13.2.2-空間兩條直線的位置關(guān)系-教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第十三章立體幾何初步13.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系《立體幾何初步》一章，是在義務(wù)教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，教材的編寫力圖凸顯《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)對(duì)立體幾何的教學(xué)要求，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算等方法，以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)逐步形成空間想像能力這一教學(xué)目的．課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.會(huì)判斷空間兩條直線的位置關(guān)系.2.能用等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題．3.理解異面直線所成的角的概念．在學(xué)習(xí)和應(yīng)用定理的過程中，通過判定和證明空間兩條直線的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).1.教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)判斷空間兩條直線的位置關(guān)系.2.教學(xué)難點(diǎn)：理解異面直線所成的角的概念．多媒體調(diào)試、講義分發(fā)。觀察下面圖形.問題：六角螺母中直線CD與BE的位置關(guān)系是什么？直線AB與CD的位置關(guān)系是什么？1.直線與直線平行具有傳遞性平行于同一條直線的兩條直線平行.2.定理文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)圖形語言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)一、平行線的傳遞性例1如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：四邊形MNA1C1是梯形．證明如圖，連接AC，在△ACD中，∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線，∴MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2)AC.由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形．二、等角定理的應(yīng)用例2(1)如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(2,3)，則eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.答案eq\f(4,9)解析∵AA′∩BB′＝O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9).(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分別是棱AD，A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.證明如圖，連接EE1.∵E1，E分別為A1D1，AD的中點(diǎn)，∴A1E1AE，∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，∴A1AE1E，又A1AB1B，∴E1EB1B，∴四邊形E1EBB1是平行四邊形．∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.即∠B1E1C1與∠BEC的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同，∴∠B1E1C1＝∠BEC.反思感悟若空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般是借助于圖形判斷是相等還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能．三、異面直線的判斷例3(1)在四棱錐P—ABCD中，各棱所在的直線互為異面的有________對(duì)．答案8解析與AB異面的有側(cè)棱PD和PC，同理，與底面的各條邊異面的側(cè)棱都有兩條，故共有異面直線4×2＝8(對(duì))．(2)如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有幾對(duì)？分別是哪幾對(duì)？解三對(duì)，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.還原的正方體如圖所示．反思感悟判定異面直線的方法(1)定義即不可能同在一個(gè)平面內(nèi)．(2)利用異面直線的判定定理．(3)反證法：假設(shè)兩條直線不是異面直線，根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．四、異面直線所成的角例4如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角的大??；(2)FO與BD所成的角的大?。?1)∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角．在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.(2)如圖，連接FH，∵FB∥AE，F(xiàn)B＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點(diǎn)，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.延伸探究在本例中，若P是平面EFGH的中心，其他條件不變，求OP和CD所成的角．解如圖，連接EG，HF，則P為HF的中點(diǎn)，連接AF，AH，則OP∥AF，又CD∥AB，∴∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角，∵△ABF是等腰直角三角形，∴∠BAF＝45°，∴OP與CD所成的角為45°.反思感悟求異面直線所成的角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°<θ<180°，則180°－θ為所求．1．若一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．無法確定答案C解析一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．2．直線a與直線b相交，直線c也與直線b相交，則直線a與直線c的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．以上都有可能答案D解析如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB與AA1相交，A1B1與AA1相交，AB∥A1B1；AD與AA1相交，AB與AD相交，AA1與AB相交；A1D1與AA1相交，AB與AA1相交，AB與A1D1異面．3．(多選)如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()答案BD解析A中，直線GH∥MN；B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，且N?GH，因此直線GH與MN異面；C中，連接MG(圖略)，GM∥HN，因此，GH與MN共面；D中，G，M，N三點(diǎn)共面，但H?平面GMN，且G?MN，所以GH與MN異面．4．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，異面直線A′B′與BC所成的角的大小為________．異面直線AD′與BC所成的角的大小為________．答案90°45°解析∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即異面直線A′B′與BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是異面直線AD′與BC所成的角，且∠D′AD＝45°.5．如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點(diǎn)，∠GEF＝120°，則BD與AC所成的角的大小為________．答案60°解析依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其補(bǔ)角)即為異面直線AC