題型專訓(xùn)：整式的乘法

整式的乘法(10類熱點題型講練)一、知識清單知識點01單項式與單項式相乘單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值.這時容易出現(xiàn)的錯誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運用同底數(shù)的乘法法則；③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式；④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；⑤單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式.知識點02單項式與多項式相乘單項式乘以多項式，是通過乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同；②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；③在混合運算時，要注意運算順序.知識點03多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原兩個多項式項數(shù)的積；②多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項；③對含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘，其二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積.即(x+a)(x+b)=x2+（a+b)x+ab對于一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.二、題型專訓(xùn)題型01計算單項式乘單項式【例題】（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┯嬎?1)(2)2．（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)．(2)．(3)．(4)．題型02利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值【例題】若，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．若單項式與的積為，則．2．若5am+1b2與3an+2bn的積是15a8b4，則nm＝．題型03計算單項式乘多項式及求值【例題】（2023上·福建龍巖·八年級校考期中）（1）計算：（2）先化簡，再求值：，其中．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江·七年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)，2．（2023上·八年級課時練習(xí)）（1）計算：；（2）計算：；（3）計算：；（4）計算：．題型04計算多項式乘多項式【例題】（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．2．（2023下·七年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型05(x+p)(x+q)型多項式乘法【例題】（2023上·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）若，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為．2．（2023上·四川內(nèi)江·八年級?？计谥校┤绻?，則，．題型06已知多項式乘積不含某項求字母的值【例題】（2023下·陜西西安·七年級?？计谥校┣笾?，若的積中不含的一次項與的二次項，(1)求的值；(2)求代數(shù)式的值．1．（2023下·江西吉安·七年級校考階段練習(xí)）已知的展開式中不含項和項，求：(1)，的值；(2)的值。2．（2023上·湖北·八年級?？贾軠y）已知關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4．求：(1)系數(shù)與的值；(2)二項式與的積．題型07多項式乘多項式——化簡求值【例題】（2023上·陜西延安·八年級?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校校考期中）化簡求值：，其中．2．（2023上·山西長治·八年級長治市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．題型08單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積【例題】（2023上·重慶巴南·七年級校聯(lián)考期中）三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別置于相同的長方形中，它們既不重疊也無空隙．已知正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為．(1)用代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積，并計算當(dāng)，，時陰影部分的面積．(2)記圖1中陰影部分周長為，圖2陰影部分周長之和為，判斷的值是否與正方形A、B、C的邊長有關(guān)，若有關(guān)請說明理由，若無關(guān)，求出的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長春·八年級校考期末）如圖，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進行改造，計劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？2．（2023上·江西上饒·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一個長方形運動場被分隔成，，，，，共個區(qū)，區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形．

(1)列式表示每個區(qū)長方形場地的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個長方形運動場的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個長方形運動場的面積．題型09多項式乘法中的規(guī)律性問題【例題】探索題：

……(1)當(dāng)時，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個位數(shù)字是．【變式訓(xùn)練】1．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），下圖揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和，例如：，它只有一項，系數(shù)為1，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項，中間項系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項，中間項系數(shù)3等于上方數(shù)字1加2，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；……(1)寫出的展開式______請利用整式的乘法驗證你的結(jié)果．(2)的展開式的系數(shù)分別為______，系數(shù)和為______．(3)展開式共有______項，系數(shù)和為______，請說明你是怎樣得到這個結(jié)果的？題型10整式乘法混合運算【例題】（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）計算下列各題(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南岳陽·七年級岳陽市弘毅新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：(1)(2)2．（2023上·四川南充·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若規(guī)定符號的意義：．(1)計算：_________．(2)若，，則的值為________．

參考答案題型01計算單項式乘單項式【例題】（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用單項式乘以單項式的計算法則直接計算即可；（2）先根據(jù)冪的乘方與積的乘方的運算法則計算，再利用單項式乘以單項式的計算法則計算即可；（3）先計算冪的乘方與單項式乘單項式，再合并同類項即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式、冪的乘方、積的乘方、合并同類項，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┯嬎?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按單項式乘以單項式法則計算；（2）先算乘方，再算乘法．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了積的乘方、單項式乘以單項式法則等知識點．掌握單項式乘以單項式法則及整式的運算順序是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接根據(jù)單項式乘以單項式法則計算即可；（2）先計算積的乘方運算，然后計算單項式乘以單項式即可；（3）先計算積的乘方運算，然后計算單項式乘以單項式即可；（4）利用整體法及單項式的乘法計算即可．【詳解】（1）．（2）．（3）．（4）．【點睛】題目主要考查單項式的乘法及積的乘方運算，熟練掌握各個運算法則是解題關(guān)鍵．題型02利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值【例題】若，則的值為．【答案】4【詳解】解：∵，∴，∴①，②．∴，得．故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．若單項式與的積為，則．【答案】-2【詳解】由題意，得，，則．故答案為：-2．2．若5am+1b2與3an+2bn的積是15a8b4，則nm＝．【答案】8【詳解】解：，∴m+n+3=8，2+n=4;解得：m=3,n=2，，故答案為8．題型03計算單項式乘多項式及求值【例題】（2023上·福建龍巖·八年級校考期中）（1）計算：（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；【分析】本題考查整式的乘法，化簡求解．（1）根據(jù)單項式乘多項式的法則計算即可；（2）根據(jù)整式的乘法，合并同類項進行計算，再代入求值．【詳解】（1）；（2），當(dāng)時，原式．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江·七年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)，【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查單項式與多項式相乘的運算法則：熟練掌握“單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加”．單項式與多項式相乘時，應(yīng)注意以下幾個問題：①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．（2023上·八年級課時練習(xí)）（1）計算：；（2）計算：；（3）計算：；（4）計算：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)單項式乘以多項式的運算法則計算即可；（2）先計算單項式乘以單項式及多項式，然后合并同類項計算即可；（3）先計算積的乘方運算，然后計算單項式乘以多項式即可；（4）先計算單項式乘以多項式去括號，然后合并同類項即可．【詳解】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）．【點睛】題目主要考查單項式乘以單項式及多項式，合并同類項等的運算法則，熟練掌握各個運算法則是解題關(guān)鍵．題型04計算多項式乘多項式【例題】（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)多項式與多項式的乘法法則計算；（2）根據(jù)多項式與多項式的乘法法則計算．【詳解】（1）（2）【點睛】本題考查了多項式與多項式的乘法運算，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用多項式乘多項式，進行計算求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；【點睛】本題考查了多項式乘多項式．解題的關(guān)鍵在于正確的運算．2．（2023下·七年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，再合并同類項即可；（2）根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，再合并同類項即可；（3）根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，再合并同類項即可；（4）根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，再合并同類項即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式乘以多項式的運算法則．題型05(x+p)(x+q)型多項式乘法【例題】（2023上·福建福州·八年級校考階段練習(xí)）若，則．【答案】30【分析】本題主要考查了多項式乘多項式的運算，掌握多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加，利用等式的恒等性求出、是解題關(guān)鍵．先去括號，再根據(jù)等式的恒等性求出、的值，代入計算即可．【詳解】解：，，，，；故答案為：30．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了多項式乘多項式的法則以及已知式子的值，求代數(shù)式的值，先把展開，合并同類項，得，結(jié)合完全平方公式，列式化簡求值，即可作答．【詳解】解：∵∴，即，那么，即，∴的值為，故答案為：．2．（2023上·四川內(nèi)江·八年級?？计谥校┤绻?，則，．【答案】【分析】把已知等式中的右邊，利用多項式乘多項式的法則展開，合并，再利用等式的性質(zhì)可得，，求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，解得，．故答案為：，．【點睛】本題考查了多項式乘多項式．解題的關(guān)鍵是靈活掌握多項式乘多項式的法則．題型06已知多項式乘積不含某項求字母的值【例題】（2023下·陜西西安·七年級?？计谥校┣笾?，若的積中不含的一次項與的二次項，(1)求的值；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)多項式乘以多項式運算法則，將原式化簡，再根據(jù)原式的積中不含的一次項與的二次項，得出，即可求解；（2）把p和q的值代入計算即可．【詳解】（1）解：，∵原式不含的一次項與的二次項，∴，解得：．（2）解：當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式中不含某項，則該項系數(shù)為0．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江西吉安·七年級校考階段練習(xí)）已知的展開式中不含項和項，求：(1)，的值；(2)的值。【答案】(1)，(2)243【分析】（1）原式利用多項式乘以多項式法則計算得到結(jié)果，由結(jié)果不含和項，列方程求出與的值即可，（2）把與的值代入求值．【詳解】（1）展開式中不含和項且解得，．（2）把，代入原式【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，多項式的項的定義，能得出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．2．（2023上·湖北·八年級?？贾軠y）已知關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4．求：(1)系數(shù)與的值；(2)二項式與的積．【答案】(1)系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；(2)【分析】本題考查了多項式乘多項式．（1）先計算，得，再根據(jù)關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4，得到關(guān)于與的方程，解方程即可得到答案；（2）把與的值代入，計算即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4，，解得：，系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；（2）解：由（1）得：系數(shù)的值為，系數(shù)的值為，二項式與的積為：．題型07多項式乘多項式——化簡求值【例題】（2023上·陜西延安·八年級校考階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本題考查了整式的混合運算?化簡求值．原式利用單項式乘多項式以及多項式乘多項式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果，把x與y的值代入計算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┗喦笾担?，其中．【答案】，14【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式以及單項式乘以多項式的運算法則運算，再合并同類項，然后把字母的值代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式—化簡求值，熟練掌握運算法則及運算順序是解此題的關(guān)鍵．2．（2023上·山西長治·八年級長治市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先計算單項式乘以多項式，多項式乘以多項式，再合并同類項即可得到化簡的結(jié)果，再把代入進行計算即可．【詳解】解：．當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查的是整式的乘法運算中的化簡求值，掌握整式的乘法運算的運算法則是解本題的關(guān)鍵．題型08單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積【例題】（2023上·重慶巴南·七年級校聯(lián)考期中）三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別置于相同的長方形中，它們既不重疊也無空隙．已知正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為．(1)用代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積，并計算當(dāng)，，時陰影部分的面積．(2)記圖1中陰影部分周長為，圖2陰影部分周長之和為，判斷的值是否與正方形A、B、C的邊長有關(guān)，若有關(guān)請說明理由，若無關(guān)，求出的值．【答案】(1)(2)的值與三個小正方形的邊長無關(guān)，值為0【分析】本題考查了多項式乘以多項式，整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則．（1）用長方形的面積減去3個正方形的面積即可；（2）分別求出m，n的值相減即可．【詳解】（1）由題意知：長方形的長為，寬為長方形的面積所以圖1中陰影部分的面積當(dāng)，，時，陰影部分的面積（2）圖1中陰影部分的周長圖2中陰影部分的周長即的值與三個小正方形的邊長無關(guān)，值為0．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進行改造，計劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？【答案】(1)計劃種植草坪的面積為(2)種植草坪應(yīng)投入的資金是243000元【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項式乘多項式，以及整式的混合運算-化簡求值，弄清楚題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）計劃種植草坪的面積等于2個矩形的面積減去陰影部分的面積，利用多項式乘多項式法則，平方差公式和完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果即可；（2）將a與b的值代入（1）中求得的栽花面積和草坪面積，再根據(jù)總價=單價×數(shù)量計算即可求解．【詳解】（1）解：（1）兩塊空地總面積：，，栽花面積：，草坪面積：．（2），，草坪價格為30元/，應(yīng)投入的資金元．2．（2023上·江西上饒·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一個長方形運動場被分隔成，，，，，共個區(qū)，區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形．

(1)列式表示每個區(qū)長方形場地的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個長方形運動場的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個長方形運動場的面積．【答案】(1)右上方區(qū)長方形場地的周長為：，左下角區(qū)長方形場地的周長為：(2)整個長方形運動場的周長為：(3)整個長方形運動場的面積為【分析】本題主要考查整式的混合運算與圖形周長、面積的計算，掌握整式的混合運算，代入求值是解題的關(guān)鍵．（1）區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形，圖形結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)長方形的周長的計算方法，整式的加減運算進行化簡即可求解；（3）根據(jù)長方形的面積的計算方法列式，代入，計算即可．【詳解】（1）解：區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形，∴區(qū)長方形場地的長為：，寬為：，∴右上方區(qū)長方形場地的周長為：，左下角區(qū)長方形場地的周長為：．（2）解：由（1）可知，區(qū)長方形場地的長為：，寬為，∴整個長方形運動場的長為：，寬為：，∴整個長方形運動場的周長為：．（3）解：整個長方形運動場的長為：，寬為：，∴整個長方形運動場的面積為：，當(dāng)，時，原式，∴整個長方形運動場的面積為．題型09多項式乘法中的規(guī)律性問題【例題】探索題：

……(1)當(dāng)時，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個位數(shù)字是．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，（2）根據(jù)題意可得：則；（3）根據(jù)題意可得：∵，，，，，，，則個位數(shù)字是按照、、、四個數(shù)依次循環(huán)，，∴的個位數(shù)字為6則的個位數(shù)字為5．【變式訓(xùn)練】1．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），下圖揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和，例如：，它只有一項，系數(shù)為1，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項，中間項系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項，中間項系數(shù)3