專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題（8類重點考向）（原卷版）

主題四平面幾何專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一同角三角函數(shù)的關系?考向二互余兩角三角函數(shù)的關系?考向三相似三角形的判定與性質?考向四解直角三角形?考向五解直角三角形的應用?考向六解直角三角形的應用坡度坡角問題?考向七解直角三角形的應用仰角俯角問題?考向八解直角三角形的應用方向角問題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應銳角；3.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題．該板塊主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，尤其是應用主要在綜合題中考查，是考查重點，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，看似考查解題的綜合能力，實質是基本的定義和應用.有時比較簡單，有時難點較大不易得分，分值為12分左右。預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵。?考向一同角三角函數(shù)的關系1．（2023?大連模擬）下列選項中是有理數(shù)的是：（）①2cos245°﹣sin60°?tan60°；②sin215°+cos215°﹣π；③sin45°+π；④sin90°+（π﹣3）0+12023；⑤．A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤2．（2023?封丘縣模擬）計算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．?考向二互余兩角三角函數(shù)的關系3．（2023?二道區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，則下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB4．（2023?蘭山區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，則sinA+cosB的值為．?考向三相似三角形的判定與性質5．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．6．（2022?成都）（1）計算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．（2）解不等式組：7．（2022?張家界）計算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．?考向四解直角三角形解題技巧/易錯易混1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為k（有時也可設為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k．3.正確應用勾股定理求第三邊長．4.應用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．5.銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長短無關，只與銳角的大小有關.8．（2023?陜西）如圖，在6×7的網格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sinB的值為（）A． B． C． D．9．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為cm．10．（2023?宿遷）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝．?考向五解直角三角形的應用解題技巧/易錯易混1.解直角三角形的應用此類題的一般方法：（1）構造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關系；（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.2.解直角三角形應用題應注意的問題：（1）分析題意，根據已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據已知條件，選擇合適的邊角關系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據的精確度進行近似計算，檢驗是否符合實際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．11．（2023?內蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．12．（2023?廣西）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約m（結果取整數(shù)）．（參考數(shù)據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）13．（2023?蘭州）如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”，“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動，具體過程如下．如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龍”字雕塑CD的高度．B，C，D三點共線，BD⊥AB，結果精確到0.1m）（參考數(shù)據：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）?考向六解直角三角形的應用坡度坡角問題14．（2023?長春）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米15．（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達B處，再由B處乘坐登山纜車到達山頂D處．已知點A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時間忽略不計）．（1）求登山纜車上升的高度DE；（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達山頂D處大約需要多少分鐘（結果精確到0.1min）．（參考數(shù)據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）19．（2023?濟南）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結果精確到0.01m，參考數(shù)據：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）?考向七解直角三角形的應用仰角俯角問題20．（2023?黃石）如圖，某飛機于空中A處探測到某地面目標在點B處，此時飛行高度AC＝1200米，從飛機上看到點B的俯角為37°，飛機保持飛行高度不變，且與地面目標分別在兩條平行直線上同向運動．當飛機飛行943米到達點D時，地面目標此時運動到點E處，從點E看到點D的仰角為47.4°，則地面目標運動的距離BE約為米．（參考數(shù)據：tan37°≈，tan47.4°≈）21．（2023?岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學興趣小組在A處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°，儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高度AB為1.5米，則氣球頂部離地面的高度EC是米（結果精確到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．22．（2023?張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學興趣小組用無人機測量奇樓AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結果精確到1m，參考數(shù)據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）?考向八解直角三角形的應用方向角問題23．（2023?眉山）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．24．（2023?濰坊）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東60°方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西30°方向往燈塔B行駛，沿線堪測石油資源，堪測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15°方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結果保留根號）25．（2023?聊城）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠處的角樓、城門樓、龍堤、南關橋等景觀遙相呼應．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關橋C在城門樓B的正南方向1200m處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東68.2°方向，南關橋C在南偏東56.31°方向（點A，B，C，P四點在同一平面內），求明珠大劇院到龍堤BC的距離．（結果精確到1m，參考數(shù)據：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）1．（2023?深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數(shù)學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進至C處測得最高點A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結果精確到1m，參考數(shù)據：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m3．（2023?泉港區(qū)模擬）已知∠A是銳角△ABC的內角，，則cosA的值是（）A． B． C． D．4．（2023?鐘樓區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．5．（2023?道縣校級模擬）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，則sinA的值是（）A． B． C． D．6．（2022?濱州）下列計算結果，正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝7．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．8．（2023?南充）如圖，小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米9．（2023?婁星區(qū)校級一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則cosA＝．10．（2022?荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．11．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．12．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B（0，﹣3），點C在x軸上，且點C在點A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點C的坐標為．13．（2023?黃石）“神舟”十四號載人飛行任務是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務，也是空間站在軌建造以來情況最復雜、技術難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務．如圖，當“神舟”十四號運行到地球表面P點的正上方的F點處時，從點F能直接看到的地球表面最遠的點記為Q點，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對的弧長約為km（結果保留π）．14．（2023?城西區(qū)校級二模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．初中階段，我們所學的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，當α、β為任意角時，sin（α+β）與sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°＝根據上述材料內容，解決下列問題：（1）計算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，請你求出AC和BC的長．15．（2022?綏化）定義一種運算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當α＝45°，β＝30°時，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．16．（2022?貴港）（1）計算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；（2）解不等式組：17．（2022?濰坊）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：解：＝＝＝﹣2小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標注序號：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④＝；．請寫出正確的計算過程．（2）先化簡，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．18．（2023?婁底）幾位同學在老師的指導下到某景區(qū)進行戶外實踐活動，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點，并過點B架設一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點B出發(fā)按CD方向前進20米到達點E，即BE＝20米，測得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點間的距離．19．（2023?寧夏）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉動輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成30°角．假設傳送帶與轉動輪之間無滑動，當大轉動輪轉140°時，傳送帶上點A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計）20．（2023?連云港）漁灣是國家“AAAA”級風景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達B處的三龍?zhí)镀俨迹傺仄陆菫?7°的山坡向上走了30m到達C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結果精確到0.1m）（參考數(shù)據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）21．（2023?陜西）小華想利用所學知識測量自家對面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖所示，她站在自家陽臺上發(fā)現(xiàn)，在陽臺的點E處恰好可經過樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點E，C，B在同一直線上．此時，測得點B的俯角α＝22°，點A的仰角β＝16.7°，并測得EF＝48m，F(xiàn)D＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點F，D，B在同一水平直線上．求樓AB與CD的高度差．（參考數(shù)據：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）22．（2023?襄陽）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，