角等于等邊三角形三角形的判定等腰三角形60°等邊三角形特別解讀在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無論這個(gè)角是頂角還是底角，都可以用判定定理2判定等邊三角形.等邊三角形的判定方法：1.若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；2.若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；3.若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.【知識(shí)點(diǎn)七】含30°角的直角三角形的性質(zhì)1.定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.幾何語言：如圖,在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=?AB2.作用應(yīng)用于證線段的倍分關(guān)系和求線段的長短.特別解讀應(yīng)用此定理，必須滿足兩個(gè)條件：1.在直角三角形中；2.有一個(gè)銳角為30°，二者缺一不可.【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】等腰三角形的性質(zhì)定理（等邊對等角）?求值或證明【考點(diǎn)2】等腰三角形的性質(zhì)定理（三線合一）?求值或證明【考點(diǎn)3】等腰三角形的性質(zhì)定理（等角對等邊）?求值或證明【考點(diǎn)4】等腰三角形的性質(zhì)與判定?求值或證明【考點(diǎn)5】等邊三角形的性質(zhì)?求值或證明【考點(diǎn)6】等邊三角形的判定?求值或證明【考點(diǎn)7】等邊三角形的性質(zhì)與判定?求值或證明【考點(diǎn)8】等邊三角形的性質(zhì)與判定（含的直角三角形）?求值或證明【考點(diǎn)9】反證法?求值或證明【考點(diǎn)1】等腰三角形的性質(zhì)定理（等邊對等角）?求值或證明【例1】（2023上·山西長治·八年級校考期中）如圖所示，在中，，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，作，交邊于點(diǎn)E．（1）當(dāng)時(shí)，__________．（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，？請說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，理由見詳解【分析】本題主要考查全等三角形的判定及三角形內(nèi)角和，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意易得，然后問題可求解；（2）由題意易得，然后根據(jù)“”可判定三角形全等．（1）解：∵，，∴，∴，故答案為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴．【變式1】（2023上·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在邊上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由，得到，．由全等三角形的性質(zhì)推出，由等腰三角形的性質(zhì)得到，求出，，即可得到．解：，，∵，∴，，，∴．故選：B．【變式2】（2023上·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)在同一直線上，設(shè)的度數(shù)為度，度數(shù)為度，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)定理以及三角形的內(nèi)角和定理和解不等式組的知識(shí)，根據(jù)可得，進(jìn)而得，利用三角形得內(nèi)角和定理可得，由x得范圍即可解決．解：∵，∴，∵，，∴，，∴，∵∴，∴，∵，∴，∵度數(shù)為y度，∴，則：，∵，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)2】等腰三角形的性質(zhì)定理（三線合一）?求值或證明【例2】（2019上·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期中）如圖，在中，是邊上的中點(diǎn)，連接平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，（1）若，求的度數(shù)；（2）求證：．【答案】（1）；（2）見分析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．（1）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可解決問題；（2）只要證明即可解決問題；（1）解：∵，為中點(diǎn)，（2）∵平分，又【變式1】（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，D是線段上（不含端點(diǎn)B，C）的動(dòng)點(diǎn)．若線段長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有（

）A．5個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算．首先過A作，當(dāng)D與E重合時(shí)，最短，首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得的長，利用勾股定理計(jì)算出長，然后可得的取值范圍，進(jìn)而可得答案．解：如圖：過A作于E，∵在中，，∴當(dāng)，∴，∵D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C）．若線段的長為正整數(shù)，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，在靠近點(diǎn)B和點(diǎn)C端各一個(gè)，故符合條件的點(diǎn)D有3點(diǎn)．故選：B．【變式2】（2023上·遼寧大連·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是等邊三角形，是邊上的高，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小值為．

【答案】4【分析】本題考查了最短路徑問題及等邊三角形的性質(zhì)，理解“兩點(diǎn)之間線段最短”是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”找到最小值，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．解：如圖：

∵是等邊三角形，是邊上的高，∴，∴B、關(guān)于直線對稱，，∵是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，故答案為：4．【考點(diǎn)3】等腰三角形的性質(zhì)定理（等角對等邊）?求值或證明【例3】（2023上·江蘇宿遷·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，長方形紙片的邊，點(diǎn)B坐標(biāo)為，若把圖形按如圖所示折疊，使B、D兩點(diǎn)重合，折痕為．（1）求證：為等腰三角形；（2）求的函數(shù)表達(dá)式；（3）求折痕的長．【答案】（1）見分析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出，得到即可；（2）在中，利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，可得點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求的函數(shù)解析式即可；（3）利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可．解：（1）證明：∵，∴，由折疊得：，∴，∴，即為等腰三角形；（2）解：∵，∴，，由折疊得：，在中，，即，解得：，∴，，∴，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，代入、得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）∵，，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系數(shù)法的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，垂足為D，交于點(diǎn)E，．若，，則的長為（）

A． B．2 C．4 D．1【答案】B【分析】根據(jù)平分，，證出，得到，即可．解：平分，，，，，，，，又，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·浙江臺(tái)州·八年級?？计谥校┤鐖D，D為外一點(diǎn)，，BD平分的一個(gè)外角，，若，，則的長為．【答案】6【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．設(shè)與延長線交于E點(diǎn)，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)證明，可得，從而可求、的長度．解：如圖，設(shè)與延長線交于E點(diǎn)．∵，∴．又∵平分，，∴，，又∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為：6．【考點(diǎn)4】等腰三角形的性質(zhì)與判定?求值或證明【例4】（2023上·甘肅武威·八年級?？计谀┤鐖D，與均為等腰直角三角形，連接，，相交于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求的大?。敬鸢浮浚?）見分析；（2）．【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，即可證明；（2）設(shè)與交于點(diǎn)B，由得到從而證明即可得到答案．（1）解：與均為等腰直角三角形，，，，即，，；（2）解：設(shè)與交于點(diǎn)B，，，又，；．【變式1】（2023上·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為，平分，于，連接，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的中線的性質(zhì)，延長交于，證明，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)可得，，由此進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．解：如圖，延長交于，，平分，，，，，，，，，，，，，故選：C．【變式2】（2023上·重慶南岸·九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)E，，，，，則．【答案】【分析】此題考查了勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解決此類問題的關(guān)鍵．通過過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，作含30度角的直角三角形，計(jì)算求解即可．解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，∵，∴，在中，，∵，，，，，∴，在中，，，，，，，∴．故答案為．【考點(diǎn)5】等邊三角形的性質(zhì)?求值或證明【例5】（2023上·福建南平·八年級校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在上，和都是等邊三角形．求證：（1）（2）猜想：三條線段之間的關(guān)系是________，并說明理由．【答案】（1）證明見分析；；（2）；理由見分析.【分析】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，確定，再由全等三角形的判定證明即可；（2）利用（1）中全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量代換即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．解：（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴；（2），證明如下：∵，∴，∵，∴．【變式1】（2023上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正中，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作于F，交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)平角定義求解即可．解：∵是等邊三角形，∴，∵于F，交于點(diǎn)E，∴，∴，∴，故選：B．【變式2】（2021下·上海浦東新·七年級校考期末）如圖，在中，D，E是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形，則．【答案】/120度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．解：是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形，，，，．故答案為：．【考點(diǎn)6】等邊三角形的判定?求值或證明【例6】（2023上·廣東惠州·八年級校考期中）如圖，中，D為邊上一點(diǎn)，的延長線交的延長線于F，且，．

（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見分析；（2）當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，證明見分析【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證明，再由對頂角相等得到，由垂線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可證明是等腰三角形；（2）根據(jù)（1）所求，只需要滿足即可，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù)，據(jù)此可得答案．解：（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，證明如下：∵，，∴，∵，∴是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，證明是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·河北廊坊·八年級?？茧A段練習(xí)）下列條件不能判定是等邊三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟悉等邊三角形的定義及等邊三角形的判定定理．注意：等邊三角形的判定定理有：①三邊都相等的三角形是等邊三角形，②三角都相等的三角形是等邊三角形，③有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形．根據(jù)等邊三角形的定義和判定定理判斷即可．解：A．∵，∴是等邊三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴是等邊三角形，故B選項(xiàng)不符合題意；C．∵，，∴是等邊三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；D．∵∠A+∠B=2∠C，，∴，不能判斷是等邊三角形，故D選項(xiàng)符合題意，故選：D．【變式2】（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）若三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為m、n、p，且，則這個(gè)三角形為．【答案】等邊三角形/正三角形【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的判定，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出算式，求出m、n、p的關(guān)系，根據(jù)等邊三角形的判定方法解答即可．解：∵，∴，∴，∴∴為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【考點(diǎn)7】等邊三角形的性質(zhì)與判定?求值或證明【例7】（2023上·山東東營·七年級校考期中）如圖是等邊三角形．（1）如圖①，，分別交于點(diǎn)D、E．求證：是等邊三角形；（2）如圖②，仍是等邊三角形，點(diǎn)B在的延長線上，連接，求證：．【答案】（1）證明見分析；（2）證明見分析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）先由等邊三角形的性質(zhì)得到，再由平行線的性質(zhì)得到，由此即可證明結(jié)論；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，由此證明，即可證明．解：（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（2）證明：∵和都是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∴．【變式1】（2019上·廣東深圳·八年級深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是以邊長為2的等邊三角形，則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)A作，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù)計(jì)算即可．解：如圖，過點(diǎn)A作，∵是以邊長為2的等邊三角形，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D．【變式2】（2023上·廣西南寧·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)C在直線上，，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．【答案】【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短線路問題．作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)D，連接，，，當(dāng)點(diǎn)P為與的交點(diǎn)時(shí)，的值最?。奢S對稱易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問題．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)D，連接，，，當(dāng)點(diǎn)P為與的交點(diǎn)時(shí)，的值最?。奢S對稱可得：，，，∴，，∴，即，∵，∴是等邊三角形，∴∵，∴，∴，∵∴，∴．故答案為：【考點(diǎn)8】等邊三角形的性質(zhì)與判定（含的直角三角形）?求值或證明【例8】（2023上·河北石家莊·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在直線上，點(diǎn)，在直線的異側(cè)，，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見分析；（2）．【分析】（）先證明，再根據(jù)即可證明；（）由全等三角形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理求出，則可得出答案；本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件．解：（1）∵，∴，在與中，，∴；（2）∵；∴；∵；；∴；∴，∴．【變式1】（2023上·河北滄州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨