21直線的傾斜角與斜率（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

2．1直線的傾斜角與斜率（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、【單元目標(biāo)】（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．（3）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．二、【單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架】三、【學(xué)情分析】本節(jié)內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)新的挑戰(zhàn)，尤其是斜率概念的引入和傾斜角與斜率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系．部分學(xué)生可能在理解斜率的實(shí)際意義和應(yīng)用上存在困難．因此，教學(xué)中需注重直觀演示和實(shí)例分析，幫助學(xué)生建立空間想象能力，加深理解．四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】課時(shí)安排：約2課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，用斜率判定兩條直線平行或垂直．教學(xué)難點(diǎn)：理解斜率與傾斜角之間的轉(zhuǎn)換，以及利用斜率判斷兩直線的位置關(guān)系．教學(xué)方法/過程：五、【教學(xué)問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景1：“坡度”在交通工程中是一種量化道路傾斜程度的指標(biāo)，它通過比較道路在豎直方向上的高度變化與水平方向上的距離變化來得出．具體來說，當(dāng)一輛汽車從道路的A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)時(shí)，我們可以測(cè)量出兩個(gè)關(guān)鍵數(shù)值：一是汽車在水平方向（即通常所說的“地面”或“水平面”的投影方向）上前進(jìn)的距離AD，二是汽車在豎直方向上上升（或下降，若下降則DB為負(fù)值）的高度DB．坡度k的定義即為這兩個(gè)數(shù)值的比值，即．這個(gè)比值直觀地反映了道路傾斜的陡峭程度．問題1：“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢?【破解方法】通過生活中的現(xiàn)實(shí)情境，提出問題，幫助學(xué)生建立傾斜角與斜率的概念．環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析1．直線的傾斜角【歸納新知】平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）要清楚定義中含有的三個(gè)條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．（2）從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．（3）傾斜角的范圍是．當(dāng)時(shí)，直線與x軸平行或與x軸重合．（4）直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對(duì)應(yīng)．（5）已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．2．直線的斜率問題2：我們?nèi)绾慰坍嬕粭l直線的傾斜程度？【破解方法】通過類比坡比，引出斜率的定義．【歸納新知】直線斜率的定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，，；（2）直線與x軸垂直時(shí)，，k不存在．由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．3．直線兩點(diǎn)的斜率公式問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)傾斜角唯一確定．另一方面，設(shè)（其中）是直線上的兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)確定一條直線可知，直線由點(diǎn)唯一確定．所以，可以斷定直線的傾斜角一定與兩點(diǎn)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系．到底具有怎樣的聯(lián)系?你覺得可以用什么方法來建立這種聯(lián)系?【破解方法】先讓學(xué)生思考，請(qǐng)有想法的學(xué)生說一說思路，然后教師再進(jìn)行引導(dǎo)性提問．【歸納新知】已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：（1）當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；（2）與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；（4）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到．4．兩直線平行的條件問題4：平面中，兩條直線有哪些位置關(guān)系?【破解方法】相交、平行、重合．問題5：當(dāng)直線平行于直線時(shí)，它們的斜率滿足什么關(guān)系?反之，設(shè)直線的斜率分別為，當(dāng)滿足什么關(guān)系時(shí)?【破解方法】學(xué)生觀察、思考，并分析兩條直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系．【歸納新知】設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為．若，則與的傾斜角與相等．由，可得，即．因此，若，則．反之，若，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；（2）當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，的傾斜角都是，則．5．兩直線垂直的條件問題6：假設(shè)直線的斜率都存在，那么當(dāng)時(shí)，它們的斜率除了不相等外，是否還有特殊的數(shù)量關(guān)系?反之，兩條直線的斜率有怎樣的關(guān)系時(shí)，它們相互垂直?【破解方法】學(xué)生觀察、思考，并分析兩條直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系．【歸納新知】設(shè)兩條直線的斜率分別為．若，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；（2）當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直．環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解題型一：直線的傾斜角與斜率定義【例1】已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】設(shè)直線的斜率為，（1）；（2）；（3）；（4）．【變式11】已知下列直線的斜率，求直線的傾斜角．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】設(shè)傾斜角為，，（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以．題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系【例2】如圖，已知，，，求直線，，的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．

【解析】直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，由>及可知，直線與的傾斜角均為銳角；由可知，直線的傾斜角為鈍角．【變式21】求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角．（1），；

（2），．【解析】設(shè)傾斜角為，（1）因?yàn)?，所以，所以為銳角；（2）因?yàn)?，所以，所以為鈍角．題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)【例3】已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的傾斜角．（1），

（2），（3），．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以直線的傾斜角為；（2）因?yàn)榈臋M坐標(biāo)相等，所以直線軸，所以直線的傾斜角為；（3）因?yàn)?，所以，所以，所以直線的傾斜角為．【變式31】經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，求k的值．【解析】因?yàn)橹本€的方向向量為，則為直線的斜率，所以，所以的值為．【變式32】過，兩點(diǎn)的直線l的傾斜角為，求的值．【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合，當(dāng)時(shí)，，符合，綜上：．題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍【例4】經(jīng)過點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角與斜率k的取值范圍，并說明理由．【解析】如下圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，斜率為，此時(shí)傾斜角為；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，斜率為，此時(shí)傾斜角為，由題意可知，當(dāng)直線從過點(diǎn)的位置開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至過點(diǎn)的位置，經(jīng)過圖中陰影部分時(shí)都能滿足題意，旋轉(zhuǎn)過程中，傾斜角先從變化到，再從變化到，所以傾斜角的取值范圍是：；旋轉(zhuǎn)過程中，斜率先從變化到，再從變化到，所以斜率的取值范圍是：．【變式41】已知點(diǎn)，，直線是過點(diǎn)且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，．直線過點(diǎn)且與線段相交，如下圖所示：或，直線的斜率的取值范圍是：．故答案為：．題型五：直線平行與垂直的判斷【例5】已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】由已知可得直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)椋蓤D可知：直線．【變式51】已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系．【解析】直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)?，所以．【變?2】判斷下列各對(duì)直線平行還是垂直：（1）經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，3），B（﹣1，0）的直線l1，與經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）且斜率為1的直線l2；（2）經(jīng)過兩點(diǎn)C（3，1），D（﹣2，0）的直線l3，與經(jīng)過點(diǎn)M（1，﹣4）且斜率為﹣5的直線l4．【解析】（1）由題意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直線l1，l2不重合，所以兩直線平行；（2）由題意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1?k2＝﹣1，故兩直線垂直．題型六：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用【例6】已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是，，，，求四邊形ABCD的四條邊所在直線的斜率．【解析】，，，．【變式61】已知，，三點(diǎn)，試判斷的形狀．【解析】如圖所示，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．由，得，即，所以是直角三角形．【變式62】已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．【解析】因?yàn)樗膫€(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相等，所以四邊形四條邊所在直線的斜率都存在，所以，，，，所以，，，所以四邊形四條邊兩兩垂直，所以四邊形四個(gè)內(nèi)角都為，所以四邊形是矩形．環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題7：請(qǐng)你帶著下列問題回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）傾斜角是刻畫直線相對(duì)于x軸的傾斜程度的幾何量，為了將它代數(shù)化，我們利用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?（2）推導(dǎo)過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式時(shí)，我們經(jīng)歷了怎樣的過程，用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?（3）判斷兩條直線平行或垂直的充要條件是什么?【破解方法】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力．六、【教學(xué)成果自我檢測(cè)】環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測(cè)，檢驗(yàn)效果1．已知直線l的傾斜角為，則l的斜率為（

）A．1 B．45 C． D．【答案】C【解析】由題意知直線l的傾斜角為，則l的斜率為，故選：C2．若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即，則；當(dāng)時(shí)，即，則，所以直線的傾斜角為或．故選：B．3．已知直線的傾斜角分別為30°，53°，125°，斜率分別為，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，故選：C4．已知直線l的傾斜角為α，斜率為k，，斜率k（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，且，所以或，故選：D5．已知直線，直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的斜率，且，可知直線的斜率所以的傾斜角為．故選：D．【設(shè)計(jì)意圖】落實(shí)與理解教材要求的基本