遼寧省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)合質(zhì)量檢測試題 數(shù)學(xué)含解析_第1頁
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遼寧省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)合質(zhì)量檢測試題高二考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教B版必修第四冊第十一章,選擇性必修第一冊第一章。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.十三棱錐的頂點的個數(shù)為A.13 B.14 C.20 D.262.已知空間向量,.若,則A.12 B.10 C.-10 D.-123.已知為空間的一個基底,則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是A.,, B.,,C.,, D.,,4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知,,為整數(shù),則的最小值為A.3 B.4 C.5 D.65.某三棱錐的體積為,表面積為,則該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為A. B. C. D.6.已知空間向量,,滿足,,,,則與的夾角為A. B. C. D.7.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容,用“曲率”刻畫空間彎曲性,規(guī)定:多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制).例如:正四面體每個頂點均有3個面角,每個面角均為,則其各個頂點的曲率均為.若正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值為,則四棱錐在頂點處的曲率為A. B. C. D.8.在三棱錐中,為的重心,,,,,,若交平面于點,且,則的最小值為A.1 B. C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知幾何體為長方體,則A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為10.在空間直角坐標(biāo)系中,,,,,則A.點在平面內(nèi) B.四面體為正四面體C.點到直線的距離為 D.點到平面的距離為11.如圖,現(xiàn)有一個底面直徑為,高為的圓錐形容器,已知此刻容器內(nèi)液體的高度為,忽略容器的厚度,則A.此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為B.容器內(nèi)液體倒去一半后,容器內(nèi)液體的高度為C.當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加時,需要增加的液體的體積為D.當(dāng)容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時,容器內(nèi)液體的高度為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12若空間向量,若則_____.13.已知,,,四點都在球的球面上,且,,三點所在平面經(jīng)過球心,,,則點到平面的距離的最大值為_____,球的表面積為__________.14.在直四棱柱中,底面為菱形,,,為棱的中點,,分別為直線,上的動點,則線段的長度的最小值為_________.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)在正四棱錐中,為底面中心,,,分別為,,的中點,點在棱上,且.(1)證明:平面.(2)證明:平面平面.16.(15分)在正四棱臺中,.(1)若,四棱臺的體積為,求該四棱臺的高;(2)若,求的值.17.(15分)如圖,在四棱錐中,底面,平面,.(1)證明:平面平面.(2)若,,且異面直線與所成角的正切值為,求平面與平面所成二面角的正弦值.18.(17分)如圖,在正方體中,,.(1)當(dāng)取得最小值時,求與的值.(2)設(shè)與平面所成的角為.①若,求的值;②證明:存在常數(shù),使得為定值,并求該定值.19.(17分)空間向量的叉乘是三維歐幾里得空間中定義的一種新運算,它可以用來描述空間向量之間的垂直關(guān)系.設(shè)空間向量,,則叉乘的運算公式為(1)證明:.(2)設(shè),,是平面內(nèi)不共線的三個不同的點.①證明:是平面的一個法向量.②說明的幾何意義(即說明的長度與方向的幾何意義).

高二考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B十三棱錐的頂點的個數(shù)為.2.A依題意得,解得,,.3.C,A錯誤.,B錯誤.易得,,三個向量不共面,C正確.,D錯誤.4.C,當(dāng)時,為增函數(shù),所以,因為為整數(shù),所以的最小值為.5.B設(shè)該三棱錐的體積為,表面積為,該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為,則,所以,故該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為.6.D設(shè)與的夾角為,由,得,兩邊同時平方得,所以1,解得,又,所以.7.D如圖,連接,,設(shè),連接,則平面.取的中點,連接,,則為側(cè)面與底面所成的角.設(shè),則,在中,,所以,又,所以,所以正四棱錐的每個側(cè)面均為正三角形,所以頂點的每個面角均為,故正四棱錐在頂點處的曲率為.8.A因為,所以.因為,,,所以.因為,,,四點共面,所以,即.因為,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以的最小值為1.9.AC在長方體中,因為平面,所以,所以A正確,B錯誤.因為,,所以C正確,D錯誤.10.ABD因為,所以為線段的中點,所以點在平面內(nèi),A正確.因為,所以四面體為正四面體,B正確.因為點到直線的距離為,且為線段的中點,所以點到直線的距離為,C錯誤.設(shè)平面的法向量為,則令,得,因為,所以點到平面的距離為,D正確.11.BCD此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為,A錯誤.設(shè)容器內(nèi)液體倒去一半后液體的高度為,則,解得,B正確.因為,,所以當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加時,需要增加的液體的體積為,C正確.當(dāng)容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時,設(shè)容器內(nèi)液體的高度為,體積,則,,D正確.12.-2依題意得,解得.13.4;設(shè)球的半徑為,由正弦定理得,則,則點到平面的距離的最大值為4,球的表面積為.14.連接,,設(shè),以為坐標(biāo)原點,,的方向分別為,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)與,都垂直的向量為,則,即令,得,則線段的長度的最小值為.15.證明:(1)連接,則為的中點.因為為棱的中點,所以,因為平面,平面,所以平面.(2)因為,分別為,的中點,所以.因為平面,平面,所以平面.因為點在棱上,且,所以,由題意易得,則,因為平面,平面,所以平面.因為平面,平面,,所以平面平面.16.解:(1)設(shè)該正四棱臺的高為,則,解得.(2)在正四棱臺中,底面與底面均為正方形,且對應(yīng)邊互相平行,所以,,過作,垂足為(圖略),易得,所以,所以.故.17.(1)證明:底面,.,,平面.平面,平面平面,,平面.又平面,平面平面.(2)解:,直線與直線所成的角為.底面,,,即.設(shè)為2個單位長度,以為原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,.設(shè)平面的法向量為,則取,則,,得.易知平面的一個法向量為,則.故平面與平面所成二面角的正弦值為.18.(1)解:以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,.,,,所以,當(dāng)時,取得最小值,此時.因為,所以.(2)①解:,設(shè)平面的法向量為,則即令,得.因為,

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