【中考數(shù)學(xué)】2023屆北京市區(qū)域高頻考點(diǎn)一模復(fù)習(xí)專(zhuān)題分層-圓的綜合題（含解析）

【中考數(shù)學(xué)】2023屆北京市區(qū)域高頻考點(diǎn)一模復(fù)習(xí)專(zhuān)題分層

一圓的綜合題

一、綜合題

1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,BD是。O的直徑，AE_LCD于點(diǎn)E,DA平分

ZBDE.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)如果AB=4,AE=2,求。O的半徑.

2.如圖，在AABC中，,以AB為直徑的。O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D

的直線EF交AC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且乙BAC=2乙BDE.

(1)求證：。F是。0的切線;

(2)當(dāng)CF=2,BE=3時(shí)，求AF的長(zhǎng).

3.如圖，A,B,C,D是。O上的四點(diǎn)，ZBAC=ZCAD,P是線段CD延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，且/PAD=NABD.

D

(1)請(qǐng)判斷△BCD的形狀(不要求證明);

(2)求證：PA是。0的切線;

求證：AP2-DP2=DP?BC.

4.如圖，AC與。0相切于點(diǎn)C,AB經(jīng)過(guò)。0上的點(diǎn)D,BC交。0于點(diǎn)E,

DE/70A,CE是。0的直徑.

(1)求證：AB是。0的切線;

(2)若BD=4,CE=6,求AC的長(zhǎng).

5.如圖，在AABC中，AB=AC，以AB為直徑作。0交邊BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)

D作DE1AC于點(diǎn)E,CA的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)F,連接BF.

3,求BF的值:

(2)求證：DE為。。的切線.

6.如圖，在。0中，AB為直徑，OCLAB,弦CD與0B交于點(diǎn)F,在AB的延長(zhǎng)線

上有點(diǎn)E,且EF=ED.

(2)若OF：OB=1：3,。0的半徑R=3,求言的值.

7.如圖，在菱形ABCD中，。是對(duì)角線BD上一點(diǎn)(BO>DO),OELAB,

垂足為E,以0E為半徑的O0分別交DC于點(diǎn)H,交E0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

尸，EF與DC交于點(diǎn)G.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若G是OF的中點(diǎn)，0G=2,DG=1.

①求處的長(zhǎng)；

②求AD的長(zhǎng).

8.如圖，XABC內(nèi)接于。。，AB是。。的直徑，C是左D中點(diǎn)，弦CE1

AB于點(diǎn)H,連結(jié)AD,分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q,連結(jié)BD.

(1)求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；

(2)若。。的半徑為5,D是品的中點(diǎn)，求弦CE的長(zhǎng).

9.如圖，AB=2,射線點(diǎn)P為BM上一點(diǎn)，以BP為直徑作。C,點(diǎn)D在

OC上，AD=AB,連接PD,點(diǎn)Q為弦PD上一點(diǎn)，射線QC交。C于點(diǎn)E.

D一

M

(1)求證：AD為。C的切線；

(2)若“CB=30°,求劣弧所的長(zhǎng).

10.如圖：AB是。O的直徑，AC交。O于G,E是AG上一點(diǎn)，D為ABCE內(nèi)心,

BE交AD于F,且/DBE=/BAD.

(1)求證：BC是。O的切線；

(2)求證:DF=DG；

(3)若/ADG=45。，DF=1,則有兩個(gè)結(jié)論：①AD?BD的值不變；②AD—BD的

值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)選擇正確的結(jié)論，證明并求其值.

11.如圖AB為。O的直徑，C為。O上半圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CEJ_AB于點(diǎn)E,/OCE的

角平分線交。O于D點(diǎn).

(1)當(dāng)C點(diǎn)在。。上半圓移動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)位置會(huì)變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若。O的半徑為5,弦AC的長(zhǎng)為6,連接AD,求線段AD、CD的長(zhǎng).

12.如圖，AB是。0的直徑，弦AC=BC,E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到

點(diǎn)F,使EF=CE,連接AF交。。于點(diǎn)D,連接BD,BF.

c

(1)求證：直線BF是。。的切線;

(2)若AF長(zhǎng)為5V2，求BD的長(zhǎng).

(1)如圖1,若點(diǎn)A、F把半圓三等分，連接OA,0A與BF交于點(diǎn)E.求證：E

為OA的中點(diǎn)；

(2)如圖2,若點(diǎn)A為弧BF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ADLBC,垂足為點(diǎn)D,ADV

BF交于點(diǎn)G.求證：AG=BG.

14.已知直線I與。O,AB是。O的直徑，AD±I于點(diǎn)D.

??；

(2)如圖②，當(dāng)直線I與。。相交于點(diǎn)E、F時(shí)，若/DAE=18。，求/BAF的大

小.

15.如圖，四邊形ABCD是。0的內(nèi)接四邊形，ZABD=ZCBD=60°,AC與BD相交

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作。O的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

B

(1)判斷△ACD的形狀，并加以證明

(2)若CF=2,DE=4,求弦CD的長(zhǎng).

16.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作(DO交邊BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D

作DE_LAC交AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)ED交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：DE是。O的切線；

(2)若AB=8,AE=6,求BF的長(zhǎng).

答案解析部分

1.【答案】（1）證明：連接0A,

VOA=OD,

AZ1=Z2.

VDA平分/BDE,

.\Z2=Z3.

.?.N1=N3.AOA^DE.

.*.ZOAE=Z4,

VAE1CD,AZ4=90°.

ZOAE=90°,即OA，AE.

又?.?點(diǎn)A在。O上，

.?.AE是。O的切線

(2)解：YBD是。O的直徑，

.\ZBAD=90o.

VZ5=90°,.\ZBAD=Z5.

又：N2=N3,?.△BAD^AAED.

.BD_BA

''AD=AE'

VBA=4,AE=2,；.BD=2AD.

在RtABAD中，根據(jù)勾股定理，

得BD=|V3.

半徑為|V3.

2.【答案】（1）證明：如圖，連接0D,AD,

D

-AB是直徑,

：./.ADB=90°.

：.AD1BC.

U：AB=AC,

：.乙BAC=2(BAD,

，乙BAC=2乙BDE,

：.^BDE=/-BAD.

VOA=OD,

：.z.BAD=Z.ADO.

\^ADO+^ODB=90°,

:.乙BDE+乙ODB=90°.

J./LODE=90°,即OF100.

又。。是。。的半徑，

：.DF是。0的切線.

(2)解：=AC,AD1BC,

：.BD=CD.

,:BO=AO,

J.OD//AC.

△EODEAF,

.OD_EO

??麗二麗?

設(shè)OD=%,VCF=2,BE=3,

OA=OB=x,AF=AC-CF=2x—2,EO=x+3,EA=2%+3.

?x_x+3

^2^2=2^+3?

解得%=6.

經(jīng)檢驗(yàn)x=6是所列分式方程的解.

：.AF=2x-2=10.

3.【答案】(1)解：VZBAC=ZCAD,

：.BC=CD,

.,.ZBDC=ZCBD,

BCD是等腰三角形

(2)證明：連接OA、OD,

則/AOD=180。-2ZOAD,

ZAOD=2ZABD=2ZPAD,

ZPAD=900-ZOAD,

ZPAD+ZOAD=90°,

AOAIAP,

；.PA是。O的切線.

(3)證明：：PA是。O的切線，

，AP2=PDxPC,

AAP2-DP2=PDxPC-DP2=DP(PC-DP)=DPxCD,

又：BC=CD,

AAP2-DP2=DP?BC.

4.【答案】(1)解：證明：連接OD,如圖:

AZOED=ZODE,

VDE/70A,

AZOED=ZAOC,ZODE=ZAOD,

:.ZAOC=ZAOD.

在^AODfnAAOC中，

AO=AO

Z-AOD=乙AOC

OD=OC

?,.△AOD^AAOC,

AZADO=ZACO.

〈AC與。。相切于點(diǎn)C,

.\ZADO=ZACO=90o,

又二?OD是。O的半徑，

/.AB是。O的切線；

(2)解：VCE=6,

.,.OE=OD=OC=3.

在RSODB中，BD=4,OD=3,

：.BD2+0D2=BO2,

.\BO=5,

???BC二BO+OC=8.

???。0與AB和AC都相切，

???AD=AC.

在RtAACB中，AC2+BC2=AB2,

即：AC24-82=("+4)2,

解得：AC=6；

5.【答案】(1)解：-AB是O。的直徑，

???Z.AFB=90°.

9JAC=3,AB=AC,

:.AB—3.

又vAF=1

二在Rt△ABF中，BF=>JAB2-AF2=V32-l2=2近.

:.Z.ODB=Z.ABC.

vAB=AC,

:.Z.C=(ABC.

:.乙ODB=Z.C.

???OD||AC.

vDE1AC,

???DE1OD.

???DE為OO的切線.

6.【答案】(1)證明:連結(jié)O案如圖,

VEF=ED,

JNEFD=NEDF,

,:NEFD=NCFO,

JZCFO=ZEDF,

VOC1OF,

???ZOCF+ZCFO=90°,

而OC=OD,

AZOCF=ZODF,

???ZODC+ZEDF=90°,即ZODE=90°,

AOD1DE,

???DE是。O的切線；

(2)解：VOF：OB=1：3,

.\OF=1,BF=2,

設(shè)BE=x,貝ljDE=EF=x+2,

VAB為直徑，

，ZADB=90°,

AZADO=ZBDE,

而NADO=NA,

AZBDE=ZA,

而NBED=NDAE,

.*.△EBD^AEDA,

?DEBEBDRn%+2_x_BD

?,荏=而=宿印喬TrR'

x=2,

?BD_2_1

99AD~2+2~2,

7.【答案】(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)0作OMLBC于點(diǎn)M，

■:BD是菱形ABCD的對(duì)角線,

：.^ABD=Z.CBD,

?：0M工BC,OELAB,

AZOEB=ZOMB=90°,

VOB=OB,

/.AOEB^AOMB(AAS)

二OE=OM,

：.BC是。0的切線

(2)解：①如圖,

VG是OF的中點(diǎn)，OF=0H,

1

:?0G=20H.

'：AB//CD,OE1AB,

：.0F1CD,

：.AOGH=90°,

/?sinzGHO=1,

C.^GHO=30°,

:?乙GOH=60°,

，乙HOE=120°,

9COG=2,

：.OH=4,

???由弧長(zhǎng)公式，得到ffE的長(zhǎng)：z=120x4X7r

②方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN1AB于點(diǎn)N，

■:AB]/CD,

△ODG-△OBE,

.DG_0G_OG_1

"BE=OE：=2OG=2'

:.BE=2DG=2,

VDG//NE,DN//GE,ZGEN=90°

???四邊形NEGD是矩形，

：.NE=DG=1,BN=3,OE=4,DN=6,

在菱形ABCD中，AD=AB,在Rt^ADN中，設(shè)4。=4B=x,

Ax2=(X-3)2+62，

?15

"X=T,

方法二：如圖，過(guò)4作AN_L50于點(diǎn)N,

VDG=1,OG=2,OE=OH=4,

：.0D=遍，OB=2V5,ON=享，

△DOG-△DAN,

DODG

'亞=麗

DO-DN

??AD=DG

8.【答案】(1)證明：:CE1ABAB是直徑

*.AC=AE

又??,*=C0

.\AE=CD

J.Z.CAD=Z.ACE

：.AP=CP

9：AB是。。的直徑

：.^ACB=90°,

C./-ACE4-Z.BCP=￡.CAD+Z.CQA=900

:.(BCP=乙CQA

：.CP=PQ

：.AP=PQ

即P是線段AQ的中點(diǎn)；

(2)解：?“是他中點(diǎn)，D是:既的中點(diǎn)

：.AC=Ct)=ETB,AB是直徑

.3408=90。，/.ABC=30°,ZCAB=60°

又FB=5x2=10

：.AC=5,

/.BC=y/AB2-AC2=V102-52:=5^3

又：CE14B,ZCAB=60°

.,.CH=ACsin60°=5x叵;也

22

qF5

，CE=2CH=2x詈=5百?

9.【答案】(1)證明：如下圖所示,連接CD.

PM

E

VAD=AB,DC=BC,AC=AC,BM±AB,

???△ACD=△ACB(SSS),ZCBA=90°.

：.z.CDA=Z.CBA=90°.

VCD為半徑，

???AD為OC的切線.

(2)解：VZ71CB=30°,^ACD=^ACB,AB=2,

.\ZACD=ZACB=30°,AC=2AB=4.

"DCB=44CD+Z.ACB=60°,BC=y]AC2-AB2=2^3.

：.Z.PCD=120°.

...劣孤用的長(zhǎng)為增率生=崢兀.

lol)D

10?【答案】(1)證明：???D為^BCE內(nèi)心，

AZDBC=ZDBE,

VZDBE=ZBAD.

AZDBC=ZBAD,

:AB是QO的直徑，

?ZDB=90°,.

^￡.BAD+z-ABD=90\

???￡DBC+乙ABD=90°,

即Z.ABC=90°,

.\AB±BC,

???BC是OO的切線

(2)證明：如圖1,連接DE,

圖1

ZDBC=ZBAD,ZDBC=ZDBE,

AZDBE=ZBAD,

:.NABF+NBAD=NABF+NDBE,

AZBFD=ZABD,

VZDGC=ZABD,

???NBFD=NDGC,

AZDFE=ZDGE,

?ID為^BCE內(nèi)心，

AZDEG=ZDEB,

在^DEF和^DEG中

NDFE=Z.DGE

乙DEG=(DEF,

DE=DE

???△DEF絲△DEG(AAS),

ADF=DG；

(3)解：AD-BD的值不變；

如圖2,在AD上截取DH=BD,連接BH、BG,

圖2

VAB是直徑，

?"ADB=Z.AGB=90°,

二ZiWG=45\

：^ABG=zADG=45°,

^AB=&BG,

■:乙BDH=90°,BD=DH,

LBHD=45°,

：.Z.AHB=180°-45°=135°,

■:乙BDG=Z.ADB+Z.ADG=900+45°=135°,

，NAHB=NBDG,

VZBAD=ZBGD,

.*.△ABH^>AGBD,

?4H_4B一步

VDG=1,

.".AH=V2,

AD-BD=AD-DH=AH,

.".AD-BD=V2.

IL【答案】(1)解：當(dāng)C點(diǎn)在。O上半圓移動(dòng)時(shí)?，D點(diǎn)位置不會(huì)變;

理由如下：連接OD.

：CD平分/OCE,

：.Z\=Z3,

而OC=OD,

.".Z1=Z2,

N2=N3,

...CE〃OD,

VCE1AB,

AOD1AB,

：.AD=BD,即點(diǎn)D為半圓AB的中點(diǎn).

(2)解：,在直角AAOD中，OA=OD=5,

.'.AD=5A/2.

過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線，垂足為G,

1

:乙4C。乙4。。=45°,

.?.△AGC是等腰直角三角形,

?..AC=6,

"-AG=CG=3y/2.

22

在直角4AGD中，DGJ(5V2)-(3V2)=4V2,

:.CD=CG+DG=3或+4夜=7VI,

二線段AD的長(zhǎng)度為5V2，線段CD的長(zhǎng)度為7夜.

12.【答案】(1)證明：如圖，連接OC、OF,

；EF=CE,OE=BE,

...四邊形OFBC是平行四邊形，

...BF〃OC,

VAC-BC,OA=OB,

AOCIAB,

AZABF=ZBOC=90°,

VOB是。O的半徑，且BF±OB,

二直線BF是。O的切線；

(2)解：如圖，：AB是。O的直徑,

c

AZADB=ZACB=90°,

ZCAB=ZCBA=45°,

VOC=OB,

.*.ZOCB=ZOBC=45°,

.,.ZBFO=ZOCB=45°,

：OF〃BC,

.*.ZBOF=ZOBC=45°,

ZBFO=ZBOF,

，F(xiàn)B=OB=OA=1AB,

VFB2+AB2=AF2,且AF=5V2,

Z.(|AB)2+AB2=(5V2)2,

；.AB=2VlO,

.?.FB=1AB=A/10,

的半徑為V10，

；SAABF=1AB?BF=1AF?BD,

：.2VloXVIo=5XBD,

.?.BD=2V2.

13.【答案】(1)證明：:A、F為半圓三等分點(diǎn),

ZAOB=1xl80°=60°,

VOA=OB,

/.△OAB為等邊三角形.

；A為弧BF中點(diǎn)，

AOA±BF,

二.BE平分OA,

???E為OA中點(diǎn)

(2)證明：連接AF,AC,

?A為弧BF中點(diǎn),

：.AB=AF,

JNABF=NF.

VZF=AB,

.\ZC=ZF,