2020-2021學(xué)年遼寧省鞍山市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年遼寧省鞍山市九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.下列四個(gè)圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.圓B.等邊三角形C.平行四邊形D.正五邊形

2.一元二次方程41+1=4x的根的情況是（）

A.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

3.把拋物線y=2^先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式

為（）

A.y=2（x+3）2+4B.y=2（x+3）2-4

C.y=2（x-3）2-4D.y=2（x-3）2+4

4.如圖，AB是。0的直徑，A、B、C、￡＞在0。上，/AOC=110°,則/。的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.55°D.70°

5.如圖，△（%＞￡＞是△AO3繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的圖形，點(diǎn)C恰好在A3上,

則N4的度數(shù)為（）

C.70°D.75°

6.某超市1月份的營(yíng)業(yè)額是0.2億元,第一季度的營(yíng)業(yè)額共1億元.如果平均每月增長(zhǎng)率

為x,則由題意列方程應(yīng)為（）

A.0.2(1+x)2=1B.0.2+0.2X2x=l

C.0.2+0.2X3x=1D.0.2X[1+(1+x)+(1+x)2]=1

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE和80交于點(diǎn)。，若SAEOB=1,

則四邊形AEO。的面積為（)

A.4B.5C.6D.7

8.如圖，菱形A2CQ的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，AC=6,8。=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),

沿著8-4-。在菱形A8C。的邊AB,40上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。停止.點(diǎn)P'是點(diǎn)P關(guān)

于BO的對(duì)稱點(diǎn)，連接尸P'交8。于點(diǎn)若BM=x（0<x<8）,△DPP，的面積為y,

下列圖象能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

二、填空題（每小題3分，共24分），

9.中心角為30°的正多邊形邊數(shù)為.

10.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（-1,2）,則此反比例函數(shù)的解析式

為,

II.已知△4BCSA45C,和A'力'是它們的對(duì)應(yīng)中線，若AO=10,A'D'=S,則ZXABC

與△AHU的周長(zhǎng)比等于

12.己知x=l是一元二次方程x2-4x+k=0的一個(gè)根，則氏=.

13.已知點(diǎn)4（4,V）,8（料，”），C（-2,”）都在二次函數(shù)y=（x-2）2+k的圖

象上，則％、”、然的大小關(guān)系是.（請(qǐng)用連接）

14.如圖，點(diǎn)A、B、C、。在。。上，4。是的直徑，且4。=3無，若NA8C=/C4￡>,

8C交AO于點(diǎn)E,則CE?8C為.

15.如圖，在矩形ABCO中，BC=2AB,點(diǎn)E是邊8C的中點(diǎn)，連接AE、DE,分別交BD、

AC點(diǎn)P、Q,過點(diǎn)P作PFLAE交CB于點(diǎn)尸，下列結(jié)論：

①NEAC=NEDB；②AP=2PF；③若&0℃=竽，則AB=8；

?CE-EF=EQ-DE.其中正確的結(jié)論有.（填序號(hào)即可）

16.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）,將△OAB繞點(diǎn)A第一次順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到△ONS,將△CM以繞點(diǎn)5第二次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到aCM山”將

△0M向繞點(diǎn)8第三次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△O3A2B1,…，如此進(jìn)行下去，則點(diǎn)O2021

17.（16分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?

(1)N+4x-1=0；

(2)2^-3%-5=0.

18.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AOE,連接BO,CE.

求證：△ADBS/XAEC.

四、解答題(每題10分，共20分)

19.如圖，一次函數(shù)>=履+匕的圖象與反比例函數(shù)>=皿的圖象相交于A(-1,n),B(2,

x

-1)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，求△ABO的面積.

20.如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)為15cm,寬為10a”的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩

條的寬度之比為5：4,若使所有彩條所占面積是原來矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何

設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？

五、解答題（每題10分，共20分）

21.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)y=-1+工的圖象的性質(zhì)進(jìn)行了探究.

X

下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整；

（1）函數(shù)y=-1+工的自變量X取值范圍為:

X

（2）完成表格，并畫出函數(shù)的圖象；

X???-3-2-122工工123???

"2"3~3~2

?????

y?

（3）寫出函數(shù)丫=-1+工的兩條性質(zhì).

22.如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，BE=CE,AOLBC于點(diǎn)。，AO與EC

交于點(diǎn)G.

（1）求證：NBEC=2NAGE；

（2）若黑=看，求萼的值.

BE3DG

六、解答題（每題10分，共20分）

23.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是A8邊上一點(diǎn)，作△BCQ的外接圓

。0,CE是。。的直徑，且CE與AB交于點(diǎn)G,DF〃EC交AC于點(diǎn)F.

（1）求證：。尸為OO的切線;

24.某服裝廠自主經(jīng)銷一款精品服裝，生產(chǎn)成本為500元/套，提價(jià)40%后進(jìn)行銷售，每周

可以銷售60件；受“新冠疫情”影響，原材料價(jià)格上漲，使得該款服裝生產(chǎn)成本上漲,

該服裝廠決定在保持利潤(rùn)率不變的情況下提高銷售價(jià)；調(diào)研發(fā)現(xiàn)該款服裝生產(chǎn)成本上漲

10元/套，每周銷量就減少1套，若設(shè)該款服裝生產(chǎn)成本上漲x元/套（x>0且x為10的

整數(shù)倍），銷售價(jià)為y元/套.（利潤(rùn)率=尚呆

（1）求y與X之間函數(shù)關(guān)系式;

（2）設(shè)每周銷售利潤(rùn)為W元，求W與X之間函數(shù)關(guān)系式，并求服裝生產(chǎn)成本上漲多少

元/套時(shí)，每周銷售利潤(rùn)最大.

七.解答題（本愿12分）

25.如圖，在Rt/XACB中，NACB=90°,NABC=30°,點(diǎn)尸、點(diǎn)G是射線A8上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，過G作48的垂線，點(diǎn)E為該垂線上一點(diǎn)，連接CE,使得NCEG=NCPB.

（1）如圖1,若點(diǎn)G與點(diǎn)A重合,

①求空的值；

CP

②當(dāng)AE=AP=2時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合，且A8=8AG,求續(xù)■的值.

BCB

圖1備用圖

八、解答題（本題14分）

26.如圖，拋物線）'=±小+笈+。經(jīng)過點(diǎn)B（-2,。）和點(diǎn)C（0,-2）,與x軸交于點(diǎn)A.

4

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P（0,”）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段。8繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段

Ob；

①若線段O'S與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出力的取值范圍；

②直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)8是線段的中點(diǎn)，求”的值.

y

一

弋Z7一

備用圖

參考答案

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.下列四個(gè)圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.圓B.等邊三角形C.平行四邊形D.正五邊形

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念判斷即可.

解：A、圓既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；

8、等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；

C、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；

。、正五邊形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；

故選：A.

2.一元二次方程4/+l=4x的根的情況是（）

A.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

【分析】將方程變形為一般式，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出△=（）,由此即可

得出結(jié)論.

解：原方程可變形為45-4x+l=0,

:在方程4/-4x+1=0中，△=（-4）2-4X4X1=。，

方程4x2+l=4x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

3.把拋物線y=2^先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式

為（）

A.y—2（x+3）2+4B.y—2（x+3）2-4

C.y=2（x-3）2-4D.y=2（x-3）2+4

【分析】拋物線y=2^的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,則把它向左平移3個(gè)單位，再向上平移

4個(gè)單位，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,4）,然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出解析式.

解：把拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)解

析式為y=2（x+3）2+4.

故選：A.

4.如圖，AB是。0的直徑，A、B、C、。在。0上，ZAOC=1W°,則/。的度數(shù)為（)

C.55°D.70°

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得NBOC的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理可得/。的度數(shù).

解：VZAOC=110°,

...NBOC=180°-110°=70°,

：.ZD=—ZBOC=35°,

2

故選:B.

5.如圖，△COO是△A08繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的圖形，點(diǎn)C恰好在AB上,

則/A的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.70°D.75°

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=CO,N4OC=30°,由等腰三角形的性質(zhì)可求解.

解：?.,△COO是aAOB繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的圖形，

；.AO=CO,ZAOC=30°,

.?.N4=NACO=180°一30°=75。,

2

故選：D.

6.某超市1月份的營(yíng)業(yè)額是0.2億元，第一季度的營(yíng)業(yè)額共1億元.如果平均每月增長(zhǎng)率

為x,則由題意列方程應(yīng)為（）

A.0.2(1+x)2=1B.0.2+0.2X2x=l

C.0.2+0.2X3x=lD.0.2X[l+(1+x)+(1+x)2]=1

【分析】根據(jù)增長(zhǎng)率問題，一般增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量X（1+增長(zhǎng)率），關(guān)系式為:

一月份月營(yíng)業(yè)額+二月份月營(yíng)業(yè)額+三月份月營(yíng)業(yè)額=1,把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.

解：設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意：二月份的月營(yíng)業(yè)額為0.2(1+X),

三月份的月銷售額在二月份月銷售額的基礎(chǔ)上增加X,

為0.2(1+為X(1+x),則列出的方程是:0.2X[l+(1+x)+(1+x)2]=1.

故選：D.

7.如圖，在平行四邊形488中，點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，CE和8。交于點(diǎn)。，若SAEOB=1,

則四邊形AEOO的面積為()

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似的判定和性質(zhì)，可以得到△80C和△COO的面積，

從而可以得到△BC。的面積，再根據(jù)△ABQ和△BCO的面積一樣,即可得到四邊形AE。。

的面積.

解：；在平行四邊形A8C。中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

J.CD//AB,

:.IXDOCslxBOE,

.ocCD9

0EBE

SAEOB=1,

:.SABOC=2,SA0OC=4,

.,.SABCD=6,

??SCDAB=6,

四邊形AEOD的面積為：SADAB-SAWB=6-1=5,

故選：B.

8.如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=6,80=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，

沿著BfA-。在菱形ABC。的邊AB,A。上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。停止.點(diǎn)P'是點(diǎn)P關(guān)

于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接PP交BD于點(diǎn)M,若BM=x(0<x<8),△DPP，的面積為y,

下列圖象能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是()

BD

【分析】由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA,0A=^AC=3,0B=^BD=4,ACA.

BD,分兩種情況：

①當(dāng)8MW4時(shí)，先證明△「'BPsACBA,得出比例式里「理，求出PP',得出△

ACOB

DPP'的面積y是關(guān)于X的二次函數(shù)，即可得出圖象的情形；

②當(dāng)時(shí)，y與x之間的函數(shù)圖象的形狀與①中的相同；即可得出結(jié)論.

解：???四邊形A8CO是菱形，

；.AB=BC=CD=DA,OA=—AC=3,OB=—BD=4,ACVBD,

22

①當(dāng)BMW4時(shí)，

:點(diǎn)P'與點(diǎn)P關(guān)于8。對(duì)稱，

：.P'P1.BD,

：.P'P//AC,

：./\P'BPs/\CBA,

.PP’BM日"P'X

ACOB64

'：DM=S-x,

11oo

:.△DPP'的面積y=』PP'-DM=—X—（8-x）=--x2+6x；

2224

??.），與x之間的函數(shù)圖象是拋物線，開口向下，過（0,0）和（4,12）；

②當(dāng)時(shí)，y與x之間的函數(shù)圖象的形狀與①中的相同，過（4,0）和（8,0）；

綜上所述：y與x之間的函數(shù)圖象大致為：

故選：C.

二、填空題（每小題3分，共24分），

9.中心角為30°的正多邊形邊數(shù)為12.

【分析】根據(jù)正〃邊形的中心角的度數(shù)為360°小〃進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

解：因?yàn)?60°+30°=12.

所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12.

故答案為：12.

10.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸（-1,2）,則此反比例函數(shù)的解析式為y=-2.

X

【分析】首先設(shè)丫=區(qū)，再把P（-1,2）代入可得關(guān)于左的方程，然后可得解析式.

X

解：設(shè)y=K,

x

?.,圖象經(jīng)過點(diǎn)P（-1,2）,

.。一k

*'--1'

解得:k=-2,

關(guān)于x的解析式為y=-2，

X

故答案為：y=-—?

x

11.已知△ABCsAAbC,AD和A'。是它們的對(duì)應(yīng)中線，若AO=10,A'O'=8,則△A8C

與△4EU的周長(zhǎng)比等于5：4

【分析】相似三角形的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)的中線的比.

解：VAABC^AA'B'C,AD和是它們的對(duì)應(yīng)中線，AD=\O,A'D'=8,

；.ABC與△A'BC的周長(zhǎng)比=4。：-D'=10：8=5：4.

故答案為:5：4.

12.已知x=l是一元二次方程x2-4x+k=0的一個(gè)根，則k=3.

【分析】把x=l代入方程3-4x+火=0得1-4+左=0,然后解關(guān)于左的方程即可.

解：把x=1代入方程x2-4x+k—0得1-4+仁0,

解得k=3.

故答案為3.

13.已知點(diǎn)A(4,%),B(亞，y2),C(-2,y3)都在二次函數(shù)y=(x-2)2+上的圖

象上，則V、”、V3的大小關(guān)系是丫3>刃>丫2.(請(qǐng)用連接)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向上，對(duì)稱軸是直線X=2,根據(jù)x<2

時(shí)，y隨X的增大而減小，即可得出答案.

解：(x-2)2+k,

圖象的開口向上，對(duì)稱軸是直線x=2,

；.A(4,yi)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)是(0,%),

；-2<0<&,

.,.》3>%>丫2，

故答案為>3>yi>y2.

14.如圖，點(diǎn)A、B、C、。在00上，AO是的直徑，且4。=3無，若/ABC=/CA。,

BC交4。于點(diǎn)E,則CE-BC為9.

【分析】由圓周角定理可知NABC=N。，又NA8C=NC4。，則可得從

而可得出。=CD；由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得/ACO=90°；由勾股定理求得C4

的值；由NABC=NC4。，NACB=NECA,可判定△ACBsaECA,由相似三角形的性

質(zhì)可得比例式，變形即可得出答案.

解：VZABC=ZCAD,ZABC=ZD,

：.ZD=ZCAD,

：.CA=CD,

"：AD是。。的直徑，

AZACD=90°,

在Rtz^4C￡）中，由勾股定理得：CA1+CD1=AD1,

,:AD=3?,CA=CD,

2C42=i8,

解得：CA=3.

'：NABC=ZCAD,ZACB=ZECA,

：.XACBs[\ECA,

：.BC：AC=AC：CE,

：.CE-BC=AC-AC^9.

故答案為：9.

15.如圖，在矩形ABC。中，BC=2AB,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE、DE,分別交應(yīng)人

AC點(diǎn)尸、Q,過點(diǎn)P作尸F(xiàn)_LAE交CB于點(diǎn)F,下列結(jié)論：

①NEAC=NEDB；②AP=2PF；③若10%=學(xué)，則AB=8；

@CE-EF=EQ-DE.其中正確的結(jié)論有①②④.（填序號(hào)即可）

【分析】由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求/AEB=/OEC=45°,由外角的性質(zhì)

可求/E4C=NE￡>8,可判斷①；通過證明△AOPsaEBP,可得地#=2,可判斷

BEPE

②；通過證明△AQQsaCEQ,可得祟今^=2,可得AQ=2QC,由三角形的面積公式

ECQC

可求43=4,可判斷③，由“SAS”可證aABE會(huì)△￡>（7￡,可得AE=OE,由相似三角形

的性質(zhì)可求PE=EQ,通過證明△PEFs^CDE,可得黑噂，可判斷④，即可求解.

ILkzUIL

解：??,四邊形A8CO是矩形，

：.AB=CDfAD=BC,OA=OB=OC=ODfNABC=NBCD=9U°,AD//BC,

??/OBC=NOCB,

??BC=2A8,點(diǎn)E是邊8c的中點(diǎn)，

??BE=EC=AB=CD,

\ZAEB=ZDEC=45°,

NAEB=NACB=ZEAC,/DEC=/DBC+/BDE,

??/EAC=/EDB,故①正確；

：PFLAE,

?.NPFE=NPEF=45。,

??PE=PF,

JAD//BC,

\△ADPS/\EBP,

.ADAP_9

BEPE

\AP=2PE=2PF,故②正確；

：AD//BC,

?.XADQsXCEQ,

.AD_AQ_2

'EC"OC-'

?.AQ=2QC,

,?5AA￡>C=16,

XA￡>XDC=16,

2

??OC=4,

??A8=4,故③錯(cuò)誤，

：AB=BE,DC=CE,NABE=NDCE=90,

\AABE^ADCE(SAS),

\AE=DE9

:AADPSAEBP,叢ADQSXCEQ,

,BEJPE=1ECJQ=1

AD"AP-TAD=QD"?

?.?PE—■EQ-f

APQD

?.?EP—EQ,

AEDE

：.PE=EQf

VZAEB=ZDEC=45°,ZEPF=ZECD=90°,

:.APEFSACDE,

.PE_EF

??—，

ECDE

：.CE，EF=EQ?DE.故④正確；

故答案為：①②④.

16.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),將△048繞點(diǎn)A第一次順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAB”將△CMBi繞點(diǎn)與第二次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△。248”將

△CM囚繞點(diǎn)5第三次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△0認(rèn)2助，…，如此進(jìn)行下去，則點(diǎn)。2021

的坐標(biāo)為(2021,1).

【分析】根據(jù)題意得出0點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出點(diǎn)。2021的坐標(biāo)位置，進(jìn)而得出答案.

解：???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),aAOB是直角三角形，

：.OA=\,AB=2,

將△OAB繞點(diǎn)A第一次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△0兇81,此時(shí)Oi為(1,1),

將△OiABi繞點(diǎn)B第二次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CMIBI,得到O2為(1+2+1,2),

再將繞點(diǎn)Bi第三次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△。以汨|,得到。3(1+2+2,-1),

依此規(guī)律，

.?.每4次循環(huán)一周，Oi(1,1),。2(4,2),。3(5,-1),Q,(4,0),

V20214-4=505-l,

.?.點(diǎn)。2021(505X4+1,1),即(2021,1).

故答案為(2021,1).

三、解答題（每題8分，共16分）

17.（16分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

（1）x2+4x-1^0；

（2）2.x2-3x-5=0.

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可.

解：⑴12+4工-1=0.

移項(xiàng)得：JT+^X—1,

配方得：X2+4A+4=1+4,

即（x+2）占5,

開方得：x+2=±娓，

原方程的解是：X|=-2+X2—-2-

（2）2X2-3x-5=0.

因式分解得（2x-5）（x+1）=0,

2x-5=0或x+1=0,

.一5_.

.—,X2—-I.

18.如圖，將AABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△A￡）￡,連接B。，CE.

求證：X\DBSXAEC.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AE,AB=AD,ZCAE^ZBAD,可得反增，由相

ADAB

似三角形的判定定理可證△4￡>3s△4EC

【解答】證明：,??將△A"繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)得到△4QE,

：.AC=AE9AB=ADfZCAE=ZBAD,

.AEAC

??—,

ADAB

，△AOBs/MEC.

四、解答題(每題10分，共20分)

19.如圖，一次函數(shù)曠=履+6的圖象與反比例函數(shù)丫=旦的圖象相交于A(-1,〃)，8(2,

x

-1)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，求△ABD的面積.

【分析】(1)先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=@中求出得到反比例函數(shù)解析式為＞=-2；再

XX

利用y=-2確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;

x

(2)先利用一次函數(shù)解析式確定C(0,1).利用關(guān)于x軸對(duì)稱的性質(zhì)得到/)(0,-1).則

BO〃x軸，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算.

解：(1)?.?反比例函數(shù)＞=皿的圖象經(jīng)過點(diǎn)3(2,-1),

X

,\m=2X(-1)=-2,

二.反比例函數(shù)解析式為＞=-2；

X

?.?點(diǎn)A(-1,〃)在y=-2的圖象上，

X

：.n=2,則A(-1,2),

=-

-k+b=2’,解得(＜k1，

{2k+b=-l.lb=l.

工一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+l；

(2)?直線y=-x+l交y軸于點(diǎn)C,

：.C(0,1).

??,點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，

：.D(0,-1).

?:B(2,-1),

SAABD—~X2X3—3.

20.如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)為150九，寬為10c,"的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩

條的寬度之比為5：4,若使所有彩條所占面積是原來矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何

設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？

【分析】設(shè)每個(gè)橫彩條的寬度為5x0”，則每個(gè)豎彩條的寬度為4x0〃，根據(jù)所有彩條所占

面積是原來矩形圖案面積的三分之一，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其合適

的值即可得出結(jié)論.

解：設(shè)每個(gè)橫彩條的寬度為則每個(gè)豎彩條的寬度為

依題意得：(15-2X5x)(10-2X4JC)=15X10X(1-—),

3

整理得：8N-22x+5=0,

解得：X2=J,

24

當(dāng)■時(shí)，10-2義4尤=-10V0,不合題意，舍去；

當(dāng)％?時(shí)，10-2X4x=8>0,符合題意，

4

5

/.5x=—,4x=l.

4

答：每個(gè)橫彩條的寬度為今57,每個(gè)豎彩條的寬度為1。機(jī).

4

五、解答題(每題10分，共20分)

21.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)y=-1+」的圖象的性質(zhì)進(jìn)行了探究.

下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整;

（1）函數(shù)y=-1+」的自變量x取值范圍為xWO

x

（2）完成表格，并畫出函數(shù)的圖象;

X???-3-2-1_1_121123???

~2~3~3~2

y???-2-3-4210.??

4312

十~2~2~3~

（3）寫出函數(shù)＞=-1+1?的兩條性質(zhì).

【分析】（1）根據(jù)分式中分母不能為0求出自變量x的取值范圍即可，

（2）根據(jù)圖表中x的值代入解析式即可完成表格，用平滑的曲線依次連接圖中所描的點(diǎn)

即可；

（3）觀察函數(shù)圖象，寫出一條函數(shù)性質(zhì)即可，答案不唯一.

解：（1）根據(jù)題意得：xWO,

即函數(shù)v=T+-L的自變量x的取值范圍x#0,

x

故答案為：xWO；

（2）完成表格如下,

X.??-3-2-1_211123???

~2~3~3

y???__3-2-3-4210_2???

~3~25~3

用平滑的曲線依次連接圖中所描的點(diǎn)，如圖所示:

（3）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)沒有最大值，也沒有最小值，圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，

即該函數(shù)的性質(zhì)：該函數(shù)沒有最大值，也沒有最小值；圖象不經(jīng)過原點(diǎn).

22.如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，BE=CE,ACBC于點(diǎn)。，與EC

交于點(diǎn)G.

（1）求證：NBEC=2NAGE；

（2）若祟=?1，求黑的值.

BE3DG

【分析】（1）根據(jù)題意利用同角的余角相等，得出NECB=90°-ZCGD=900-AAGE,

又因?yàn)?E=CE,所以NB=NEC8=90°-ZCGD=90°-/LAGE,再根據(jù)三角形內(nèi)角

和定理容易求解；

（2）由（1）間的角度關(guān)系，可求證△EFCs/^GQC,可得線段比例關(guān)系，進(jìn)而求證^

BEFS^BAD,求得空二，通過等量代換可求解.

AD5

【解答】（1）證明：?:NAGE=NCGD,ADA,BC,即/GQC=90°,

Z￡CB=90°-ZCGZ）=90°-AAGE,

■:BE=CE,

：.ZB=ZECB=90°-ZCGD=90°-NAGE,

：.ZBEC=1800-ZB-ZECB=180°-2(90°-ZAGE)=2ZAGEf

，NBEC=2NAGE；

(2)如圖，過點(diǎn)E作EFLBC交于點(diǎn)產(chǎn),

由（1）知/BEC=2/AGE,則NBEC=NAGE+/E4G,

/AGE=ZEAG,則AE=EG,

?：NEFC=ZGDC,NFCE=ZDCG,

:.AEFCSAGDC,

AE2

V—BE=BC,

BE3

.毀工

,?而T而而‘

..GD.GC

,EF'EC'

.GDJ,

,?而節(jié)，

VZABC=ZEBC,ZEFB=ZADB=9Q°,

:.△BEFSLBAD,

.BEEF

*'BA=AD'

..BE3

?—，

BA5

.EF3

**ADV

5EF1

,.?AO=^^,GD=—EF

33f

4

：.AG=—EF,

3

i=4.

GD

六、解答題（每題10分，共20分）

23.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是A8邊上一點(diǎn)，作△BC。的外接圓

QO,CE是。。的直徑，且CE與AB交于點(diǎn)G,。尸〃EC交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：。尸為OO的切線;

【分析】(1)由/AC8=90。，AC=BC得NB=NA=45°,再由圓周角定理得/OOC

=90°,再由。尸〃EC,即可證。尸為。。的切線；

(2)先證明NCOF=N4=45°,由NCL>B=NA和/AC￡)=NOCF可證△AC￡)s4

DCF,從而有祟茶，再由鐺?=《?、DF//EC,AC=5得A尸=3、AC=5,由此求出

CrCDDG3

CD,再用勾股定理求出OC即可.

【解答】(1)證明：連接OD

VZACB=90°,AC=BC,

：.ZB=ZA=45°,

：.ZDOC=2ZB=90°,

：.OD±CE,

，：DF〃EC,

：.OD1.DF,

???。/為O。的切線；

(2)解：由(1)知，ZDOC=90°,OD=OC9

.ZDCO=45°,

,:DF〃EC,

：.ZCDF=ZDCO=45°,

AZCDF=ZA,

,//ACD=/DCF,

：./\ACD^/\DCF,

CD,,即CZ)2=AC?CF,

CF"CD

..AD=2,DF//EC,

?DG-y

：.AF：CF=2：3,

VAC=5,

.\AF=3fAC=5,

?**CD=yJ15,

??,CO2+OD2=CD2,

...oc=2Z^,

2_

.?.00的半徑長(zhǎng)為畫.

2

24.某服裝廠自主經(jīng)銷一款精品服裝，生產(chǎn)成本為500元/套，提價(jià)40%后進(jìn)行銷售，每周

可以銷售60件；受“新冠疫情”影響，原材料價(jià)格上漲，使得該款服裝生產(chǎn)成本上漲，

該服裝廠決定在保持利潤(rùn)率不變的情況下提高銷售價(jià)；調(diào)研發(fā)現(xiàn)該款服裝生產(chǎn)成本上漲

10元/套，每周銷量就減少1套，若設(shè)該款服裝生產(chǎn)成本上漲x元/套（x>0且x為10的

利潤(rùn)

整數(shù)倍），銷售價(jià)為y元/套.（利潤(rùn)率=鬻_）

成本

（1）求y與x之間函數(shù)關(guān)系式;

（2）設(shè)每周銷售利潤(rùn)為W元，求3與X之間函數(shù)關(guān)系式，并求服裝生產(chǎn)成本上漲多少

元/套時(shí)，每周銷售利潤(rùn)最大.

【分析】（1）可利用每套的生產(chǎn)成本加上提高的的錢數(shù)即為銷售價(jià)；

（2）可利用卬=每套的利潤(rùn)X銷售量列函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)及最值可計(jì)算求

解.

解：(1)y=(500+x)(1+40%)

=700+1.4.r；

(2)w=40%X(500+x)(60--)

10

=-0.04x2+4x+12000,

=-0.04(x-50)2+12100,

?.%=-0.04<0,

...當(dāng)x=50時(shí)，w有最大值為12100元.

故服裝生產(chǎn)成本上漲50元/套時(shí)，每周銷售利潤(rùn)最大.

七.解答題(本愿12分)

25.如圖，在RtZ\ACB中，NACB=90°,NA8C=30。，點(diǎn)P、點(diǎn)G是射線AB上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，過G作A8的垂線，點(diǎn)E為該垂線上一點(diǎn)，連接CE,使得/CEG=/CP8.

(1)如圖1,若點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，

①求祟的值；

CP

②當(dāng)AE=AP=2時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

【分析】(1)①如圖1-1中，連接PE,取PE的中點(diǎn)。，連接AO,OC.證明A,E,

C,尸四點(diǎn)共圓，推出/CEP=/CAP=60°,可得結(jié)論.

②如圖1-1中，利用勾股定理求出PE,解直角三角形求出PC即可.

(2)分兩種情形：如圖2中，連接PE,CG,過點(diǎn)C作于”.如圖3中，當(dāng)點(diǎn)

G在線段AB上時(shí)，證明/GC”=NCPE,求出tan/GC”可得結(jié)論.

解：⑴①如圖1-1中，連接PE,取PE的中點(diǎn)O,連接AO,OC.

?:/CEG=/CPB,ZCPB+ZAPC=180°,

AZAEC+ZAPC=180°,

；?NEAP+NECP=180°,

9

\EA_LPAf

:?NPAE=/PCE=9b0,

,:OE=OP,

：?OA=OE=OP=OC,

??.A,E,C,P四點(diǎn)共圓，

：.ZCEP=ZCAB,

VZACB=90°,ZABC=30°,

???NGW=60°,

：.ZPEC=ZCAP=60°,

AZEPC=30°,

.ECM

..——=tfan3Q0n0=工^.

CP3

②如圖1-1中，'：AE=AP=2,/E4P=90°,

:.PE=，^E=2?1,

VZEPC=30°,

.?.PC=PE?cos30°=2近義與=娓.

(2)如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接PE,CG,過點(diǎn)C作CHLAB于H.

G

圖2

,.?A8=8AG,

???可以假設(shè)AG=m則A8=8〃，

VZABC=30°,

.\AC=—AB=4a,

2

u

在RtZ\AC”中，：CAH=60°,AC=4af

.\AH=AC9cos60°=2。,

二07=揚(yáng)”=2后，

譚=急考

由（1）可知G,E,C,P四點(diǎn)共圓,

:?/CGP=/CEP,

???NCGP+NGC”=90°，ZCEP+ZCPE=90°