2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪教師用書第7章第5節(jié)　直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)[考綱](教師用書獨(dú)具)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第114頁)[基礎(chǔ)知識(shí)填充]1．直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.(3)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．(3)范圍[0，π]．4．平面與平面垂直(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α[知識(shí)拓展](1)如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)直線垂直于平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線．(3)垂直于同一條直線的兩平面平行．[基本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．()(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.()(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．(教材改編)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β.()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥mA[∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．]3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?β.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如圖7-5-1，O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是()圖7-5-1A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C1D[易知AC⊥平面BB1D1D．∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D．又B1O?平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故選D．]5．如圖7-5-2，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．圖7-5-24[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第115頁)線面垂直的判定與性質(zhì)(2018·合肥一檢)如圖7-5-3，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝2.圖7-5-3(1)證明：AE⊥平面PAD；(2)求多面體PAECF的體積．[解](1)證明：由PA⊥底面ABCD得PA⊥AE.底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，得△ABC為等邊三角形，又因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，得AE⊥BC，所以AE⊥AD．因?yàn)镻A∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD．(2)令多面體PAECF的體積為V，則V＝V三棱錐P-AEC＋V三棱錐C-PAF.V三棱錐P-AEC＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×AE×EC))×PA＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(3)×1))×2＝eq\f(\r(3),3)；V三棱錐C-PAF＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×PA×PF×sin∠APF))×AE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(2)×sin45°))×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)，所以多面體PAECF的體積為V＝eq\f(\r(3),3)＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3).[規(guī)律方法]證明直線和平面垂直的常用方法1利用判定定理.2利用判定定理的推論a∥b，a⊥α?b⊥α.3利用面面平行的性質(zhì)a⊥α，α∥β?a⊥β.4利用面面垂直的性質(zhì).當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.5重視平面幾何知識(shí)，特別是勾股定理的應(yīng)用.[跟蹤訓(xùn)練]如圖7-5-4所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB．圖7-5-4求證：PA⊥CD．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190241】[證明]因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由eq\r(3)AC＝BC，得∠ABC＝30°.設(shè)AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2eq\r(3)，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖7-5-5，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.圖7-5-5(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．[解](1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．(2)如圖，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD．設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設(shè)得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而結(jié)合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).[規(guī)律方法]1.面面垂直的兩種證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．2．三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化eq\x(線線垂直)eq\o(,\s\up7(判定),\s\do10(性質(zhì)))eq\x(線面垂直)eq\o(,\s\up7(判定),\s\do10(性質(zhì)))eq\x(面面垂直)[跟蹤訓(xùn)練](2018·云南二檢)如圖7-5-6已知三棱錐P-ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB的中點(diǎn)，E是PB的中點(diǎn)．圖7-5-6(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)求點(diǎn)B到平面OEC的距離．[解](1)證明：連接PO，在△PAB中，PA＝PB，O是AB的中點(diǎn)，∴PO⊥AB．∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴AB＝2eq\r(2)，OB＝OC＝eq\r(2).∵PA＝PB＝PC＝3，∴PO＝eq\r(7)，PC2＝PO2＋OC2.∴PO⊥OC．又AB∩CO＝O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，∴PO⊥平面ABC．∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．(2)∵OE是△PAB的中位線，∴OE＝eq\f(3,2).∵O是AB中點(diǎn)，AC＝BC，∴OC⊥AB．又平面PAB⊥平面ABC，兩平面的交線為AB，∴OC⊥平面PAB．∵OE?平面PAB，∴OC⊥OE.設(shè)點(diǎn)B到平面OEC的距離變d，∵V三棱錐B-OEC＝V三棱錐E-OBC，∴eq\f(1,3)×S△OEC·d＝eq\f(1,3)×S△OBC×eq\f(1,2)OP.d＝eq\f(S△OBC·\f(1,2)OP,S△OEC)＝eq\f(\f(1,2)OB·OC·\f(1,2)OP,\f(1,2)OE·OC)＝eq\f(\r(14),3).]平行與垂直的綜合問題◎角度1平行與垂直關(guān)系的證明(2016·江蘇高考)如圖7-5-7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.圖7-5-7求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[證明](1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC．在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.◎角度2平行與垂直關(guān)系中的探索性問題(2018·蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬)如圖7-5-8所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.圖7-5-8(1)求證：平面CFG⊥平面ACE；(2)在AC上是否存在一點(diǎn)H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190242】[解](1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，則BD⊥AC．設(shè)AB，AD的中點(diǎn)分別為M，N，連接MN，則MN∥BD，連接FM，GN，則FM∥GN，且FM＝GN，所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC．由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD．所以FG⊥AE，又因?yàn)锳C∩AE＝A，所以FG⊥平面ACE.所以平面CFG⊥平面ACE.(2)存在．設(shè)平面ACE交FG于Q，則Q為FG的中點(diǎn)，連接EQ，CQ，取CO的中點(diǎn)為H，連接EH，則CH∥EQ，CH＝EQ＝eq\f(\r(2),2)，所以四邊形EQCH為平行四邊形，所以EH∥CQ，所以EH∥平面CFG，所以在AC上存在一點(diǎn)H，使得EH∥平面CFG，且CH＝eq\f(\r(2),2).[規(guī)律方法]平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)思想和處理策略1處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化，要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化.2探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)的存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)找點(diǎn).[跟蹤訓(xùn)練](2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))如圖7-5-9，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f(1,3)AB＝1，M為AB的三等分點(diǎn)．現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC．圖7-5-9(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離．[解](1)當(dāng)AP＝eq\f(1,3)AB時(shí)，有AD∥平面MPC．理由如下：連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP.在梯形MBCD中，DC∥MB，eq