2020-2021學(xué)年高二年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末仿真模擬必刷卷01（人教A版2019解析版）

2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末仿真必刷模擬卷【人教A版2019】

期末檢測(cè)卷01

注意事項(xiàng)：

本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共23題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.在三棱錐尸-A8C中，PB=BC,PA=AC=3,PC=2,若過(guò)AB的平面a將三棱錐P-4BC分為體積相等

的兩部分，則棱PA與平面a所成角的余弦值為（）

A.—B.退C.—D.冬但

3333

【解答】解：如圖，

?.?過(guò)AB的平面a將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，

到平面ABD與C到平面ABD的距離相等，取PC的中點(diǎn)D,

連接BD,由PB=BC,PA^AC,可得PC_LA8D,

/?ZPAD為棱PA與平面a所成角，

在為△PD4中，B4=3,P0=Lpc=l，

AD=V32-l2=2V2-

...cos/徹0=2返，即棱附與平面a所成角的余弦值為2返.

33

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與平面所成的角

2.已知三棱錐A-BCQ外接球的表面積為8TT,AB=AC=BD=CD,BC=2AD,直線(xiàn)AQ與平面BCQ所成角

為三，則AB等于（）

3

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：取BC的中點(diǎn)0,?.,AB=AC=5O=CQ

：.AOLBC,DOIBC,AO^DO,

?.,直線(xiàn)A￡＞與底面BCD所成角為匹，，/"（。;三.

33

：.AO=DO=AD,

'：BC^2AD,

：.AO^BO=CO^=DO,即。為三棱錐外接球的球心，

;三棱錐外接球的表面積為碗義正二階，；./?=圾.

?MB=J（&）2+（H）2=2,

故選：B.

B

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積、二面角的平面角及求法

3.若直線(xiàn)ax+by-2=0(a,b>l)始終把圓x2+y2-2x-2y-2=0的周長(zhǎng)分為1：2.則2+2的最大值為()

ab

A.4-273B.2-72C.V2-1D.5/2

【解答】解：把圓x?+y2-2x-2)，-2=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-1)2+(y-1)2=4,其中圓心為(1,1),半

徑為2.

設(shè)直線(xiàn)與圓交于力、8兩點(diǎn)，圓心為C,

因?yàn)橹本€(xiàn)把圓的周長(zhǎng)分為1：2,所以/AC8=^X360°=120°,

3

所以圓心C(1,1)到直線(xiàn)ax+by-2=0的距離為1,即‘十武2|口,

va+b

因?yàn)閍,b>\,所以帥-2(a+6)+2=0,

由基本不等式的性質(zhì)可知，時(shí)+2=2(?+/>)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)有外》(2r歷產(chǎn),

11,+RK（ab+2）

所以」+_L=4.且=三______=《+」-△+-----7=2-V2-

ababab2ab2（2+>/2）

所以工+工的最大值為2-圾.

ab

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

4.若直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)A(2,1),8(1,-m2)(mWR)兩點(diǎn)，則直線(xiàn)/的傾斜角a的取值范圍是()

TT

B.-^-<a<n「?！蝗?/p>

A.O^a^—C.——WaV——Dc.——冗<,a^—3—兀

424224

【解答】解：根據(jù)題意，直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)A(2,1),B(1,-nf）,

則直線(xiàn)I的斜率2=上￡=1+/,

2-1

又由znGR,則k=1+，"221,

則有tana=AN1,

又由OWa<n,

則二;

42

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)的傾斜角

22

5.已知點(diǎn)尸為雙曲線(xiàn)上_-工胃=1(。>6>0)右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q,出分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)/是△

22

akb

尸吊尸，的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)，若恒有S^IPF,-SAIPF、)返S^IF.F、成立，則雙曲線(xiàn)的離

1'2?'

心率取值范圍是(）

A.(1,V2)B.(1,2V2)C.(1,2A/21D.(1,V21

【解答】解：設(shè)△叩尸2的內(nèi)切圓半徑為r,則SATDH=-SATDH=^-\PF2\T,

4lrr.24lrr.<2

SAIF.F.=-2*|F|F2L*R,

..

?SAIPF."SAIPF,""o"°AIF.F,?

14乙1￡.

...IP川-IP&I》哮內(nèi)&l,

2

由雙曲線(xiàn)的定義可知:\PFi\-\PF2\=2a,|FIF2|=2C,

心返c,即M圾.

2a

又6=￡>11,

a

...雙曲線(xiàn)的離心率的范圍是(1,V21.

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的性質(zhì)

6.如圖所示，圓柱形玻璃杯中水的液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為（）

c乎D.喙

【解答】解：由題意，設(shè)圓柱底面直徑為乩則

橢圓短軸長(zhǎng)2b=d,

橢圓長(zhǎng)軸豎直截面如下圖所示：

由題意及圖，可知

△A6C為宜角等腰三角形，且

故AC=d,BC=y[2d-

橢圓短軸長(zhǎng)2a=8C=J5”.

:.a=^巨~d,h=—d,

22

：.c2=a2-b2=(^-d)2-(—d)2=—d2.

224

2

.,_c_jh__V2

..e----l-----?

aV2J2

—T-?0

2

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】差分與數(shù)列的極值關(guān)系、橢圓的性質(zhì)

22

7.已知圓C：(x_?)2+y2=i與雙曲線(xiàn)氏2L__X_=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)相切，且圓心C恰好是雙

曲線(xiàn)E的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

2°2門(mén)

B.—-y2=l

A.-y-y=12y

222

C.JjD.x2-^-=l

912

【解答】解：如圖,

圓C：G-?)2+y2=i的圓心坐標(biāo)為(爪，0),半徑為1,

22

雙曲線(xiàn)E：--T-,-1(a>0,/?>0)的漸近線(xiàn)方程為y=±—x'

a2b2-a

fc=V3

I百b|1

由題意可得，,"n=2=1'解得『=2,fe2=i.

Va+b

a2+-b2-c2

二雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程是2--y2=l.

2，

故選:B.

【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合

8.設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S“，且$5=3,S10=15,則$20=（)

A.255B.375C.250D.200

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為4則根據(jù)S5=3,$o=15得:

aj(1-q5)

=3①

1-q

(n1-q10)

-=15②

1-q

二喜得：l+/=5；

."=4；

...嚴(yán)=16：

.aj(1-Q20)(1+q10)-ai-(1-q10)

=17X15=255.

l-q

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

9.設(shè)有四個(gè)數(shù)的數(shù)列｛斯｝,該數(shù)列前3項(xiàng)成等比數(shù)列，其和為相，后3項(xiàng)成等差數(shù)列，其和為6.則實(shí)數(shù)小

的取值范圍為（）

A.機(jī)26B.C.機(jī)W6D.m22

【解答】解：由題意，后3項(xiàng)成等差數(shù)列，其和為6,

故可設(shè)公差為d,后3項(xiàng)可寫(xiě)成2-42,2+d.

又?.?前3項(xiàng)成等比數(shù)列,

根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可知第I項(xiàng)為屹-d產(chǎn)

2

二數(shù)列｛斯｝為：屹；）：2-d,2,2+d.

2

=—cF-3d+6

2

=A（d-3）2+旦》旦.

222

故選:B.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合、等比數(shù)列的性質(zhì)

10.設(shè)函數(shù)/Ct）的圖象與直線(xiàn)y=2x+m相切，則實(shí)數(shù)，”的值為（）

A.eB.-eC.-2eD.2e

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為（s,f）,/（x）=x/〃x的導(dǎo)數(shù)為/'（x）—\+lnx,

可得切線(xiàn)的斜率為l+/〃s=2,解得s=e,

貝?。輙=elne=e=2e+m,即m=-e.

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

11.已知函數(shù)/（X）=>|，-4阮1在［1,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a<\B.C.aWOD.OWaWl

【解答】解：,?了(工)二工/一出質(zhì)在口，+8)上單調(diào)遞增，

2

2_

?"(x)=x-^-=--邑20在［1,+8)上恒成立，

XX

.?.aWx2在［1,+8)上恒成立，

即aWL

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

12.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且/(尤)-/(x)<1,/(I)=2,則不等式/(x)-

1>/一的解集為()

A.(…，1)B.(-8,2)C.(1,+8)D.(2,+8)

【解答】解：因?yàn)?(x)-/(x)<1,/(1)=2,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=豈±支，則g'G)=-幸11>0,

X-1X-1

ee

...函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.

又?.?/(X)-\>ex］,g(1)=1,

...原不等式等價(jià)于g(x)>g(1),

1,

即原不等式的解集為(1,+8).

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線(xiàn)上）

13.已知正方體ABC。-ApBCQi，點(diǎn)P在底面ABC。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且始終保持&P〃平面AMG,設(shè)直線(xiàn)小尸

與底面所成的角為0,則sinO的最大值為.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)平面AQG，的棱長(zhǎng)為2,如圖：

8p4〃平面AQC”BC〃平面AQG，則平面ABC〃平面AQG,

若點(diǎn)P在底面ABC。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且始終保持平面A1QC”則P必在線(xiàn)段AC上，

連接OP、PDi，設(shè)。P=x,

又由OQ|_L底面ABCQ,則NQP5就是直線(xiàn)。聲與底面AIBIGQ所成的角，

DD,9

即sinG=sinZDPD|=-,■

DMW

又由x的最小值為血，

則sin。的最大值為一==逅

74^23

故答案為：逅.

3

A

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與平面所成的角

14.橢圓%+J=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,過(guò)尸2的直線(xiàn)交橢圓于P，。兩點(diǎn)（P在x軸

a2

上方），|PQ|=|PQ|.若PQ_LPQ,則橢圓的離心率6=.

【解答】解：設(shè)|P尸2=加，則|PFil=2a-〃?

因?yàn)閨PQ|=|PQ,所以|。&|=24-m-m=2a-2m,

由橢圓的定義可得l2Q|=2a-(2a-2m)=2m,

因?yàn)樵凇魇瑋0中，?尸產(chǎn)=2|尸吊『，即47M2=2（2“-機(jī)）2①，可得根=_^_”,

V2+1

在△尸尸1尸2中，\F\F^=\PF^+\PF^,即4c2=(2a-m)W@,

由①-②X2可得-8c2=-2m2,即m2=—c2,可得m=-^c,③,

3V3

所以12—4=%以所以-Vs

V2+1V3a

故答案為：A/6-V3-

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)

15.已知數(shù)列｛斯｝為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，0+的=82,念七4=81,記數(shù)列四｝的前”項(xiàng)和為〃，則使不等

an

式2020g乙二^11>1成立的最大正整數(shù)n的值是—.

3nan

【解答】解：因?yàn)閿?shù)列｛a”｝為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，

由〃]+。5=82,。2°。4=81,解得。[=1,9=3,

_n-l

an-o3’

故2=2?3一"，數(shù)列卜2_｝為首項(xiàng)為2,公比為工的等比數(shù)列，

anan3

(4)1

Tn=2X—―3(1--).

1至3

2020|-1"Tn一~—11>1=202011」----|>L

nnn-1

3an33

整理得：3"<8080.

使不等式成立的最大整數(shù)n為8.

故答案為：8.

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和

16.若曲線(xiàn)y=x/nx上在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y-1=0垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)P(w,〃)，y=x/nr的導(dǎo)數(shù)為y'=\+lnx,

可得切線(xiàn)的斜率為k^l+lmn,

由切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y-1=0垂直，可得l+lnm-2,

解得m—e,n—e,

即P(e,e).

故答案為：(e,e).

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

三、解答題(本大題共7小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟)

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形A8C。是直角梯形，DC=2AD=2Afi=2ZDAB=ZADC=90°,

PB=M，△PDC為等邊三角形.

(1)證明：PDVBC-,

(2)求二面角A-PD-C的余弦值.

【解答】解：(1)證明：?.?在四棱錐P-A8CD中，四邊形ABC。是直角梯形，

0c=2AO=2A5=2,NCAB=/4￡>C=90°,PB=?△尸DC為等邊三角形.

.?.2C=B￡>={]2+]2=我,：.BD2+BC2=CD2,PB^BC^PC1,

.'.BD1.BC,PBLBC,?:BDCPB=B,

：.8C，平面PBD,：POu平面PBD,

r.PDlBC.

(2)'：BDT+PB2=PD2,:.PBLBD,

以8為原點(diǎn)，8c為x軸，8。為y軸，8P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

z

--^7K

~B

則A(一返，返，0),P(0,0,V2)-D

(0,近,0),C(加,0,0),

22

包=(-4冬-亞,而=(0,/

2，-V2).PC-(<2>0，-V2).

22

設(shè)平面用。的法向量n=(x,y,z),

n*PA=-^-x-Hy-y-V2z=0

則｛22V，，取z=l,得n=(-1,1,1)>

n?PDf/^y7^z=0

設(shè)平面PC。的法向量7=(x,y,z),

PC-ro=V2x^/2z=0取.I,得：=

>(1,1,1),

PD-in=V2y^>/2z=0

由圖知二面角A-PD-C的的平面角是鈍角,

設(shè)二面角A-PD-C的平面角為6,

/.cos0=-F?0-=-1~~==-—

1m1,1n1V3xV33

二面角A-PD-C的余弦值為-A.

3

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法、直線(xiàn)與平面垂直

18.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，已知點(diǎn)A(0,-2),B(4,0),圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-1),(0,1)及(我-1,

0).斜率為k的直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)8.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)％=2時(shí)，過(guò)直線(xiàn)/上的一點(diǎn)尸向圓C引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q,且滿(mǎn)足求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(3)設(shè)M,N是圓C上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線(xiàn)/都沒(méi)有公共點(diǎn)，求火的取值范

圍.

【解答】解：(1)設(shè)圓C的方程為：jC+y^+Dx+Ey+F=O,由圓C過(guò)(0,-1),(0,1)及1，0).

，1-E+F=O

<1+E+F=O可得E=0,D=2,F=-1,

,(V2-l)2+(V2-l)D+F=0

所以圓C的方程為：x2+/+2x-1=0；其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=2；

(2)設(shè)P(x,y),由PQ與圓C切于?？傻茫篜Qi=PC1-CQ2,又PQ=&PA，

所以:(x+1)2+y-2=2[(x+1)2+y2l，整理可得:x2+y2-2r+8y+9=0.

因?yàn)樾甭蕿閗=2經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(4,0)的直線(xiàn)/的方程為y=2(x-4),即y=2x-8,而P在/上，

T=~~

由(曾「：解得：(x=3或5

,x2+y~2x+8y+9=0兇=-234

y=-r-

所以P(3,-2)或(旦，-毀)；

55

(3)設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為K,T為該圓上任意一點(diǎn)，則K為A/N的中點(diǎn)，設(shè)CK=d,

則圓的半徑r=亞彳，

因?yàn)閨CK-HWCTWCK+r,所以2-2d如一624c六2+2閃,

因?yàn)镸,N是圓C上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以de[O,&),

對(duì)于任意de[O,&)，^2-d2=Vd2(2-d2)Gf0,|],所以O(shè)WCT^W%

故T總在以C(-l,0)為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，

故直線(xiàn)/：y=k(x-4),即心:-y-4k=0,與該圓無(wú)公共點(diǎn)，

所以1#.」_>2,解得k<-2后或k>工運(yùn).

G2121

【知識(shí)點(diǎn)】圓的一般方程

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，己知以M點(diǎn)為圓心的圓例：/+V-]?-12)，+60=0及其上一點(diǎn)A(4,

2).

(I)設(shè)圓N與〉，軸相切，與圓M外切，且圓心在直線(xiàn))，=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)平行于OA的直線(xiàn)/與圓M相交于B,C兩點(diǎn)，且BC=O4,求直線(xiàn)/的方程.

【解答】解：(1)丫可在直線(xiàn)y=6上，.?.設(shè)N(%,6),

?.?圓N與x軸相切，，圓N為(X-W2+(y-6)2=36,

化圓M：乂+),2-I?-12.y+60=0為(x-7)2+(y-6)2=25,

則圓M的圓心坐標(biāo)為M(7,6),半徑為5,

又圓N與圓例外切，

/.|7-m|=6+5,解得加=-4或所=18,

二圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+4)2+(y-6)2=36或(%-18)2+(y-6)2-36；

(2)由題意得OA=q42+2k"A="^，

設(shè)/：y=Lx+h,即x-2y+2b=0,

2

則圓心M到直線(xiàn)/的距離："=」1X7翠6+2b|=..|2b-5|_,

V5V5

則|BC|=245臂=2避,

解得〃=-5或〃=①，

22

/.直線(xiàn)/的方程為：x-2,V-5=0或x-2y+15=0.

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

20.在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,a)，且其左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-3,0),(3,0).

(1)求橢圓E的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P(-3,力為動(dòng)點(diǎn)，其中佗(-返，返)，直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn)，

22

若尸為AB的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)N,使|M4|=|NB|恒成立？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理

由

22

【解答】解：(1)設(shè)橢圓E方程：%+91(a>b>0).

a2b2

Ac=Va2-b2=3-

???橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,我)，???2。=?2一3產(chǎn)+(a)2+?2+3)2+(&)2=4?,

.??a=2無(wú)，可得丁=4.2_。2=立.

橢圓E的離心率為工二叵，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：式+乙口.

a2123

（2）設(shè)A（X1，力），B（%2?丫2），則X|+%2=-6,J|+>，2=2L

（

xJ2+4yJ2=12

TA、8在曲線(xiàn)C上，：.<,

22

x2+4y2=12

將以上兩式相減得：（X]-M）（的+、2）+4（））-"）（"+/2）=0

“2-y、3

x2~xj4t

.?.線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程：），-/=-生（x+3）,

3

令y=0,可得x=2,

4

故線(xiàn)段A8的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（旦，0）.

4

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與橢圓的綜合

2a

21.在數(shù)列｛〃”｝中，a\=l,且〃〃+i=...—（nGN+）.

an+2

（I）求。2，〃3，〃4的值；

（II）猜想數(shù)列｛恁｝的通項(xiàng)公式的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

2a

【解答】解：(I)..?卬=1,且@—(nGN*),

n+1an+2

2

2al22._2a22><3_1

a

22=市=薪了3-a2+2-2_-2

3

2a3_2xf_2

（6分）

4aq+21門(mén)5

（II）猜想數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式為a「一（"eN>…（9分）

nn+1

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

①當(dāng)”=1時(shí)，左邊=〃|,右邊=（1二1=因此，左邊=右邊?

所以，當(dāng)〃=1時(shí)，猜想成立.…（10分）

②假設(shè)〃=%(2>1,依N*）時(shí)，猜想成立，即心」一,

kk+1

2ak2X備2

那么〃=2+1時(shí)，a

k+1__

-ak+22(k+l)+r

k+1

所以，當(dāng)〃=女+1時(shí)，猜想成立.…（11分）

根據(jù)①和②，可知猜想成立.…（12分）

【知識(shí)點(diǎn)】歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法

22.已知函數(shù)f(x)=(JC+1)Inx-a(x-1).

(I)當(dāng)a=3時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在(1,/(D)處的切線(xiàn)方程；

(II)若xe(1,+8),f(x)>0,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【解答】解：(I)當(dāng)。=3時(shí)，f(x)=(x+1)Inx-3(x-1)的導(dǎo)數(shù)為

f(x)-3=/nx+—-2,

xx

曲線(xiàn)y=f(x)在(1,7(1))處的切線(xiàn)斜率為k=-\,

又切點(diǎn)為(1,0),則切線(xiàn)方程為y=-(x-1),

即為x+y-]—0；

(II)xe(1,+8),/(x)>0,

可得a<(x+1)Inx在x>1恒成立，

x-l

設(shè)g(x)=S+L)X>1,g'(x)=——5------,

xT(x-l)2

令h(x)^x---llnx,h'(x)=l+±-

XV2v2XXx

可得〃(x)在(1,+8)遞增，h(x)>/?(1)=0,

即g'(x)>0,g(x)在(1,+8)遞增，

由(x+1)Inx.2=(x+l)lnx-2(x-l)設(shè)、=(.)扇一2(x-1),x>1,y'=/小+!-1,

X-1X-l